2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1.（5分）设i为虚数单位，若复数（1-0（1+出）是纯虚数，则实数。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（5分）设集合A={xeN*|l<log2%<3},8={1,2,3,4},则集合AUB的元素个数为

（）

A.6B.7C.8D.9

3.（5分）已知圆锥的高为遥，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2^2B.273C.276D.442

NBAC=卷，点P在边8C上，则“AP卷BC”是“尸为8C中点”

4.（5分）在△ABC中,

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）记品为等差数列｛斯｝的前/项和，若一■「=/,则叫二（）

$3+565a3+a6

A.2B.工C.旦D.工

154163

6.（5分）北京时间2021年10月16日。时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中

心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学

生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的

知识竞赛活动.现有A,8两队均由两名高一学生和两名高二学生组成.比赛共进行三轮,

每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮

比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是（）

A.互B.星C.—D.翌

991836

7.（5分）已知。>6+1>1,则下列不等式一定成立的是（）

A.\b-a\>bB.

ab

C.b+]-D.a+lnb<b+lna

a-lIna

8.（5分）若斜率为左（%>0）的直线/与抛物线y2=4x和圆M：（x-5）2+y2=9分别交于

A,B和C,。两点，且AC=8。，则当△MC。面积最大时左的值为（）

A.1B.A/2C.2D.272

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为

建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如

图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角

折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2,

则（）

（图1）

A.EHIIFCB.AH,BE=0

C.EG=EH+EFD.EC-EH=EC-ED

（多选）10.（5分）下列命题正确的是（）

A.若Zl,Z2为复数，则|Z1Z2|=|Z1|」Z2|

B.若；，E为向量，则|7e|=|a|-|b|

C.若Zl,Z2为复数，且|zl+z2|=|zl-Z2|,则Z1Z2=O

D.若Z,E为向量，且|a+b|=|a-bI，贝Ua・b=0

（多选）11.（5分）已知函数f（x）=4x3，ax2+l，则（）

A.VflGR,函数/（无）在R上均有极值

B.BaER,使得函数/（x）在R上无极值

C.VaGR,函数/（x）在（-8,0）上有且仅有一个零点

D.BaeR,使得函数/（x）在（-8,0）上有两个零点

（多选）12.（5分）甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平

均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2,方差在区间［1.2,

2.4］内，则这五个点数（）

A.众数可能为1

B.中位数可能为3

C.一定不会出现6

D.出现2的次数不超过两次

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）记数列｛.“｝的前w项积为〃，写出一个同时满足①②的数列｛斯｝的通项公式：

①｛斯｝是递增的等比数列；

②T3=T6.

14.（5分）设点P是曲线上的任意一点，则P到直线》=-x的最小距离

是.

22

15.（5分）已知尸2分别为双曲线C：f■-令l（a>0,b>0）的左，右焦点，若点

abz

F2关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为.

16.（5分）已知直三棱柱A8C-4B1C1中，AB±BC,AB=BC=BBi=2,D,E分别为棱

AiCi,A8的中点，过点Bi,D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为

V1,於（V1CV2）,则V2=；平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①MC=2MB；②sinC=噜^③这三个条件中任选一个，补充在

下面问题（2）的横线上，并解答下列题目.

在“85已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin等位出

（1）求A；

（2）若M为边AC上一点，且,求△ABC的面积.

18.（12分）若数列｛斯｝满足珈+力=斯+/（m£N*,d是不等于。的常数）对任意"6N*恒成

立，则称｛丽｝是周期为如周期公差为d的“类周期等差数列”.已知在数列｛斯｝中，m

=1,an+an+i—4-n+l(weN").

(1)求证：｛斯｝是周期为2的“类周期等差数列“，并求02,02022的值；

(2)若数列｛加｝满足氏=珈+1-a”(W6N*),求｛加｝的前〃项和7k

19.(12分)2021年8月国务院印发《全民健身计划2021-2025》，《计划》中提出了各方

面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科

学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民

健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜

伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调

查.

愿意不愿意合计

男性252550

女性401050

合计6535100

(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与

性别有关？

附.2_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(屋〉依)0.1000.0500.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，

在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按

分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的

经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元.求补贴金额的分布列及数

学期望(四舍五入精确到元).

