2024届中考数学第一轮复习基础知识过关 第12讲《二次函数的图象与性质》教学

二次函数的图象与性质

二次函数的概念及解析式1.一般地,形如

(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.

2.三种表达形式一般式:

(a,b,c为常数,a≠0);

顶点式:

(a,h,k为常数,a≠0);

交点式:

(a,x1,x2为常数,a≠0).

y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函数的图象与性质(常考点)1.二次函数的图象是一条

.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质抛物线aa>0a<0图象开口向上向下小大增大减小减小增大3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系向上向下越小越大y轴左侧右侧c决定抛物线与y轴的交点的位置c=0,抛物线过

;

c>0,抛物线与y轴交于正半轴;c<0,抛物线与y轴交于负半轴原点

二次函数图象的平移平移规律:左

右

,上

下

.

加减加减二次函数的图象与性质[例1](2023成都外国语一模)已知点A(a-3,-3)与点B(2,b+1)关于y轴对称,则下列关于抛物线y=ax2+bx+1的说法错误的是(

)A.抛物线开口向上B.a=1,b=-4C.顶点坐标是(-2,-3)D.当x<2时,y随x的减小而增大C根据二次函数的图象与性质,逐项进行判断.[变式1](2023成都模拟)下列关于抛物线y=x2+4x-5的说法正确的是(

)①开口方向向上;②对称轴是直线x=-4;③当x<-2时,y随x的增大而减小;④当x<-5或x>1时,y>0.A.①③

B.①④C.①③④

D.①②③④C

二次函数图象的平移[例2](2023泸县一模)把抛物线y=x2+1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线(

)A.y=(x+3)2-1 B.y=(x+3)2+3C.y=(x-3)2-1 D.y=(x-3)2+3C二次函数图象的平移规律:平移前移动方向平移后口诀y=a(x-h)2+k向左平移m(m>0)个单位长度y=a(x-h+m)2+k左加向右平移m(m>0)个单位长度y=a(x-h-m)2+k右减向上平移m(m>0)个单位长度y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m(m>0)个单位长度y=a(x-h)2+k-m下减[变式2](2023达州一模)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为(

)A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2B[变式3](2023双流区模拟)在平面直角坐标系中,如果抛物线y=-x2+2x-1经过平移可以与抛物线y=-x2互相重合,那么这个平移是(

)A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度C二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系[例3](2023凉山)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是(

)A.abc<0 B.4a-2b+c<0C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数)C由抛物线确定a,b,c的符号(1)由开口方向确定a的符号.(2)由对称轴位置和a的符号确定b的符号.(3)由抛物线与y轴交点位置确定c的符号.(4)由对称轴位置确定2a+b(或2a-b)的符号.(5)由当x=1,x=-1时点的位置确定a+b+c,a-b+c的符号.BA.1个 B.2个

C.3个 D.4个确定二次函数的解析式[例4]如图所示,开口向下的抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),点P是第一象限内抛物线上的一点.(1)求该抛物线的解析式;(1)根据已知条件选择交点式求抛物线的解析式;解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2).将C(0,4)代入,得4=-2a,解得a=-2.∴该抛物线的解析式为y=-2(x+1)(x-2)=-2x2+2x+4.(2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值.(2)连接OP,将四边形分成三个三角形来计算面积.通过求二次函数的最大值得到最大面积.确定二次函数的解析式(1)已知抛物线上三个点的坐标可设一般式;(2)已知顶点坐标或对称轴可设顶点式;(3)已知抛物线与x轴的交点坐标可设交点式.[变式5](2023泸县五中一模)如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)当0<x<4时,y的取值范围是

;

(3)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BCD面积的4倍,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(2)-4≤y<5D2.(2023南充)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是()A.(m,n+1) B.(m+1,n)C.(m,n-1) D.(m-1,nDB4.(2023泸州)已知二次函数y=ax2-2ax+3(其中x是自变量),当0<x<3时,对应的函数值y均为正数,则a的取值范围为()A.0<a<1 B.a<-1或a>3C.-3<a<0或0<a<3D.-1<a<0或0<a<3DC6.(2023广安)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A(-3,0),B(1,0).有下列结论:①abc>0;②若点(-2,y1)和(-0.5,y2)均在抛物线上,则y1<y2;③5a-b+c=0;④4a+c>0.其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C7.(2022绵阳)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点.若-2<x1<-1,则下列四个结论:①3<x2<4;②3a+2b>0;③b2>a+c+4ac;④a>c>b.其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B8.(2022凉山)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(0,3),顶点为C,点D在其对称轴上,且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.(1)求抛物线的解析式.(2)求点P的坐标.解:(2)抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,其顶点C的坐标为(1,4),如图所示,设点D的坐标为(1,a)(a<4).则CD=4-a.由旋转的性质,得∠CDP=90°,PD=CD=4-a.∴P(1+4-a,a),即P(5-a,a).将P(5-a,a)代入y=-(x-1)2+4,得-(5-a-1)2+4=a,解得a1=3,a2=4(舍去).当a=3时,5-a=5-3=2.∴点P的坐标为(2,3).(3)将抛物线平移,使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,使得MP+ME的值最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(3)存在.抛物线y=-x2+2x+3顶点C的坐标为(1,4),则将其先向左平移1个单位长度,再向下平移4