运动的守恒量和守恒定律

运动的守恒量和守恒定律2—1质点系的内力和外力质心质心运动定理一、质点系的内力和外力1、内力：研究多个质点组成的系统时，质点系内各个质点之间的相互作用。2、外力：研究多个质点组成的系统时，系统外物体对系统内质点所施加的力。内力总是成对出现在质点系内，是一对作用力和反作用力。系统的内力之和总是为零，因而它们对整体运动不发生影响。二、质心——是系统质量中心的简称。是系统内的一个特殊点。第2页,共60页，2024年2月25日，星期天1质点系质心位置：设系统由n个质点组成，每个质点对应一个矢径2质量连续分布物体的质心位置：利用上述结果，采用微积分的方法获得。第3页,共60页，2024年2月25日，星期天·M为物体的质量。3质心与重心：⑴质心位置与物体的质量及其分布有关，与外力无关。重心是作用于全物体上的重力合力的作用点。⑵在一定条件下，质心与重心可认为重合。条件：作用于物体上各部分的重力平行；重力加速度为常数。第4页,共60页，2024年2月25日，星期天三、质心运动定理质点系质心运动速度：质点系动量定理：——质心运动定律⑴质点系质心的运动可看成一个质点的运动。这个质点集中了整个质点系的质量和外力。⑵质心的运动状态完全取决于质点系所受外力，内力不使质心产生加速度。第5页,共60页，2024年2月25日，星期天2动量定理：一、动量定理：牛二律：1定义：称为冲量，反映了力对时间的累积。均为矢量力对时间的积累=动量的增量称为动量2—2动量定理动量守恒定律(一)、质点的动量定理：第6页,共60页，2024年2月25日，星期天3说明：⑴过程规律。反映：过程量=状态量的增量⑵动量定理为矢量方程，常采用分量式，在直角坐标系中：⑶不仅适用于惯性系，而且适用于微观粒子。⑷冲量表达式中的力一般是时间的函数：A恒力：=F~t曲线下(t1,t2)间的面积B变力：用一平均力来代替变力，这一平均力称为冲力。第7页,共60页，2024年2月25日，星期天5）动量定理常应用于碰撞问题例如，人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.注意越小，则越大。在一定时,例：质量为m的质点作圆锥摆运动，速率为v，求质点绕行一周时，绳子张力给予它的冲量。

解：根据动量定理，一周内合力的冲量为零。第8页,共60页，2024年2月25日，星期天（二）、质点系动量定理：·m1·m2m1、m2系统，受力情况：外力、内力在初始时刻t1两质点具有速度在终止时刻t2两质点具有速度根据质点的动量定理：m1、m2系统，有：推广得质点系动量定理：第9页,共60页，2024年2月25日，星期天说明：⑴过程规律。反映：过程量=状态量的增量⑵矢量式。常用分量式：⑶适用于惯性系及微观粒子。⑷在无限小时间间隔内，质点系动量定理可写成：反映了外力与动量变化的瞬时关系；反映了力是改变运动状态的原因。第10页,共60页，2024年2月25日，星期天二、变质量物体的运动方程物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示：mdmm+dm把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：初始时刻末时刻第11页,共60页，2024年2月25日，星期天对系统利用动量定理略去二阶小量，两端除dt变质量物体运动微分方程值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾气推力。第12页,共60页，2024年2月25日，星期天(1)确定研究系统；(2)写出系统动量表达式；(3)求出系统动量变化率；(4)分析系统受力；(5)应用动量定理求解。变质量问题的处理方法:例:一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为

，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为x

时，求手提力的大小。解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。t时刻，系统总动量OX第13页,共60页，2024年2月25日，星期天t时刻，系统受合外力OX系统动量对时间的变化率为：根据动量定理，得到第14页,共60页，2024年2月25日，星期天三、动量守恒定律：1动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。等价（数学上）2说明：⑴定律为矢量式。分量式：可分别独立使用⑵应用时常采用近似守恒条件：可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，