20.(12分)如图，在四面体ABC。中，己知△A3。是边长为2的等边三角形，ABCD是

以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段A8的中点，G为线段8。的中点，F为

线段3。上的点.

(1)若AG〃平面CEF,求线段CE的长；

(2)若二面角A-2。-C的大小为30°,求CE与平面A3。所成角的大小.

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0),B(2,0),直线用与直线

PB的斜率之积为-1,记动点P的轨迹为曲线C.

4

(1)求曲线C的方程；

(2)若点M为曲线C上的任意一点(不含短轴端点)，点。(0,1),直线AM与直线

BD交于点Q,直线DM与x轴交于点G,记直线AQ的斜率为ki,直线GQ的斜率为ki,

求证：Z1-2比为定值.

22.(12分)已知函数/(x)=ln-1)-Inx.

(1)判断了(x)的单调性，并说明理由；

(2)若数列｛斯｝¥两足。1=1,Cln+l=f(〃”)，求证：对任意"EN，--—.

2n

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1.（5分）设i为虚数单位，若复数（1-0（1+山）是纯虚数，则实数a的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】根据已知条件，结合复数纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可

求解.

【解答】解：,•*(1-z)(1+山)=1+ai-i+a—1(a-1)，为纯虚数,

..仁；嘉解得一.

故选：A.

【点评】本题考查了复数纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练

掌握公式，属于基础题.

2.（5分）设集合A={xeN*|l<log»<3},B={1,2,3,4）,则集合的元素个数为

A.6B.7C.8D.9

【分析】求出集合4利用并集定义求出集合由此能求出的元素个数.

【解答】解：集合A={xeN*|l<log”<3}={3,4.5,6,7},

8={1,2,3,4）,

则集合AUB={1,2,3,4,5,6,7）,

的元素个数为7.

故选：B.

【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

3.（5分）已知圆锥的高为迷，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.272B.273C.2瓜D.472

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得/

=2厂，由此能求出该圆锥的母线长.

【解答】解：设圆锥底面半径为r,母线长为/,

•..圆锥的高为遥，其侧面展开图为一个半圆，

兀1=2兀r，解得/=2分

**•/?=V3r=V6>

解得「=圾，l=2y[2-

.••该圆锥的母线长为2、历.

故选:A.

【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，考查圆锥的结构特征等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

4.（5分）在△ABC中，/BAC=]■，点?在边8C上，则“好卷BC”是“尸为BC中点”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：在直角三角形A2C中，若尸为BC中点，则此蒋BC成立，即必要性成立，

构造矩形ABDC,

贝！JBC=AD,

,点尸在边上，且AP卷BC，

J.AP^AD,则AP=A。，则尸不一定与。重合，即充分性不成立，

2

故"AP-|BC”是“尸为Be中点”的必要不充分条件，

故选:B.

B【点评】本题主要：考查充分条件和必要条件的判断，利用直角三角形的性质是解决本题

的关键，是中档题.

5.（5分）记S为等差数列｛斯｝的前〃项和，若方>，=♦，则q=（）

S3+S65»3+&6

A.2B.XC.A.D.X

154163

【分析】由己知结合等差数列的求和公式可得d=2m,然后结合等差数列的通项公式可

求.

【解答】解：因为数列｛劭｝为等差数列且一SoJ二工1，

^3+^65

所以5s3=S3+S6,即4S3=S6,

则4（3m+3d）=6m+15d,

整理得，d=2ai,

,aa<+2dr

则——?--=-----=2.

agag2a[+7d16

故选：C.

【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题.

6.（5分）北京时间2021年10月16日0时23分,神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中

心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学

生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的

知识竞赛活动.现有A,8两队均由两名高一学生和两名高二学生组成.比赛共进行三轮,

每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮

比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

991836

【分析】先求出四个学生不算同一年级的概率，再利用对立事件概率计算公式能求出第

三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率.

C1c2c2

【解答】解：四个学生来自同一年级的概率为2=二^工=」_

c涌18

则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是：

1818

故选：C.

