2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为

A,B,C,D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或

选出的标号超过一个的不得分.

1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是（）

A.区金B.三2C.区且D.三=2

2y2332y3

2.用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）

正面

3.一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10个球，记下其黑球

的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20次，发现共有黑球48个，由此估

计袋中的白球数是（）个.

A.28个B.38个C.48个D.50个

4.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

（）

A.k>-1B.1<>-1且1<£0C.k<lD.kVl且kWO

5.二次函数丫=2*2+6*+。（aWO）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.-y-<0

6.随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的

行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当

x》10时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵,

为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）

C.x>40D.x<40

7.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,

余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）

C.2米D.2米或5米

8.在同一直角坐标系中，函数y=kx+l与)

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.计算cos60°+sin30°=.

10.已知菱形的周长为40cm,一条对角线长为16cm,则这个菱形的面积是.

11.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐

标系，抛物线的函数表达式为y=-gx2+,x+1•（单位：m）,绳子甩到最高处时刚好

通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为m.

12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12,BC=5,点E在AB上，将4DAE沿DE折叠,

使点A落在对角线BD上的点A，处，则AE的长为.

13.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,

已知BC=BD=15cm,ZCBD=40",则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°

心0.342,cos20°^0.940,sin40°^0.643,cos40°^0.766,结果精确到0.1cm,可用科

学计算器）.

图1图2

14.如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个

平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36

个平方单位.依此规律，则第（6）个图形的表面积个平方单位.

三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）

15.如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（NC为直角）的铁皮加工一个正方

形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助

小刚爸爸用尺规画出裁割线.

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16.（8分）（1）用配方法解方程:x2-2x-3=0

（2）求二次函数y=-3X2+6X+2的图象与x轴的交点坐标.

17.（6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉.图中线段AB表示站在广场上的小亮，线

段P。表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.

（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；

（2）如果灯杆高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮与灯杆的距离BO=13m,请求出

小亮影子的长度.

18.（6分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去

该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同.

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是;

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表

法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.

19.（6分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作

业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+代）海里的C处，为了防

止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏

东45。方向上，A位于B的北偏西30。的方向上，求A、C之间的距离.

20.(8分)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是:

放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C,待加热到100C,

饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间X(min)成反比例关

系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温为

20℃,接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：

(1)分别求出当0WxW8和8Vx〈a时，y和x之间的关系式；

(2)求出图中a的值；

(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过

40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水.

21.(8分)在RtAABC与RtAABD中，ZABC=ZBAD=90°,AC=BD,AC,BD相交于点G,

过点A作AE〃DB交CB的延长线于点E,过点B作BF〃CA交DA的延长线于点F,

AE,BF相交于点H.

(1)证明：4ABD四△BAC.

(2)四边形AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明.

(3)若使四边形AHBG是正方形，还需在RtAABC添加一个什么条件？请添加条件并

证明.

DC

22.（10分）某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：

信息L销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，

如图所示：

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系

y=0.3x.

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求二次函数的表达式；

（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种

产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？

23.（10分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一

块四边形的空地（如图5,四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书

上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC,BD的长度分别为20cm,

30cm及夹角NAOB为60。，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积

吗？

问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出4ABD与4BCD（也可以是aABC

与4ACD）的面积，再相加就可以了.

建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：

如图1,4ABC中，。为BC上任意一点（不与B,C两点重合），连接OA,OA=a,BC=b,

NAOB=a（a为0A与BC所夹较小的角），试用a,b,a表示AABC的面积.

解：如图2,作AMLBC于点M,

/.△AOM为直角三角形.

ZAOB=a,.，.5m0（=典即AM=OA*sina

0A

AABC的面积="|"・BC・AM=%BC・OA・sina=^-absina.

问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题.

如图3,四边形ABCD中，0为对角线AC,BD的交点,已知AC=20m,BD=30m,ZAOB=60°,

求四边形ABCD的面积.（写出辅助线作法和必要的解答过程）

新建模型：若四边形ABCD中，。为对角线AC,BD的交点，已知AC=a,BD=b,ZAOB=a

（a为0A与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=.

