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文档简介

无穷小无穷大

无穷小的性质第五节

无穷大与无穷小

研究函数极限会涉及两种变量变化趋势,一种是在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有多小,在数轴上表示变量越来越趋近于零的变动过程;一种是在极限过程中变量可以无限变大,而且要多么大就有多大,在数轴上表示变量向数轴的正方向无限变动的过程.我们分别将它们称为无穷小量和无穷大量.一、无穷小简单地,以零为极限的变量称为无穷小量.即定义1

如果自变量的某一个变化过程中函数f(x)的极限为零,则称函数f(x)在此变化过程中为无穷小量,简称无穷小.称f(x)在时的无穷小量.例如1.无穷小量的定义注2无穷小量与自变量的变化过程有关,即无穷小量是相对于自变量的某一变化过程而言的.例如,当时,是无穷小量,而当时,就不是无穷小量.注3

很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0”是无穷小量;而无穷小量却不一定是数“0”,仅极限值为0的函数.注1无穷小量不是很小很小的数,而是在自变量的某种变化趋势下极限为零的函数.2、无穷小与函数极限的关系证必要性充分性定理1其中是当时的无穷小.注1任何形式的函数(包括数列)极限都可表示为此函数与极限值之差是无穷小量,反之亦然.即注2例1自变量x在何变化过程中,下列函数f(x)为无穷小.解(3)无论x趋于何值,二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大．在自变量的某变化趋势下,函数f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为无穷大.例注2无穷大量与自变量的变化过程有关,即无穷大量是相对于自变量的某一变化过程而言的.例如,当时,是无穷大量,而当时,是正无穷大量.注1无穷大量不是很大很大的数,而是在自变量的某种变化趋势下,绝对值无限增大的函数(变量).注3

当时为无穷大量的函数在通常意义上说极限不存在的,但是便于叙述,我们说函数的极限为无穷大.证无穷大量的性质：两个无穷大量的积仍是无穷大量,反之不真.注:两个无穷大的代数和以及商不一定是无穷大.例如,但是自变量x在何变化过程中,下列变量为无穷大.解(1)当或时,(2)当时,(3)当时,(4)无论x趋于何值,sinx都不是无穷大.练一练三、无穷小的性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1

在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3在同一过程中,有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.利用无穷小的性质可以求一些函数的极限:例3解例4解练一练解练一练解练一练若时,f(x)为无穷小量,g(x)为无穷大量,则()必为无穷大量.A定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证无穷小与无穷大的关系意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例3求解例4

证明证明因为所以几点注意无穷小与无穷大是相对于过程而言的.(1)无穷小(大)是变

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