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

7.（5分）已知。>什1>1,则下列不等式一定成立的是（）

A.\b-a\>bB.

ab

C.’吐1V士——D.a+lnb<b+lna

a-lIna

【分析】利用特殊值法排除ABD；利用导数性质推导出C

【解答】解：

•\a-b>l,b>0,a>1,

对于A：当a=3.5,人=2时，满足〃>/?+1>1,但是-〃|=1.5V|b|=2,故A不成立；

对于3：当a=2,6=0.5时，2+l=工+2,故8不成立；

22

对于。：当a=e,b=工时，e-1>—+1,故。不成立.

ee

对于C：先证明"2x+l,令y=/-x-l,y'="-1,

当尤>0时，y'>0,y递增；当x<0时，y'<0,y递减.

，x=0时，y有极小值，也是最小值e0-1-1=0,

%-120,当且仅当x=0时取等号，

由当％当且仅当x=l时取得等号，

*.*4z>/?+l>1,得至！Je">b+1,lna<a-L

...三支〉i〉互3，文包<白_,故c正确.

b

Inaea-lIna

故选：C.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质、构造法、导数性质等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

8.（5分）若斜率为％（%>0）的直线/与抛物线尸=以和圆M：（x-5）2+/=9分别交于

A,8和C,。两点，且AC=B。，则当△MCD面积最大时％的值为（）

A.1B.V2C.2D.242

【分析】因为AC=8O,所以CD的中点也是AB的中点，设直线A8方程，与抛物线的

方程联立求出两根之和，求出42的中点N的坐标，可得直线的斜率，由圆的性质

可得平分弦且垂直弦，所以可得直线MN的斜率为AB的斜率的负倒数，求出圆心/到

准线的距离d,由勾股定理可得弦长CD的值，代入三角形的面积公式可得△MC。面积

最大值时的d的值，整理可得上的值.

【解答】解：因为AC=8。，设C。的中点为N,则N为的中点,

设直线/的方程为：y—kx+t,设A（xi,ji）,B（尤2,>2）,

则M到直线I的距离」：

d=k+t|,cr>=2^r2_d2,

Vl+k2

所以,

S^MCD=^-CDW=At/»25yg_d2=^_d4+gd2,

2

当屋=9时，S最大,即（5k+t）=9①,

2

2l+k2

联立<9,整理可得：必/+（2厄-4）%+於=0,

,y2=4x

则X1+X2=-爷言Ei（XI+X2）+2=-2k；+吐+2片小

可得48的中点N（-如：2,2）,

ki2Kk

2

k

所以kMN2k

-kt+2.-9

__5-kt+2-5k

2

因为MNLAB,所以-工=———~r-,整理可得f=2T人②,

k-kt+2-5k2k

2

将②代入①中可得（5fc+2~3k.）2=—（1+A2）2,

k2

整理可得：F=8,k>0,解得人=2后，

故选：D.

y

【点评】本题考查抛物线与直线的综合应用及三角形面积最大时满足的条件应用，属于

中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

（多选）9.（5分）折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为

建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如

图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角

折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2,

贝（）

A.EHIIFCB.AH,BE=0

C.EG=EH+EFD.EC'EH=EC-ED

【分析】选项A,由对称性知，EH//FG,EH与尸C即不平行也不重合；

选项8,设风车的中心为。，由屈•瓦=（OH-OAXOE-0B），结合平面向量数量积

的运算法则，展开计算，即可；

选项C,由平面向量的加法法则，可判断；

选项。，根据平面向量数量积的几何意义，可判断.

【解答】解：选项A,由对称性知，EH//FG,而FG与RT不重合，即A错误；

选项8,设风车的中心为。，

AH-BE=（OH-OAXOE-OB）=OH-OE-OH-OB-0A-OE+OA-OB

=0-OH-OB-0A-0E+0=OF-OB-0A-0E=0,即B正确；

选项c,前=而+说=而+而，即c正确；

选项。，EC-EH=IEC|-|EH|cosZC£//=|EC|-|OEI，

EC-ED=IECI-IEDIcosZCED^\ECI-10E|，即。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运

算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

（多选）10.（5分）下列命题正确的是（）

A.若Zl,Z2为复数，则|ziz2|=|zi|・|z2|

B.若彳，E为向量，贝U|=|a|<b|

C.若Zl,Z2为复数，且|Z1+Z2|=|Z1-Z2|,则Z1Z2=O

D.若Z,芯为向量，且|a+b|=Ia-bI，贝1Ja・b=O

【分析】选项A,设zi=a+bi,z2=c+di,根据复数的乘法运算法则和模长的计算方式，

可判断；

选项8,根据平面向量数量积的运算法则，即可判断；

选项C,举反例，取zi=l,Z2=i;

选项将|a+b|=|软-b俩边平方，化简可得a，b=0.