模型应用：如图4,四边形ABCD中，AB+CD=BC,ZABC=ZBCD=60",已知AC=a,则四

边形ABCD的面积为多少？（“新建模型"中的结论可直接利用）

24.（12分）如图，已知RtAABC中，ZC=90°,AC=8cm,AB=12cm,点P由B出发沿

BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为

lcm/s.以AQ、PQ为边作DAQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t（单位:

s）（0WtW6）.解答下列问题：

（1）当t为何值时，口AQPD为矩形.

（2）当t为何值时，口AQPD为菱形.

（3）是否存在某一时刻3使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若存在，

请求出t值，若不存在，请说明理由.

2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为

A,B,C,D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或

选出的标号超过一个的不得分.

1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是（）

A.4=-B.4，c.4=-D.三4

2y2332y3

【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式

可以转化为等积式2x=3y,即可判断.

【解答】解：A、变成等积式是：xy=6,故错误；

B、变成等积式是：3x=2y,故错误；

C、变成等积式是：2x=3y,故正确；

D、变成等积式是：3x=2y,故错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断

是否相同即可.

2.用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）

正面

【分析】左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案.

【解答】解：所给图形的左视图为C选项说给的图形.

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题需要明白左视图是从

左边看得到的视图.

3.一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10个球，记下其黑球

的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20次，发现共有黑球48个，由此估

计袋中的白球数是()个.

A.28个B.38个C.48个D.50个

【分析】同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根

据题中条件求出黑球的频率，再近似估计白球数量.

【解答】解：设袋中的白球数是x个，根据题意得：

12=48

12+x-10X20,

解得:x=38,

答：袋中的白球数是38个；

故选:B.

【点评】此题考查了用样本估计总体.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据

黑球的频率得到相应的等量关系.

4.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

()

A.k>-1B.1<>-1且1<±0C.k<lD.kVl且k#0

【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值

范围即可.

【解答】解：•.•关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

U穴，即阴、，

[△>0[A=4+4k>0

解得k>-1且kWO.

故选:B.

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题

的关键.

5.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列说法不正确的是()

C.c>0D-玄<°

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

【解答】解：A、正确，•.•抛物线与x轴有两个交点，.♦.△=b2-4ac>0；

B、正确，•.•抛物线开口向上，，a>0；

C、正确，•.•抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，...OO；

D、错误，•.•抛物线的对称轴在x的正半轴上，-?>0.

2a

故选：D.

【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，

根的判别式的熟练运用.

6.随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的

行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当

x210时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵,

为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）

C.x>40D.x<40

【分析】利用已知反比例函数图象过（10,80）,得出其函数解析式，再利用y=20时,

求出x的最值，进而求出x的取值范围.

【解答】解：设反比例函数的解析式为：y=-,

X

则将（10,80）,代入得：y=M,

X

故当车速度为20千米/时，则20=%,

X

解得：x=40,

故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：x〈40.

故选：A.

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键.

7.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,

余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）

A.5米B.3米C.2米D.2米或5米

【分析】设道路的宽为X,利用"道路的面积”作为相等关系可列方程20X+32X-X2=20X

32-540,解方程即可求解.解题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍.

【解答】解：设道路的宽为x,根据题意得20X+32X-X2=20X32-540

整理得（x-26）2=576

开方得x-26=24或x-26=-24

解得x=50（舍去）或x=2

所以道路宽为2米.

故选：C.

【点评】本题考查的是一元二次方程的实际运用.找到关键描述语，找到等量关系准确

的列出方程是解决问题的关键.

8.在同一直角坐标系中，函数y=kx+l与y=K（kWO）的图象大致是（）

X

【分析】根据一次函数和反比例函数的特点,kWO,所以分k>0和kVO两种情况讨论.当

两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案.

【解答】解：分两种情况讨论：

①当k>0时，y=kx+l与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象

在第一三象限；

②当k<0时，y=kx+l与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象

在第二四象限.

故选:A.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的

取值确定函数所在的象限.

