自考本科-线性代数-历年真题

全国2010年1月自考线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，表示矩阵A的转置，/表示向量a的转置，E表示单位矩阵，⑷表示方阵A的行列式，A-1

表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选

均无分。

xyz2X4271

-O

1.设行列式403=1,则行列式3-

1

1

111

2

A.-B.1

3

Q

C.2D.-

3

2.设A,B,C为同阶可逆方阵，则（A5C）一工（）

A.A%B.ClBlAl

C.ClAlBlD.A'C'B'

.设，4

3a1a2fa3,。是4维列向量，矩阵A=(ai，a2,a3,<z4).如果IAI=2,则12A1=()

A.-32B.-4

C.4D.32

4.设a”a2,。3，。4是三维实向量，则（）

A.*02,a3,。4一定线性无关B.一定可由。2，。3，。4线性表出

C.0i，a2,。3，一定线性相关D.a1，a2,。3一定线性无关

5.向量组a1=（1,0,0）,。2=（1，1，0）,。3=（1，1.1）的秩为（）

A.1B.2

C.3D.4

6.设A是4X6矩阵，r（A）=2,则齐次线性方程组Ar=0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1B.2

D.4

7.设4是加义〃矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（）

BAx马（其中b是m维实向量）必有唯一解

C.r（A）=mDAx=0存在基础解系

4-52

8.设矩阵4=5-73,则以下向量中是A的特征向量的是（）

6-94

A.(1,1,1)TB.(1,1,3)T

C.(1,1,0)TD.(1,0,-3)T

-1-11一

9.设矩阵4=13-1的三个特征值分别为A1，A2，A3，则才1+A2+儿3=（）

111

A.4B.5

C.6D.7

10.三元二次型/（修,12,%3)=X；+4,“尤2+^xlx3+4只+12尤2%+9x；的矩阵为()

123143

A.246B.046

369369

-126-123

C.246D.240

0693129

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

123

11.行列式459

6713

5200

2100

12.设4二,贝三

0021

0011

13.设方阵A满足4_24+£=0,则（A2-2E）-1=.

14.实数向量空间V=｛（肛MX3）*+工2+兀3=0｝的维数是.

15.设心,。2是非齐次线性方程组4工=力的解•则A（5。2-4。1）=.

16.设A是加X〃实矩阵，若厂（ArA）=5,则厂（A）=.

17.设线性方程组有无穷多个解，则a=_

18.设几阶矩阵A有一个特征值3,则1-3£+41=.

19.设向量。二(1,2,-2),6=(2,a,3),且。与万正交，则.

x

20.二次型f(xl9x2,x3)=4^2-3x1+4/元2—4元1巧+8x23的秩为.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

2345

21.计算4阶行列式。=3456.

4567

5678

-2-3r

22.设4=4-52,判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵4」.

5-73

23.设向量。=(3,2),求(aTa)101.

24.设向量组。尸(1,2,3,6),%=(1,-1,2,4),a3=(-1,1,-2,-8),%=(1.2,3,2).

(1)求该向量组的一个极大线性无关组；

(2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

元1+元2-214=0

25.求齐次线性方程组＜4x1-x2-x3-%4=0的基础解系及其通解.

3修-x2-x3=0

-32-2

26.设矩阵4=0-10,求可逆方阵P,使尸」4尸为对角矩阵.

42-3

四、证明题(本大题6分)

27.已知向量组。2，。3，。4线性无关，证明：。1+。2，。2+。3，。3+。4，线性无关.

、全国2011年1月自学考试线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A”表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，(/£)表示向量a与夕的内积，E表示单位矩阵,

⑷表示方阵A的行列式.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。

a\\an。132。]]2a122。]3

=()

1.设行列式。21a22a23=4,则行列式。21a22。23

。31。32。333%]3a323%3

A.12B.24

C.36D.48

2.设矩阵4,B,C,X为同阶方阵，且A,B可逆，AXB=C,则矩阵X=()

A.AlCBlB.CA'B'

CB'A^CD.CB'A'

3.已知T+a-ER,则矩阵A/=()

AA-E

CA+ED.-A+E

4.设ai，的,^^,%,如是四维向量，则()

A.a1,cz2,a3,a4,a5一定线性无关B.al,a2,a3,a4,a5一定线性相关

C.a5一定可以由al,a2,oc3,a4线性表示D.ax一定可以由cz2,«3,a4,a5线性表出

5.设4是几阶方阵，若对任意的n维向量X均满足Ax=0,则()

A.A=0BA=E

C.r(A)=nD.0<r(A)<(n)

6.设A为〃阶方阵，r(A)<n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是()

A.Ax=0只有零解BAx=0的基础解系含r(A)个解向量

CAx=0的基础解系含⑷个解向量D4x=0没有解

7.设名,〃2是非齐次线性方程组Ar4的两个不同的解，则()