【解答】解：选项A,设zi=a+bi,Z2=c+di,zi”2=Ca+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

-22-2222,

所以|zi•z2|"\/(ac-bd)+(ad+bc)V(ac)+(bd)+(ad)+(bc)

Izil,|Z2|=Va2+b2，Vc2+d2=V(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2,即A正确；

选项B,因为；•芯=|Z|・E|cos<Z，b>，所以限西沟鲁庙，即8错误；

选项C,假设Zl=l,Z2=i,则|zl+z2|=|zl-Z2|=&,但Z1Z2=*O,即C错误；

选项。，因为|a+b1=1a-b|，所以(a+b)2=(a-b)2-BP|al2+lbl2+2a*b=lal2+lbl2

-2式•b，

所以a・b=O，即a_Lb，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量、复数的混合运算法则是解题的关键，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

(多选)11.(5分)已知函数f(x),ax2f［则()

A.VaeR,函数/(无)在R上均有极值

B.3aER,使得函数/(x)在R上无极值

C.V«eR,函数/(x)在(-8,0)上有且仅有一个零点

D.BaER,使得函数/(x)在(-8,0)上有两个零点

【分析】对于AB举例判断即可，对于CD分a=0,a<Q,a>0讨论函数的单调性求

函数的零点即可.

【解答】解：由函数f(x)=/乂3,ax2+［，得f'(x)=x1+ax,。=0时，f(x)三

0,f(x)无极值，故A错误，B正确；

当a=0时，f(x)在R上是单调递增，/(-3)=-8,/(0)=1,/(-3)/(0)<0,

所以/(尤)在(-8,0)有且仅有一个零点，

当。<0时，f(x)>0在(-8,0)恒成立，/G)在(-8,o)是单调递增，

当尤--8时，f(x)--oo,f(0)=1>0,所以函数/(尤)在(-8,0)上有且仅有

一个零点，

当a>0时，f(x)=0,解得x=-a或x=0,/(尤)在(-8,-a)是单调递增，(-

a,0)单调递减，f(x)极大值=/(-a)>f(0)=1,

又当X--8时，f(x)f-8,函数/(x)在(-8,0)上有且仅有一个零点，

所以VaCR,函数/(%)在(-8,0)上有且仅有一个零点，故C正确，D错误.

故选：BC.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，函数的零点问题，属中档题.

(多选)12.(5分)甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平

均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2,方差在区间[1.2,

2.4]内，则这五个点数()

A.众数可能为1

B.中位数可能为3

C.一定不会出现6

D.出现2的次数不超过两次

【分析】根据定义计算众数、平均数、方差判断A;根据中位数为3推出矛盾判断&若

出现6,计算方差判断C；若出现3次2,计算方差判断D

【解答】解：对于A,向上的点数为1,1,1,2,5时，众数为1,平均数为2,

方差为工[(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(5-2)2]=1.2e[1,2,2,4],故A

5

正确；

若中位数为3,设五次数据从小到大为：al,42,43,44,45,则。3=3,

.•・〃1+〃2+。4+。5=2><5-3=7,

〃1+。222,44+Q5W5,矛盾，故3错误；

若出现了6,则其它四次和为4,即数据为1,1,1,1,6,

方差为』(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(6-2)2]=4g[1,2,2.4],矛盾，

5

故C正确；

若出现3次2,则其它2次和为4,这两次为1,4,

方差为(1-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(4-2)2]=0.4?[1.2,2.4],矛

5

盾，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查众数、平均数、中位数、方差公式等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）记数列｛加｝的前"项积为写出一个同时满足①②的数列｛金｝的通项公式:

a“=a"7（。>1）.

①｛z｝是递增的等比数列；

②73=76.

【分析】由已知结合等比数列的性质可求。5=1,然后结合等数列的单调性及通项公式可

求.