外力＜＜内力，第15页,共60页，2024年2月25日，星期天⑷动量定理、动量守恒比牛二律更普遍适用。⑸动能与动量都描述了机械运动，都是状态量，但两者的描述角度不同：动能，标量；动量，矢量；其变化：△Ek=A与力在空间上的累积作用相关。（动能定理）其变化：与力在时间上的累积作用相关。（动量定理）⑶定理中的各速度指对应于同一参照系的速度。在微观高速领域仍适用。第16页,共60页，2024年2月25日，星期天例1：有一长l=4m，质量M=150kg的船，静止浮于湖面上。今有一质量m=50kg的人，从船头走到船尾。设：水对船的阻力忽略不计。求：人和船相对于湖岸各移动的距离。解：取人、船为研究系统。由于水的阻力忽略，因此在水平方向，水平方向动量守恒。如图设任意时刻船和人相对于岸的速度为：取初始静止时船头位置为参考位置参考位则由动量守恒有：第17页,共60页，2024年2月25日，星期天用S、s表示船和人相对参考位置的移动距离，则：参考位由图得：第18页,共60页，2024年2月25日，星期天四、火箭飞行设在某一瞬时，火箭的质量为，速度为，在其后到时间内，火箭喷出了质量为的气体，是质量在时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速度为，使火箭的速度增加了。喷气前总动量为：喷气后火箭的动量为：所喷出燃气的动量为：Mt时刻t+dt时刻M+dm-dm第19页,共60页，2024年2月25日，星期天由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量守恒定律设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量化简第20页,共60页，2024年2月25日，星期天设火箭开始飞行的速度为零，质量为，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为，此时火箭能达到的速度是火箭的质量比多级火箭第i级火箭喷气速率第i级火箭质量比第21页,共60页，2024年2月25日，星期天例：质量为m1和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为x轴为正方向。设开始时质量为m1的小孩坐标为x10，质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分别v1为v2，相应坐标为x1和x2。由运动学公式得Cm2m1x10x20xO第22页,共60页，2024年2月25日，星期天(1)(2)在相遇时，x1=x2=xc，于是有即(3)因动量守恒，所以m1v1+m2v2=0代入式（3）得第23页,共60页，2024年2月25日，星期天代入式（1）,(4)上述结果表明：两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。(1)并令x1=xc,得第24页,共60页，2024年2月25日，星期天2-3~2-5功与能一、功与功率：1恒力的功：力在位移上的功定义为：MM

S2变力功:··考虑自a→b的过程，变力的功当n足够大时，有：⑴△Si近似为直线；⑵每一个△Si

上，质点受力可看作恒力力在△Si

上的功可写为：将此过程细分为n个小过程，任取第i个。第25页,共60页，2024年2月25日，星期天··当n→∞时，则为：——力在位移元上的元功则：自a→b的过程，变力的功为：(一般表达式)在Rt坐标系中：第26页,共60页，2024年2月25日，星期天自a→b的过程，变力的功为：3说明：⑴从功的定义式看：功反映了力对空间的累积作用；功是过程量，与运动路径有关。⑵功是一标量。⑶功的大小可以用图表示——

Fcosθ

~r曲线下的面积4合力的功：物体同时受的作用第27页,共60页，2024年2月25日，星期天5功率：平均功率：（瞬时）功率：例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。6作功与参照系有关：第28页,共60页，2024年2月25日，星期天7功的计算方法1).受力分析确定要计算作功的力；2).建立坐标系；3).确定元功4).由功的定义求解例1、物体由静止出发作直线运动，质量为m，受力bt，b为常量，求在T秒内，此力所作的功。解：元功根据牛顿定律和加速度的定义求第29页,共60页，2024年2月25日，星期天二、几种常见力的功：1重力的功：自a至b重力所作功：可见：重力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。第30页,共60页，2024年2月25日，星期天2万有引力的功：····M对m的引力为：自a至b引力所作功：代入可见：万有引力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。第31页,共60页，2024年2月25日，星期天3弹性力的功：自a至b过程中，弹性力：质点的位矢：自a至b弹性力所作功：可见：弹性力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。第32页,共60页，2024年2月25日，星期天三、保守力：1定义：作功时只与运动的始末位置有关而与运动路径无关的力。包括：重力、弹性力、万有引力、库仑力。2保守力作功的数学表达式：四、势能：1概念：与质点位置有关的能量即为势能Ep。重力势能：弹性势能：引力势能：重力功引力功弹性力功势能即是将质点从起始位置移到势能零点时保守力所作的功。第33页,共60页，2024年2月25日，星期天2说明：⑴机械能E=Ep+Ek。且各量均为状态的函数，即：状态量。⑵势能属于整个保守力产生的系统。⑶势能是一个相对的量，与势能零点的选取有关。通常：重力势能取地面为势能零点；引力势能取r→∞为势能零点；弹性势能取x=0为势能零点。3势能曲线：故可作出曲线：Ep~h，Ep~x，Ep~r，统称势能曲线。第34页,共60页，2024年2月25日，星期天重力势能：弹性势能：引力势能：第35页,共60页，2024年2月25日，星期天则保守力为：⑵微分关系：又有：4、保守力的功与势能的关系：⑴积分关系：第36页,共60页，2024年2月25日，星期天f1f2r25、一对作用力和反作用力的功m1、m2组成一个封闭系统,两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。dr1dr2r21or1在

