黑龙江省哈尔滨市第十三职业中学高三数学理下学期期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第十三职业中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若存在两个正实数x，y使得等式成立（其中是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将等式转化为；令，则等式化为，将问题转化为与有交点；令，通过导数可求得函数单调性，得到，通过判断和时的极限，可确定的取值范围.【详解】由得：令，则设，，则当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减又时，；时，又成立等价于与有交点

本题正确选项：【点睛】本题考查根据等式能成立求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的有交点的问题，从而利用导数研究函数的图象，根据图象确定参数的取值范围.2.集合A={x，B=，则= A．{1} B．{0} C．{0，1} D．{-1，0，1}参考答案：A集合A={x，B=，所以={1}。3.是虚数单位，则（

）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：．故选A．考点：复数的运算．4.已知等差数列的前n项和为An，等差数列的前n项和为Bn，且，则使为整数的所有n的值的个数为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：答案:D5.设F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，点A、B分别在双曲线的两条渐近线上，AF⊥x轴，BF⊥x轴，BF∥OA，?=0，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设kOB=﹣，利用?=0，可得kAB=，再求出A，B的坐标，可得kAB=，即可求出双曲线的离．【解答】解：由题意，设kOB=﹣，∵?=0，∴kAB=，直线FB的方程为y=（x﹣c），联立，解得B（，﹣），∵A（c，），∴kAB==，∴b2=a2，∴c2=a2+b2=a2，∴e==，故选：D．6.已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3参考答案：C略7.（原创）首项为1的正项等比数列的前100项满足，那么数列（

）A先单增，再单减

B单调递减

C单调递增

D先单减，再单增参考答案：A略8.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2，f(23)+f(-14)=（A）-1

（B）1

（C）-2

（D）2参考答案：A9.已知等比数列的前三项依次为A.

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：由于等比数列的前三项依次为，得，解得，因此前三项依次为4,6,9，公比，因此，故答案为C.考点：等比数列的通项公式.10.已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2009的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是．参考答案：【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得圆心C（2，0），推导出点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为（m，m+3），则﹣2≤2，由此能求出点P的横坐标的取值范围．【解答】解：由题意可得圆心C（2，0），∵点P在直线l：y=x+3上，圆C上存在两点A、B使得=3，如图，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r=2，∴点P到圆上的点的最小距离|PD|应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为（m，m+3），则﹣2≤2，化简可得2m2+2m﹣3≤0，解得≤m≤，∴点P的横坐标的取值范围是：故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.关于q的函数的最大值记为，则的解析式为

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【试题分析】，因为，所以当时，；当，，所以，故答案为.13.函数的最小正周期为__

__．参考答案：π试题分析：根据三角函数周期公式考点：正余弦函数的周期公式14.若函数的反函数是，则

．参考答案：答案：215.已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围为

。参考答案：略16.数列满足,则

.参考答案：17.已知：若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是_________.参考答案：（0，1）

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.参考答案：解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，∴

所求椭圆方程为．（2）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．所以，当最大时，面积取最大值．略19.（12分）已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：是上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．参考答案：不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0即p是真命题，m<1

f(x)=(5－2m)x是上的增函数，须5－2m>1即q是真命题，m<2

由于p或q为真命题，p且q为假命题

故p、q中一个真，另一个为假命题

因此，1≤m<220.已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可；（2）求函数的导数，根据函数的导数和极值之间的关系，结合直线的斜率公式求解和证明即可．解答： 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=1+=，∵函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，∴f′（1）=2+2a=0，解得a=﹣1．∵f（1）=1=b，∴a+b=0．（2）①∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不等的正根，即x2+2ax+1=0有两个不等正根，令g（x）=x2+2ax+1，∵g（0）=1，∴，解得a＜﹣1，即实数a的取值范围（﹣∞，﹣1]；②由①知x1x2=1，x1＜1＜x2．x2﹣＞0，故==（1++）﹣1=，令h（x）=2lnx﹣x+，则h′（x）=，∴函数h（x）单调递减，h（x2）＜h（1）=0，∴2lnx2﹣x2+＜0，∴＜1，∵a＜﹣1，∴＞a，即．点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．21.已知抛物线P：x2=2py（p＞0）．（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．（ⅰ）求抛物线P的方程；（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，以及抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3，可解得p，问题得解．（ⅱ）求出E点坐标，设出过E的抛物线P的切线方程，再根据直线方程与抛物线方程联立，△=0，即可求出k值，进而求出切线方程．（Ⅱ）设出A，B两点坐标，以及过焦点F的动直线l方程，代入抛物线方程，求x1x2，x1+x2，再求C，D点坐标，用含x1，x2的式子表示坐标，在证共线即可．【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，即M（m，2）到的距离为3；∴，解得p=2．∴抛物线P的方程为x2=4y．

（ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，﹣1），显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx﹣1．由，消y得x2﹣4kx+4=0，△=16k2﹣16=0，解得k=±1．

∴切线方程为y=±x﹣1．