江苏省睢宁县高级中学2024年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

江苏省睢宁县高级中学2024年高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（）A．2 B． C． D．2．已知集合，则（）A． B．C． D．3．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3 C． D．45．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（）A． B． C． D．6．已知复数，为的共轭复数，则（）A． B． C． D．7．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A． B． C． D．8．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为A．8 B．16 C．24 D．369．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A． B． C． D．10．已知，则（）A． B． C． D．211．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（）A． B． C． D．12．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．14．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.15．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．16．某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是______.（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0,），且满足a+b＝3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A，B，点M坐标为（2,1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？并说明理由．18．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.（1）求证：；（2）设平面与交于点，求证：为的中点.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明:平面（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.（1）求角的大小；（2）求的值.21．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.（1）证明：；（2）若的面积，，求角.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.（1）求抛物线C的极坐标方程；（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.2、C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.3、D【解析】

连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【详解】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则，，在等腰中，取的中点为，连接，则，，所以，即：，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.4、C【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.5、B【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.6、C【解析】

求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.7、C【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，∴6和28不在同一组的概率.故选：C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.8、B【解析】

方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B．方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B．9、C【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，直角三角形的斜边长为，利用等面积法，可得其内切圆的半径为，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10、B【解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由，以及，解得..故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.11、B【解析】

可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解【详解】设，则.由题意有，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题12、D【解析】

根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.14、【解析】

把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．【详解】解：由，得，，即，，又，，解得：．为正的常数，．故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．15、1【解析】

根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环ix循环前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1故答案为：1．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.16、【解析】

基本事件总数，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率．【详解】解：某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，该市的任意5位申请人中，基本事件总数，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数：，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）k1+k2为定值0，见解析【解析】

（1）利用已知条件直接求解，得到椭圆的方程；（2）设直线在轴上的截距为，推出直线方程，然后将直线与椭圆联立，设，利用韦达定理求出，然后化简求解即可.【详解】（1）由椭圆过点（0,），则，又a+b＝3，所以，故椭圆的方程为；（2），证明如下：设直线在轴上的截距为，所以直线的方程为：，由得：，由得，设，则，所以，又，所以，故.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了方程的思想，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）要做证明，只需证明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到∥，从而获得证明【详解】证明：（1）因为平面，平面，所以.因为，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）因为平面与交于点，所以平面.因为分别为的中点，所以∥.又因为平面，平面，所以∥平面.又因为平面，平面平面，所以∥，又因为是的中点，所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.19、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量，，最后求得二面角的余弦值为.【详解】解：（1）连结∵，且是的中点，∴∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴又为菱形，且为棱的中点，∴∴.又∵，平面∴平面.（2）由题意有，∵四边形为菱形，且∴分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为由，得，令，得取平面的法向量为∴二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.20、（1）；（2）7.【解析】分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．详解：（1）∵，∴，∵为锐角，∴；（2）由余弦定理得：.点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.【详解】（1）由已知得，由余弦定理得，