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.计算cos60°+sin30°=1.

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.

【解答】解：原式=5+*1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

10.已知菱形的周长为40cm,一条对角线长为16cm,则这个菱形的面积是96cm?.

【分析】因为周长是40,所以边长是10.根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运

用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求

解.

【解答】解：因为周长是40cm,所以边长是10cm.

如图所示：AB=10cm,AC=16cm.

D

B

根据菱形的性质，AC±BD,A0=8cm,

/.B0=6cm,BD=12cm.

，面积S=3x16X12=96（cm2）.

故答案是：96cm2.

【点评】此题考查了菱形的性质及其面积计算.主要利用菱形的对角线互相垂直平分及

勾股定理来解决.

菱形的面积有两种求法：

（1）利用底乘以相应底上的高；

（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=5X两条对角线的乘积.

具体用哪种方法要看已知条件来选择.

11.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐

标系，抛物线的函数表达式为丫=-*+点+5（单位：m）,绳子甩到最高处时刚好

通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为L5m.

【分析】实际上告诉了抛物线上某一点的横坐标x=2,求纵坐标.代入解析式即可解答.

【解答］解:在丫=-9+幼4中，

boZ

当x=2时，得y=1-=1.5.

即小明的身高为L5米.

故答案为：1.5

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二

次函数解决实际问题.

12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12,BC=5,点E在AB上，将aDAE沿DE折叠,

使点A落在对角线BD上的点A，处，则AE的长为当

0

Dr

【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A，D=5,进而得到AB

的长，再设AE=x,则AE=x,BE=12-x,再在RtaAEB中利用勾股定理可得方程：（12

-x）2=X2+82,解出x的值，可得答案.

【解答】解：•••AB=12,BC=5,

，AD=5,BD=^j-22+5d13,

根据折叠可得：AD=A,D=5,

，A'B=13-5=8,

设AE=x,则A'E=x,BE=12-x,

在Rt^A'EB中：（12-x）2=X2+82,

解得：

故答案为：学.

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变

换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相

等.

13.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,

已知BC=BD=15cm,ZCBD=40°,则点B至UCD的距离为14.1cm（参考数据Cn2O。

心0.342,cos20。七0.940,sin40°=0.643,cos40°^0.766,结果精确至U0.1cm,可用科

学计算器）.

图1图2

【分析】作BELCD于E,根据等腰三角形的性质和NCBD=40。，求出NCBE的度数，根

据余弦的定义求出BE的长.

【解答】解：如图2,作BE_LCD于E,

VBC=BD,ZCBD=40°,

.,.ZCBE=20",

在RtaCBE中，cosNCBE=整，

BC

.\BE=BC*cosZCBE

=15X0.940

=14.lcm.

故答案为：14.1.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，

作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节.

14.如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个

平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36

个平方单位.依此规律，则第（6）个图形的表面积126个平方单位.

⑴（2）

【分析】结合图形，发现第（1）个图形的表面积是1X6=6,第（2）个图形的表面积是

（1+2）X6=18,第（3）图形的表面积是（1+2+3）X6=36；以此类推即可求解.

【解答】解：结合图形，发现：

第（1）个图形的表面积是1X6=6,

第（2）个图形的表面积是（1+2）X6=18,

第（3）图形的表面积是（1+2+3）X6=36,

第（4）图形的表面积是（1+2+3+4）X6=60,

故第n个图形的表面积是（l+2+3+...+n）X6=3n（n+1）,

.•.第（6）个图形的表面积是3X6X（6+1）=126,

故答案为：126.

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，

并应用发现的规律解决问题.

三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）

15.如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（NC为直角）的铁皮加工一个正方

形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助

小刚爸爸用尺规画出裁割线.

【分析】直接利用正方形的性质得出NC的角平分线交AB于点M,进而过M作MD±

AC,ME_LBC得出答案即可.

【解答】解：如图所示：点M即为所求.

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握正方形的性质是解题关键.

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16.（8分）（1）用配方法解方程:x2-2x-3=0

（2）求二次函数y=-3x?+6x+2的图象与x轴的交点坐标.