t时间内m1m2第37页,共60页，2024年2月25日，星期天例如：子弹穿过木块过程子弹对木块的作用力为f，木块对子弹的反作用力为f′，木块的位移为S，子弹的位移为（S+l）。f对木块作功：f′对子弹作功：合功为：子弹减少的能量转变成木块的动能和热能，摩擦生热，为一对作用力和反作用力作功之和。第38页,共60页，2024年2月25日，星期天五、动能定理：··自a至b的过程中，合外力F的功为：自然坐标系中：说明：1、A为合外力的功。2、动能定理为一过程规律。反映的实质：过程量=状态量的增量3、适用于惯性系。1质点的动能定理：第39页,共60页，2024年2月25日，星期天2、质点系动能定理：·················系统外界·i合内力合外力第i个质点有：对组成系统的全部n个质点有：表示为：六、功能原理：——系统的功能原理第40页,共60页，2024年2月25日，星期天七、机械能守恒：即：E=E0E=E0八、说明：1功能原理与质点系动能定理没有本质区别。2功能原理、机械能守恒是过程规律，属于系统。3适用于惯性系4一般解题步骤：⑴选系统、分过程及每一过程的始末态⑵进行受力分析：外力内力保守内力非保守内力⑶计算：A外+A非保内≠0功能原理A外+A非保内=0机械能守恒第41页,共60页，2024年2月25日，星期天例1：如图，用一弹簧把两块质量分别为m1和m2的板连接起来。问：在板m1上需加多大的压力以使力停止作用后，恰能使m1在跳起来时m2稍被提起？设弹簧的质量略去不计。m1m2解：全过程可分为以下状态及分过程：Am1x0Bm1FCx1m1Dx2且最后一个过程中的m2受力如图m2gf=kx2N≤0设弹簧原长时为零势能位，Ep=0则各过程分别有：A：弹簧原长，零势能。B：m1g=kx0C：m1g+F=kx1C→D过程：机械能守恒EC=(-m1gx1)+1/2kx12ED=m1gx2+1/2kx22EC

=

EDD：N=m2g-kx2≤0F≥(m1+m2)g第42页,共60页，2024年2月25日，星期天解：例2:一质量为m的质点，在xoy平面上运动。其位置矢量为：其中a,b,

为正值常数，a>b。(1)求质点在A(a,0)点和B(0,b)点时的动能。(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的过程中分力、所做的功。A(a,0)点：cos

t=1,sin

t=0第43页,共60页，2024年2月25日，星期天B(0,b)点：cos

t=0

sin

t=1求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的过程中分力、所做的功。第44页,共60页，2024年2月25日，星期天例3、一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为

，令链条从静止开始运动，则：在链条滑离桌面的过程中,摩擦力对链条做了多少功?链条离开桌面时的速率是多少？aL—a

xO解：(1)建坐标系如图注意：摩擦力作负功！第45页,共60页，2024年2月25日，星期天对链条应用动能定理：前已得出：(2)链条离开桌面时的速率是多少？aL—a

xO第46页,共60页，2024年2月25日，星期天例4：质量为M的重锤从高为h处以初速度为零的状态落下，击在木桩上并使之入土深度为d。已知木桩的质量为m，且重锤与木桩一同下陷。求：⑴土地的平均阻力；⑵重锤与木桩下陷的时间。解：⑴如图，全过程可分为以下几个分过程：过程Ⅰ：重锤M自由下落。初态：V0=0；末态：过程Ⅱ：M、m碰撞过程。选M、m为系统，作受力分析：初态：末态：M、m同速，设为V同第47页,共60页，2024年2月25日，星期天内力（相互作用的冲力F、F′）远大于外力（阻力f与重力），因此竖直方向动量守恒：过程Ⅲ：M、m共同下降d。选M、m、地球为系统，受力分析如图。其中F阻为外力，重力(M+m)g为内力。初态：V=V共，末态：V=0取末态位置为势能零点。初态：末态：第48页,共60页，2024年2月25日，星期天初态：末态：功能原理：⑵重锤与木桩下陷的时间。取向下为正。由动量定理有：第49页,共60页，2024年2月25日，星期天2—6碰撞一、碰撞两种碰撞：正碰（对心碰撞）、斜碰（非对心碰撞）特点：1、时间短2、内力>>外力，可忽略外力作用正碰撞——如果两球在碰撞前的速度在两球的中心连线上，那么，碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞称为对心碰撞（或称正碰撞）。二、碰撞规律：碰撞后碰撞前碰撞时第50页,共60页，2024年2月25日，星期天应用动量守恒定律得碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2

v1)与碰撞前两球的接近速度(v10

v20)成正比，比值为恢复系数e，由两球的材料性质决定。恢复系数讨论：2.

0<e<1，非弹性碰撞，能量不守恒；3.

e=1，完全弹性碰撞，能量守恒（可以证明，略）。1.

e=0，完全非弹性碰撞，两个物体合二为一（v1=v2），机械能损失最大（转换成热能或其它能量）；第51页,共60页，2024年2月25日，星期天由(1)和(2)式，得当m1=m2时，v1=v20，v2=v10，两球速度交换。当m2>>m1时，若v20=0，则v1=

v10，v2=0大质量物体保持静止，小质量物体速度大小几乎不变，方向相反。第52页,共60页，2024年2月25日，星期天设在两球相碰撞的问题中，碰撞接触时间极短，用Δt表示，把动量定理应用于质量为m2的小球，得表明：力的大小和两物体相遇前的接近速度成正比，而和接触时间成反比。力的大小与接触物体的质量和材料有关。三、碰撞中的力和能系统损失的机械能第53页,共60页，2024年2月25日，星期天2—7质点的角动量与角动量守恒定律一、角动量质点对圆心的角动量：行星在公转轨道上的角动量第54页,共60页，2024年2月25日，星期天定义：