【解答】解：因为｛即｝是递增的等比数列且73=四，

所以4441506=ac；3=1,

U

所以〃5=1,

故满足条件的即=。〃一5（6Z>1）.

故答案为：an=an'5

【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题.

14.（5分）设点P是曲线yfG^inx上的任意一点，则P到直线y=-x的最小距离是

V2_.

【分析】在曲线上任取一点，根据距离公式表示出距离，然后结合导数求出该式的最小

值即可.

【解答】解：设尸G,F-|lnt），在尸到直线尸-尤的距离为:

d=-------二--令/G）则，°）=^+~~2t,由，

V2

=0得/=1,

当怎(0,1)时，fG)<0,f(z)单调递减；re(1,+8)时，f⑺>0,f(?)

单调递增，

故/（1）min=f（1）=2>0,故|什=f（1）=2,

故办?加=-^=亚.

近

故答案为：V2.

【点评】本题考查导数的应用，点到直线的距离公式，属于中档题.

22

15.(5分)已知八，R分别为双曲线C：b>0)的左，右焦点，若点

仍关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为_、后_.

【分析】设介(c,0),渐近线方程为y=3,对称点E(777,Q,运用中点坐标公式和

a

两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率

公式计算即可得到所求值.

【解答】解：设R(c,0),渐近线方程为了=3，

a

尸2的对称点为石(m,n),

即有」一=-3，

m-cb

22

解得m=b-a,n=-义且，

cc

将E(卜2H2,_2ab)；即_空)，

cccc

/2_n2、2A212

代入双曲线的方程可得(c丁J-黑号=1,

cacb

2

化简可得等-4=1,即有e2=5,

a

解得e=遥.

故答案为：V5-

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件:

斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

16.(5分)已知直三棱柱A8C-4B1C1中，AB±BC,AB=BC=BBi=2,D,E分别为棱

AiCi,AB的中点，过点8],D,E作平面a将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为

0,V2(V1<V2),则吻=」工；平面a截此三棱柱的外接球的截面面积为空兀.

—6——9—

【分析】先由相似比得到面积比，再根据棱台体积公式求得V1,再用棱柱体积减去V1

可得V2,建系由空间向量求得球心到平面a的距离，结合勾股定理求得截面圆半径，即

可得到截面面积.

【解答】解：取AC中点。1,取AD中点R连EF,DF,EF//DB1,

AiD

Ci

，'盾i

I/

xy

平面a为平面DB\EF,

•：AB±BC,AB=BC=BBi=2,D,E分别为棱A1C1,AB的中点，

所以S/\an——X2X2X—=1,SAAEF=—!

AA1BD1D1224

由棱台体积公式可得，1=工(1+A+A)X2=—,

3426

i717

"方X2X2X2-《=5

266

由AB±BC,可得三棱柱外接球球心在。囱的中点，

所以有三棱柱外接球半径=丁的=愿，

如图以B点为原点，CB为x轴，为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(0,0,0),Bi(0,0,2),D(-1,-1,2),E(0,-1,0),

设平面a的法向量口=(无，y,z),

<n'B1D"°,可得jx-y二O,不妨设z=l,则无=2,y=-2,n=(2,-2,1),

,n-DE=0〔x-2z=0

球心M(-1,-1,1)到平面a距离d=——-----=A,

【点评】本题三棱柱、三棱台的体积的求法，考查球的截面问题，是中档题，解题时要

认真审题，注意空间思维能力的培养.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①MC=2M8；②这三个条件中任选一个，补充在

下面问题（2）的横线上，并解答下列题目.

在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2jV，bsin-^-=asinB-

（1）求A；

（2）若〃为边AC上一点，且,求△ABC的面积.

【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值；

（2）选①时，直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果；

选②时，利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果；

选③时，直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果.

【解答】解：⑴由条件bsin=asinB，得bsin（90°=asinB,

所以bcos^=asinB，

由正弦定理得sinBcos^usinAsinB，

又△ABC中，sinBWO,所以cos^=sinA，

ann•卜AA

即2sin-cos^-=cos—J

又0<AV180°,

所以cos"|■声O'贝।sirr^V，

所以A=60°.

