2024年中考数学与圆有关的动态问题

课程主题与圆有关的动态问题高频考法：1.动点类:①动点在圆(弧)上②动点在直线(射线、线段)上平移类：在圆背景下平移三角形典例精讲【例1】(单动点在半径上运动)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点,P是半径OB上一动点(不与点O,B重合),过点P作PF⊥AB,分别交弦BC,BC于D,E两点,连接FC,且FC=FD.（1）求证:FC是⊙O的切线;（2）若E是BC的中点,∠BAC=60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）当P为OB的中点时,若CD=6,CF=5,求⊙O的半径;（4）当E是FD的中点时,若∠F=60°,CD=23,求CE的长.(结果保留π)【例2】(单动点在圆上运动)如图，⊙O的直径AB=4，C是⊙O上方一动点(不与点A,B重合),连接AC,BC，过点C作CD⊥AB于点D,E是AC的中点,连接B(1)求△ABC面积的最大值；当CD=2(3)求线段BE长的取值范围；设CD与BE交于点F④,当DF:CF=1:4时,求∠BCD的度数.【例3】(直角三角形平移)已知△ABC中，BC=8,tanC=34,(1)如图①,求证:AB是半圆O的切线;（2）如图②,AC交A'B'于点E,当A'C'与半圆O相切于点M时③,求阴影部分的面积；(3)如图③,连接B'A,B'D,(4)如图④,当点B'与点O重合时,连接AA',A'C,A'C交半圆O于点G,连接AG,求点G到直线AA'的距离.母题练+变式练【母题1】如图，半圆O的直径AB=4,C为AB的中点,连接OC,D,E分别为线段OC,OB的中点,P为BC上一动点，求PE+2PD的最小值.【变式1】动点运动位置改变如图，半圆O的直径AB=5,点C在AB上,AC=4,P为AB上一动点，连接OP，过点C作CD⊥OP于点D,连接BD,求BD的最大值.【变式2】单动点变双动点，且运动位置改变如图，半圆O的直径.AB=10,AC=BC,点D在AC上，且【母题2】如图,正方形ABCD的边CD是⊙O的直径,点E在BC上,且CE=1,连接AE,与⊙O交于点G,连接OG,OA为∠DOG的平分线，tan∠GOC=4【变式1】图形变为矩形，动点变为在圆上如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,CD是⊙O的直径,E是BC的中点,F是射线AE上一动点,FG与⊙O相切于点G,连接OF,OG,求tan∠FOG的最小值.【变式2】图形变为菱形，动点变为在对角线上如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,,以CD为直径作⊙O,与AD边交于点E,连接BD,点F为BD上一动点,连接CF,AF的延长线交射线BC于点G,当点F将线段AG分为1:2两部分时，求△AFD的面积.【母题3】如图，在△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿射线BC平移得到△A'B'C',A'【变式1】圆的直径改变如图，在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=6,E为边BC上一点,以点C为圆心,CE长为半径作⊙C，将△ABC沿射线BC平移得到.△A'B'C',B'C'交⊙C于点F(不与点E重合),连接A【变式2】直角三角形放置方式改变如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=6,D为边BC上一点，且AB=DB,以BD为直径作⊙O,将△ABC沿射线AB平移得到.△A'B'C1.如图,⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC,∠BAC=60°,P为AB上一动点,连接AP,BP,CP,AB与CP交于点D.(1)在△ABP中，是否存在度数保持不变的角，如果存在，请指出这个角并求其度数，如果不存在，请说明理由；(2)连接OA,OB,求证:∠APC=(3)当点P运动到何处时，PD⊥AB?若AB=43,(4)若⊙O的半径为6,求PA+PB的最大值.2.如图①,△ABC为等边三角形，EF为半圆O的直径，B，E，C，F四点共线，且点C与点E重合，BC=EF=4,现将△ABC沿射线EF从点E出发以每秒1个单位长度的速度移动，设运动过程中AC与半圆O的交点为点M，运动时间为t秒.(1)如图②,连接FM,当∠EFM=15°时,求AM·OC的值;(2)过点A作半圆O的切线，切点为N，当t=2时，求NF的长；(3)如图③,连接OM,当△OCM为等腰三角形时，求t的值.如图①，在等腰△OAB中,OA=OB=16,且cos∠AOB=35(1)当C为线段OE的中点时，求t的值；(2)当DE与半圆F相切时,连接CD,记△OCD的面积为S₁,△ODE的面积为S₂，求(3)如图②,当t=4时,DE与半圆F的另一个交点为G,求GE的长.如图,在平行四边形ABCD中,BC=4,∠ABC=60°,AC⊥BC,P为射线BC上一点,以BP为直径作⊙O,分别交AB,DC于E,F两点,连接AP,DP.(1)当CD=4PC时,求PD的值;(2)当A，F，P三点共线时，求阴影部分的面积；(3)当△ADP的周长最小时，求⊙O的半径.如图①,在△ABC中,AB=4,∠ACB=90°,∠B=30°,以AC为直径