【分析】（1）根据配方法的步骤计算可得;

（2）求出y=0时x的值可得.

【解答】解：（1）Vx2-2x-3=0,

/.x2-2x=3,

则x2-2x+l=3+l,即（x-1）2=4,

Ax-1=2或x-1=-2,

解得：x=3或x=-l.

（2）令y=0得-3X2+6X+2=0,

解得：x=）

...该二次函数图象与X轴的交点为（三巫0）、（纪运0）.

33

【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程和抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌

握配方法解方程的步骤及令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得

交点横坐标.

17.（6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉.图中线段AB表示站在广场上的小亮，线

段P。表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.

（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；

（2）如果灯杆高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮与灯杆的距离BO=13m,请求出

小亮影子的长度.

【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；

（2）根据中心投影的特点可知△CABs^CPO,利用相似比即可求解.

【解答】解：（1）连接PA并延长交地面于点C,线段BC就是小亮在照明灯（P）照射

下的影子.（2分）

(2)^EACAB^RACPO中,

VZC=ZC,ZABC=ZPOC=90°

.,.△CAB^ACPO

AAB^CB（5分）

POCO

.1.6二CB

12"13+BC

/.BC=2m,

...小亮影子的长度为2m（7分）

【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用.解题的关

键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出

所需要的线段.

18.（6分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去

该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同.

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是:；

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表

法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.

【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同

学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得

答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪

碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）•••商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，

某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，

•••他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：率；

4

故答案沏|

（2）画树状图得：

开始

/T\/NZN

可果奶雪果奶雪可奶雪可果

乐汁汁碧汁汁碧乐汁碧乐汁

•.•共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，

他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：/

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或

两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.（6分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作

业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+炳）海里的C处，为了防

止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏

东45。方向上，A位于B的北偏西30。的方向上，求A、C之间的距离.

【分析】作ADLBC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识，可得出AD,继而

可得出BD,结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】解：如图，作ADLBC,垂足为D,

由题意得，ZACD=45°,ZABD=30°.

设CD=x,在RtAACD中，可得AD=x,

在Rt^ABD中，可得BD=g,

XVBC=20（1+我），CD+BD=BC,

即x+J^<=20（1+5/3）>

解得:x=20,

:.AC=N®=2GM(海里).

答：A、C之间的距离为20&海里.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,

将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般.

20.(8分)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：

放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃,待加热到100℃,

饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例关

系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温为

20C,接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：

(1)分别求出当0WxW8和8VxWa时，y和x之间的关系式；

(2)求出图中a的值；

(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过

40c的开水，问他需要在什么时间段内接水.

【分析】(1)由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法

即可求得y与x的关系式；

(2)将y=20代入y=跑，即可得到a的值；

(3)要想喝到不超过40℃的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10；

【解答】解：(1)当0WxW8时，设丫=1<冰+13,

将(0,20),(8,100)代入y=kix+b,

得ki=10,b=20,

所以当0WxW8时,y=10x+20；

当8Vx〈a时，设y=±2,

X

将(8,100)代入，得k2=800,

所以当8VxWa时，y=幽；

X

故当0WxW8时，y=10x+20；当8VxWa时，丫=8姐；

X

(2)将y=20代入丫=里工

x

解得a=40；

(3)8：10-8分钟=8：02,

10X+20W40,

，0VxW2,

V—^40,

x

，20Wx<40.

所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40℃

的热水，

则需要在7：50〜8：10时间段内接水.

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出

两个函数的解析式.

21.(8分)在RtAABC与RtAABD中，ZABC=ZBAD=90°,AC=BD,AC,BD相交于点G,

过点A作AE〃DB交CB的延长线于点E,过点B作BF〃CA交DA的延长线于点F,

AE,BF相交于点H.

(1)证明：4ABD之△BAC.

(2)四边形AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明.

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在RtAABC添加一个什么条件？请添加条件并

证明.