（2）由（1）得A=60°,由条件可知△ABM为等边三角形,

若选①：MC=2MB,

不妨设MB=x,MC=2x,

在△BCM中由余弦定理得了+4/-4/cosl20°=/，解得尤=2,

所以MA=M8=2,MC=4,

△ABC的面积为-lAB-AM-sinA44IB-MC'sinZBMC=3^；

若选②sinC噜

由正弦定理得F——_

sinAsinC

解得c=2,

由余弦定理a2=b2+c2-2/?ccosA,解得Z?=6（负值舍去）,

所以△A5C的面积为-^-tcsinA=3Vs;

若选③，SAABM=V3，由等边三角形ABM的面积为

可得其边长为2,即c=AB=2,

由余弦定理得a2=b2+c2-2/?ccosA,解得b=6（负值舍去），

所以△A8C的面积为_^_bcsinA=3

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面

积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

18.（12分）若数列｛即｝满足劭+根=砺+4（meN*,d是不等于0的常数）对任意尤N*恒成

立，则称｛斯｝是周期为相，周期公差为d的“类周期等差数列”.已知在数列｛劭｝中，

=1,an+an+i—4n+l

（1）求证：｛斯｝是周期为2的“类周期等差数列“，并求42,02022的值；

（2）若数列｛加｝满足仇=如+1-劭（/6N*）,求｛加｝的前〃项和7k

【分析】（1）由题意可知。1+及=5,所以。2=4,且珈+1+劭+2=4〃+5与。”+而+1=4〃+1

相减可得即+2-诙=4,进而证得｛.｝是周期为2的“类周期等差数列”，且周期公差为4,

再利用周期即可求出472022的值；

（2）先求出Tn=an+1-<71,再对n分奇数和偶数两种情况，利用周期求Tn即可.

【解答】证明：（1）由。"+。"+1=4〃+1可知，当”=1时，01+42=5,所以<32=4,

且Cln+1+Cln2=4zz+5,

两式相减得an+2-。"=4,

所以｛诙｝是周期为2的“类周期等差数列”，且周期公差为4,

所以472022=02+（2022-2）+2X4=4044.

解：（2）因为bn=Un+l~dnt

所以｛为｝的前"项和Tn—an+1-ai,

由（1）得｛砺｝是周期为2,周期公差为4的“类周期等差数列”，

所以当〃为奇数时，”+1为偶数，即+1=02+5+1-2）+2X4=2a+2,

所以Tn=2n+1；

当"为偶数时，”+1为奇数,an+i—ai+（n+1-1）4-2X4=2n+l,

所以Tn=2n；

约[2n+l,n为奇数

年上，丁广卜工n为偶数.

【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了数列的递推式，同时考查了学生的计算能

力，属于基础题.

19.(12分)2021年8月国务院印发《全民健身计划2021-2025》，《计划》中提出了各方

面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科

学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民

健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜

伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调

查.

愿意不愿意合计

男性252550

女性401050

合计6535100

(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与

性别有关？

附.2_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片〉心)0.1000.0500.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，

在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按

分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的

经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元.求补贴金额的分布列及数

学期望(四舍五入精确到元).

【分析】(1)设Ho：”愿意把瑜伽作为健身方式”与性别无关.求出K2,即可判断犯错

误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别标关.

(2)设补贴金额为变量X,则X的可能值为1000,1500,2000求出概率,得到分布列，

然后求解期望即可.

【解答】解：(1)设Ho：“愿意把瑜伽作为健身方式”与性别无关.

2

K=7产.等c);__100X(250-1000)。890>7.879，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50X50X65X35

则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作：为主要健身方式”与性

别有关.

答：能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性

别标关.

(2)从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，

则有男性：13X型=5人，女性：13义&=8人，

6565

设补贴金额为变量X,则X的可能值为1000,1500,2000.

c2

P(X=1000)=翁P(X=2000)**

0y「4oy

^13

X100015002000

P14205

393939

14905_

E(X)=1000X奈+1500X瑞+2000X品=1385兀

答：补贴金额的数学期望是1385元.

【点评】本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是

中档题.

20.(12分)如图，在四面体ABC。中，己知△A2D是边长为2的等边三角形，△2C£)是

以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段8。的中点，F为

线段上的点.

(1)若AG