A.%+是Ax=b的解B.力-牝是Ax多的解

C.3%—2r!z是Ax=b的解D.2仍一3〃2是Ax=b的解

-390-

8.设4，几2，%3为矩阵A=045的三个特征值，则4几2%=()

002

A.20B.24

C.28D.30

9.设P为正交矩阵，向量的内积为Qa,B)=2,则(Pa,P(3)=()

A.-B.l

2

3

C.-D.2

2

10.二次型“Xid2b3)=%：+/+W+2%1%2+211工3+212欠3的秩为()

A.1B.2

C.3D.4

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1-k-9

11.行列式=0,则上__________________________.

2k-1

12.设A=；1,人为正整数，贝IJA忆.

13.设2阶可逆矩阵4的逆矩阵,贝IJ矩阵________________________.

34

14.设向量仪二(6,-2,0,4),p-(31,5,7),向量/满足2。+/=3£,贝1J7=

15.设A是机矩阵，Ax二仇只有零解，则/(4)=.

16.设%,%是齐次线性方程组的两个解，则A(3%+7%)=.

17.实数向量空间V={(a,历43)1%1-应+元3=0}的维数是.

18.设方阵A有一个特征值为0,贝IJLV|=.

19.设向量为=(-1,1,-3),a2=(2,-LA)正交，贝Ij4=.

20.设於：1,12,元3)=+4%2+2君+2比1%2+2尤1工3是正定二次型，贝心满足.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

a-b-c2ala

21.计算行列式2bb-a-c2b

2c2cc-a-b

-12-12一

22.设矩阵4=2-A5，对参数2讨论矩阵A的秩.

110-61

-13f—14

23.求解矩阵方程251X二25

0011-3

一1一-2一'3-1

2512

24.求向量组：%—a—a=，%=的一个极大线性无关组,

-1-631-7

_-2__-5_1_-3_

并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.

2%1-3X2+叼+5/=0

25.求齐次线性方程组＜-3州+工2+2£-4工4=0的一个基础解系及其通解.

—Xj—2%2+3九3+%4=0

■232■

26.求矩阵182的特征值和特征向量.

-2-14-3

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.设向量为,…上线性无关，1勺WA.

证明：cq+勺，戊2，...,应线性无关.

全国自考2008年7月线性代数(经管类)试卷答案

课程代码：04184

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。

1.设3阶方阵A=[%，a2，a3],其中%(i=i,2,3)为A的列向量，且IAI=2,则+3a2,04,(c)

A.-2B.0

C.2D.6

/Xj+x2=0

2.若方程组1kxi—X2=°有非零解，贝|」k二(A)

A.-1B.0

C.lD.2

3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是(C)

A.IABI=IAIIBIB.(AB)-1=B-1A-1

C.(A+B)-l=A-l+B-1D.(AB)T=BTAT

4.设A为三阶矩阵，且IAI=2,贝Ijl(A*)-11=(D)

A.4B.l

C.2D.4

5.已知向量组A：%，。2，。3，。4中。2，。3，。4线性相关,那么(B)

A。2,。3,。4线性无关B.。2'。3'。4线性相关

C.%可由5*0,3,014线性表示D.03，。4线性无关

6.向量组ai，a2「-as的秩为口且r<s,则(C)

A.%，。2，-一<^线性无关

B.%，。2,…a,中任意「个向量线性无关

C.%，。2,…中任意计1个向量线性相关

D.%，。2,…as中任意7个向量线性无关

7.若A与B相似，则(D)

A.A,B都和同一对角矩阵相似B.A,B有相同的特征向量

C.A-XE=B-XED.IAI=IBI

8.设%,是Ax=b的解，n是对应齐次方程Ax=O的解，则(B)

A.1]+%是AxR的解B.n+()是Ax=O的解

C.%+。2是Ax=b的解D.是Ax=b的解

9.下列向量中与。=(1,1,-1)正交的向量是(D)

A.0tl=(1,1,1)B.a2=(-1,1,1)

C.。3=(i,4,1)D.a4=(0,1,1)

--I1-

10.设A=U一2」，则二次型fg,由)=*1八*是(B)

A.正定B.负定

C.半正定D.不定

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设A为三阶方阵且IAI=3,贝lj12Al=_24.

12.已知a二(1,2,3),则|aTa|=

「6-401

120

030020

002…003

13.设A=」,则A*二L」

14.设A为4义5的矩阵，且秩(A)=2,则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是3

a

15.设有向量由=(1,0,-2),2=(3,0,7),。3=(2,0,6).则％，a2，a3的秩是___2

16.方程xl+x2-x3=l的通解是〃=(10°y+K(-l/,0)T+42(1,0,1尸

A-1=-(A-E)

17.设A满足3E+A-A2R,贝3

18.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3.则IA+EI_24.