【分析】（1）可根据已知条件NABC=NBAD=90°,AB=BA,AC=BD即可得到aABC之4BAD.

（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知NABD=NBAC,得至IJaGAB

为等腰三角形，口AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是菱形.

（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可.

【解答】解:（1）VZABC=ZBAD=90",AB=BA,AC=BD,

RtAABC^RtABAD（HL）.

（2）四边形AHBG是菱形.

证明：VAH^GB,BH〃GA,

四边形AHBG是平行四边形.

VAABC^ABAD,

...ZABD=ZBAC,

，GA=GB,

二平行四边形AHBG是菱形.

（3）需要添加的条件是AB=BC.

证明：VAB=BC,ZABC=90°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

/.ZBAG=45O,

XVAABC^ABAD,

ZABG=ZBAG=45°,

ZAGB=90°,

二菱形AHBG是正方形.

DC

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等几何知识的

综合运用，解题时注意：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角即可

得到正方形.

22.（10分）某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：

信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，

如图所示：

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系

y=0.3x.

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求二次函数的表达式；

（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种

产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？

【分析】（1）由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y=ax?+bx,再利用待定系数

法求解可得；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润

之和为W元,根据:A产品利润+B产品利润=总利润可得W=-0.1m2+1.5m+0.3（10

-m）,配方后根据二次函数的性质即可知最值情况.

【解答】解：（1）根据题意，设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系

式为y=ax，bx,

将（1,1.4）、（3,3.6）代入解析式，

得：卜+b<4,

l9a+3b=3.6

解得：产-0J,

lb=l.5

•••销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=-0.1X2+1.5X；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润

之和为W元，

则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）,

=-0.1m2+1.2m+3,

=-0.1（m-6）2+6.6,

；-0,1<0,

.,.当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，

答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最

大利润是6.6万元.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，

二次函数的最值问题，（2）中整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解

题的关键.

23.（10分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一

块四边形的空地（如图5,四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书

上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC,BD的长度分别为20cm,

30cm及夹角NAOB为60。，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积

吗？

问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出aABD与aBCD（也可以是4ABC

与AACD）的面积，再相加就可以了.

建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：

如图1,aABC中，。为BC上任意一点（不与B,C两点重合），连接OA,OA=a,BC=b,

NAOB=a（a为0A与BC所夹较小的角），试用a,b,a表示AABC的面积.

解：如图2,作AMLBC于点M,

...△AOM为直角三角形.

AM

又,.,/AOB=a,.,.5吊（1=瞿即AM=OA*sina

OA

AABC&\Jjfi|^R=-1-*BC«AM=-^-«BC»OA*sina=-1-absina.

问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题.

如图3,四边形ABCD中，0为对角线AC,BD的交点，已知AC=20m,BD=30m,ZAOB=60°,

求四边形ABCD的面积.（写出辅助线作法和必要的解答过程）

新建模型：若四边形ABCD中，。为对角线AC,BD的交点，已知AC=a,BD=b,ZAOB=a

（a为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=^absina.

模型应用：如图4,四边形ABCD中，AB+CD=BC,ZABC=ZBCD=60°,已知AC=a,则四

边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）

【分析】问题解决，如图5中，作AELBD于E,CF_LBD于F.根据S四边形ABCD=SMBD+S4

BCD计算即可;

新建模型，如图5中，作AE±BD于E,CF1BD于F.S四边形ABCD二S/XABD+SA

BCD=-^eBD*AE+-^-*BD*CF=-^*BD*(AE+CF)=-^-*BD*(0A*sina+0C*sina)=7；*BD*AC*sina；

乙乙乙乙乙

模型应用，如图4中，在CB上取CE=CD,连接DE,AE,BD.只要证明BD=AC,ZAPB=60"

即可;

【解答】解：问题解决，如图5中，作AELBD于E,CF1.BD于F.

B图5

*'S四边胫ABCD=S△ABD+S△BCD=,BD•AE+*BD*CF=*BD*(AE+CF)=*BD«

(OA*sin60°+OC«sin60")=苧・BD・AC=150对.

新建模型，如图5中，