等差数列的概念练习

第四章数列

4.2.1等差数列的概念

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.已知｛为｝是等差数列，且％+%=15,则见+%的值是（）

A.20B.15C.10D.5

【答案】B

【解析】

•.・｛可｝是等差数列，且1+4=2+3,

二。2+%=4+4=15.故选：B.

2.己知实数a=2,>=8,则“，匕的等差中项为（）

A.4B.±4C.-5D.5

【答案】D

【解析】•.•实数a=2,b=8,

・・・〃，〃的等差中项为：—=-=5.故选：D.

22

3.等差数列｛〃〃｝中，/+%+氏+4+%=450,求％+%=（)

A.180B.45C.75D.300

【答案】A

【解析】在等差数列｛〃〃｝中，因为出+/=。3+%=。4=2%

又氏+/+%+4+%=450,所以+。8）=450，则〃2+4=180.

故选：A.

4.数列｛〃〃｝满足“对任意正整数〃，都有4+4+3=4加+4+2”的充要条件是（)

A.他“｝是等差数列B.｛生“肩与｛%J都是等差数列

C.｛%,｝是等差数列D.｛外…｝与｛/“｝都是等差数列且公差相等

【答案】D

【解析】由4,+4+3=4+1+4,+2

得：an+3-an+l=a„+2-a„

即数列｛%,｝与｛%“"均为等差数列且公差相等，

故"%+a.=%+-”是"®T｝与他“｝都是等差数列且公差相等”的充分条件

反之，｛的,1｝与｛4,J都是等差数列且公差相等

必有4+3-4+1=为+2成立

变形得：4+4+3=4+1+4+2

故"他"t｝与｛%,｝都是等差数列且公差相等''是"4+%3=4-1+。“+2”的必要条件

综上，”,+4+3=。向+。/2”的充要条件是“电人与｛%,｝都是等差数列且公差相等”

故选：D.

5.｛%｝和也｝是两个等差数列，其中，41W5)为常值，4=288,%=96,4=192,

则/=()

A.64B.128C.256D.512

【答案】B

a,ac/必voxivz

【解析】由已知条件可得广=e,，则々t=q=F71=64,因此，

ab｝q288

192+64=128B

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二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.根据下列通项公式，能判断数列｛斯｝为等差数列的是（）

=

A.a〃=〃+lB.an1—2n

〃=1,

C.ci=]D.a=1

n[/?+1,n

【答案】ABD

〃-（〃N2,〃GN*）

【解析】根据等差数列的定义4一"”|一（常数）''得到选项ABD符合，

故选：ABD

7.下列命题正确的是（）

A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B.若等差数列｛q｝的公差d>0,则｛可｝是递增数列

C.若“，江c成等差数列，则,—可能成等差数列

ahc

D.若数列｛q｝是等差数列，则数列｛%+2%+J也是等差数列

【答案】BCD

【解析】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B选项：由等差数列性质知d>0,｛qj必是递增数列；

C选项：a=b=c=l时，,=工=L=1是等差数列，而”=1,h=2,c=3时不成立;

abc

。选项：数列｛6,｝是等差数列公差为4,所以

。“+2a„+,=q+(〃-1)"+2%+2nd=3«,+(3〃-1)J也是等差数列；故选:BCD

8.若等差数列｛%｝和｛%｝的公差均为"(”xO),则下列数列中为等差数列的是()

A.｛2a,,｝(2为常数)B.｛a„+b„｝

C.忖-%D.｛见同

【答案】ABC

【解析】•・•数列｛4｝和也｝是公差均为"("沪0)的等差数列，则

b"=bi+(〃T)d,an-b„=at-bt.

对于A选项，9田-阳,=43+「q,)=/W,数列｛幽,｝(4为常数)是等差数列；

对于B选项，(。,用+%)-(q+2)=(%-%)+(%-2)=加，数列｛q+〃｝是等差数列;

对于C选项，

(晨1(吸「幻一(%—4)

=(--q)(%+《,)-(%—〃)(%+()=d(a“+i-%+4—瓦)="(.一伪),

所以，数列｛。：-不｝是等差数列；

对于D选项，“%-她,=(a,,+d)(2+d)-q〃=/+"&+〃)，不是常数，所以，数列

｛"/"｝不是等差数列.故选：ABC.

三、填空题(共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分)

9.在等差数列｛%｝中，已知"2+必=18,则为=________.

【答案】9

【解析】由等差数列的性质得%+4=2%,

%+%=18,

2a4=18,

得q=9,故答案为：9.

10.已知数列｛《,｝满足递推关系式a向=34+3"-8(〃wN)且｛等4｝为等差数列，则2的

值是.

【答案】-4

【解析】因为｛写4｝为等差数列，

所以&吗4一主乂=4,4为常数,

313"

因为％=3a“+3"-8(〃eM),

3M+3〃-8+几a+X,

所以---------------=d

3"

3%+3"-8+4-(3/+34)

则左边=

3"—8—241-8-2A

为常数,

----3-，-川;----=-3-1----3-向-：——

则一8—2九=0,解得;1=-4,

故答案为：-4.

11.数列｛%,｝满足q=17,an=an_y+2n-1(/?>2,nGN*),则巴■的最小值是

n

【答案】8

【解析】因为a“=a“_]+2〃-l(〃N2,〃eN"),所以a“-a“_]=2"-1,

所以°2-％=3,%-4=5,....an=2n-l,又％=17,

上述〃个式子相加得。“=17+[3+5+…+(2"-1)]=17+(”-1)(；2〃-1)=〃2+]6,

所以%=生土笆=〃+328,当且仅当〃=屿即〃=4时，等号成立，故答案为：8.

nnnn

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.

【答案】2,5,8,11或11,8,5,2.

【解析】设这四个数为a—3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得

](a—3(/)+(a—J)+(q+J)+(q+3J)=26,

I(a—<7)(a+J)=40,

所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

2劣|

13.已知数列｛%｝满足q=-,可-4m=3%4用（〃6产）.求证数列［丁：为等差数歹|」；

【答案】证明见解析

3113

【解析】由题%-%+|=7/4+1，两边同时除以得;;----丁=不，

aa乙

2n+\n

13133

又「二一是首项为！，公差为三的等差数列,

a..22

133/八32

-=2+2=2n，

3n

14.已知数列｛4｝中，q=5且4=2",一+2