19.设a与B的内积(a,B)=2,IIBII=2,则内积(2a+6,-B)=___-8.

3-11

-102

122

20.矩阵A=所对应的二次型是34]+243+2/工3+4%213

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

120000

300000

001002

000100

000010

002001

21.计算6阶行列式=18

25；1221-2-8

LB」4TX=

已知A』13.5

22.；」,C=L-2」，x满足AX+B=C,求X.13

23.求向量组%=(1,2,1,3),。2=(4,一1,5-6),。3=(1,.3,-4,-7)的秩和其一个极大线性无关

141141

2-1-3095

1-5-4000

3-6-7000

组.秩为2,极大无关组为％,

Xi+X2+x3=1

X2一X3=1

24.当a,b为何值时，方程组[2X1+3x2+(a+2)X3=b+3有无穷多解？并求出其通解.

rT

a=-l,b=0时有无穷多解o通解是t]=(0,1,0)+k(-2,l,l)

3-1

25.已知A17I"，求其特征值与特征向量.

特征值2=4,4=10,2=4的特征向量4(1,-D二X=10的特征向量左(L-7尸

2-1A—L1+3.1—3"

26.设A=-12-,求An.21—3"1+3"

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27.设a为Ax=0的非零解，B为Ax=b(b*0)的解，证明。与「线性无关.

左1。伊)左2-

A(kl(i^Ok2。=A=

—左［Aapb%2A

=0+k2b

左2b=0—>k2=°

证明：左必氏呵)=fh='K=0

所以a与P线性无关。

全国2010年4月自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。

a

1.已知2阶行列式“2仇一则4%=(

=m)

仇%七%+，a2+c2

A.m-nB.n-m

C.m+nD.-(m+n)

2.设A,5,C均为〃阶方阵，AB=BA,AC=CAf则A3C=)

A.ACBB.CAB

C.CBAD.BCA

3.设A为3阶方阵，5为4阶方阵，且行列式⑷=1,61=-2,则行列式伪⑷之值为（)

A.-8B.-2

C.2D.8

fl00、fl0o)

4.已知4=〃21〃22〃23,B=3c122a23,P=030，Q=310,则2=(

1。31。32。33J、“313〃32〃33,001001

77

A.B4BAP

C.QAD.AQ

5.已知4是一个3义4矩阵，下列命题中正确的是（)

A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩（A）=2

B.若A中存在2阶子式不为0,则秩（A）=2

C.若秩（A）=2,则A中所有3阶子式都为0

D.若秩（4）=2,则A中所有2阶子式都不为0

6.下列命题中错误的是（)

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组。2,。3线性无关，£线性相关，则（)

A.a1必能由。2,。3,£线性表出B.a2必能由。1,。3，£线性表出

C.。3必能由。1,。2,6线性表出D.£必能由ai,a2,。3线性表出

8.设A为机X”矩阵,机则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩

)

A.小于mB.等于m

C.小于nD.等于n

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（)

A^TB.A2

C.A1D.A

10.二次型八尤1,X2,尤3）=x：+君+W+2占尤2的正惯性指数为（

A.0B.1

C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

20072008

n.行列式的值为

20092010

/、

fl-13(20)

12.设矩阵4=,B=，则ATB=

(201JOU

13.设4维向量a=(3,-l,0,2)T,£=(3,l,-l,4)T,若向量r满足2a+r=3£,贝"=

14.设A为n阶可逆矩阵，且⑷=-,，则左1=.

n

15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=O的解，则

L4I=.

16.齐次线性方程组［尤1+/+*=°的基础解系所含解向量的个数为______________.

一勺+3%3-0

17.设〃阶可逆矩阵A的一个特征值是-3,则矩阵仁笳)必有一个特征值为.

1-2-2

18.设矩阵4=-2x0的特征值为4,1,-2,则数x二

-200

(1)

a0

V2

19.已知A=3bo是正交矩阵，则a+b=

V2

001

k7

20.二次型八打,X2,尤3)=-44尤2+2X1尤3+6尤2X3的矩阵是

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

abc

21.计算行列式。=//c2的值。

a+a3b+b3c+c3

22.已知矩阵8=(2,1,3),C=(1,2,3),求(1)A=BrC；(2)A2.

