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第五节极限运算法则一极限运算法则二极限的不等性三求极限方法举例四小结与思考判断题定理1证由无穷小运算法则,得极限的四则运算法则一、极限的运算法则推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到或以及（3）中的某些情形：（1）当时，而时，（2）当时，而时，（3）当时，而时，（4）当时，而时，（5）当时，而时，关于数列极限也有类似的四则运算法则定理2（复合函数的极限运算法则）设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义．若且存在，当时，有则证按函数极限的定义，需要证：对任意的，存在，当由于

，对任意

，存在当时，又由于对上面得到的，存在，当时，由条件当时，取，则当

时，及同时成成立．即成立，从而成立．此定理给出了求复合函数的极限的公式．二、极限的不等性证明：令

根据保号性定理，有从而，即定理3例1解三、求极限方法举例小结:.,0)(0则商的法则不能应用．可用推广的若=xQ公式求．例2解（也可由无穷小的倒数为无穷大来求）商的法则不能用，但由推广的公式（5）可得例3

求解当时，分子、分母的极限都为零，此时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限例4解(无穷小因子分出法)例5求极限解当时，分子分母都趋于无穷大，用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限．例6求极限用去除分子分母，然后求极限．解也可利用例5的结果求极限“非零无穷小的倒数为无穷大”的结论得到例6的结果．综合例4、例5、例6的结果，可有：无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例7求解例8求解例9求解当时，为无穷小，而是有界函数，所以例10解左右极限存在且相等,1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.四、小结与思考判断题思考题

在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，

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