23.设向量组内=(2』,3,l)T,ot2=(1,2,0,1)1,。3=(-1,1,-3,Of,a4=(l,1,1,1)1求向量组的秩及一个极大线性无关组,并

用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

((

123-14

24.已知矩阵A=012,B=25.(1)求A"；(2)解矩阵方程4X=8。

1-3

001

7k7

x1+2X2+3%3=4

25.问a为何值时，线性方程组2/+狈3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时,

2占+2电+3匕=6

要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

200100

26.设矩阵4=03。的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使P%P=020

Qa3005

17

四、证明题（本题6分）

27.设A,B,A+8均为〃阶正交矩阵，证明（4+B）

全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵;R（4）表示矩阵A的秩；⑷表示A的行列

式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不感妥的是（）

A.CA+B)T=AT+BTB.\AB\=\A\\B\

CA(B+C)=BA+CAD.(AB)T=BTAT

auanai32an2〃i3

2.已知a21122a23=3,那么a21a22a23=()

a31a32〃33-2〃3i-2a32-2a33

A.-24B.-12

C.-6D.12

3.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）

」

A.A=A*B.|A|=O

C.(A2)-1=(A-1)2D.(34尸=34一1

41

31-202-1

4.若A=B=-23，C=，则下列矩阵运算的结果为3x2矩阵的是（)

1523-12

21

A.ABCBACTBT

C.CBAD.CTBTAT

f

5.设有向量组A：CC\JOC2。4,其中ai，a2，a3线性无关，则（)

A.ai，a3线性无关B.a1，a2，a3,ou线性无关

C.ai，a2,a3，a4线性相关D.a2,a3,a4线性相关

6.若四阶方阵的秩为3,则（）

A.A为可逆阵B.齐次方程组Ax=0有非零解

C.齐次方程组Ax=O只有零解D.非齐次方程组Ax=A必有解

7.设A为mxn矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（）

A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性无关DA的列向量组线性无关

8.下列矩阵是正交矩阵的是（）

「100'101

1

A.0-10B.110

00-1011

由

立1一

3

26右

n:

cos。-sin0,6_一

D.03

~6~

-sinOcos。6

42Vw3

~2~6~

9.二次型/=为实对称阵）正定的充要条件是（）

A.A可逆B.I4l>0

C.A的特征值之和大于0DA的特征值全部大于0

~k00-

10.设矩阵4=。左—2正定，贝女）

0-24

A.k>0B.k>0

C.k>lD.k>1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设4=（1,3,-1）,B=（2,1）,则ATB=

210

12.若131=0,贝心=。

k21

120

13.设A=200,则A*=_____________

013

14.已知A?一2A_8E=0,贝I]（A+E）"=。

15.向量组%=（1,1,0,2）@=（W,。）,%=（0,卜1,2）的秩为o

16.设齐次线性方程Ax=0有解百,而非齐次线性方程且Ax斗有解7，则介[是方程组的解。

17.方程组[X1+超=°的基础解系为_____________。

[x2+比3=°

18.向量a=(3,2/1),夕=(f-1,2,1)正交，则f=

坟若矩阵六::与矩阵人：：相似，则x-------------

20.二次型/（工1，工2，工3）=%：+-3x|+xrx2-31对应的对称矩阵是

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1-340

一4035的值。

21.求行列式

202-2

76-22

23-3-10-11120

22.已知A=,B=,C=,Z>，矩阵X满足方程AX+BX=D-C,求X。

10-21120101

23.设向量组为ax=(2,0-1,3)

a?=1)

%=(-5,6,-5,9)

%=(4,-4,3,-5)

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

24.求见取何值时，齐次方程组

(A+4)/+3X2=0

<411+巧=°

—5匹+一元3=0

有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

-1-6-3一

25.设矩阵4=0-5-3,求矩阵A的全部特征值和特征向量。

064

26.用配方法求二次型f(x,x,Jc)=x：+4x|+君-+4xx的标准形，并写出相应的线性变换。

1232XXX323

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27.证明:若向量组％.2,…a〃线性无关，而=%=%+。2，==。2

用=%_1+。〃，则向量组回，22,…，色线性无关的充要条件是几为奇数。

全国2010年7月自学考试线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，表示矩阵4的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；14I表示A的行列

式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。

1.设3阶方阵4=(心，a2,或)，持2,3)为A的列向量，若131=1(ai+2a2，。2，a3)1=6,贝！|141=()

A.-12B.-6

C.6D.12

30-20

21050

2.计算行列式=()

00-20

-23-23

A.-180B.-120

C.120D.180

3.若A为3阶方阵且IA】1=2,则12Al=()

A.-B.2

2

C.4D.8

4.设a”a2,ff3,%都是3维向量，则必有()

a

A.aa2，(73，4线性无关B.oa2,a3,。4线性相关

C.可由。2，。3，。4线性表示D.不可由。2，。3，。4线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=O的基础解系中解向量的个数为2,则r(A)=()

A.2B.3

C.4D.5

6.设4、3为同阶方阵，且厂⑷53),贝1()

A.A与B相似B.IAI=IB