2021年河南专升本《高数》真题(含答案)

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复习解读2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号分数

一50

二30

三50

四14

五6

总分150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：易（42分）选择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21填空：26/28/30/32/37计算：41/43应用：证明：

中（73分）选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/23/24/25填空：27/29/31/34/35/36/38/39计算：42/44/46/48/50应用：证明：

难（35分）选择：19填空：33/40计算：45/47/49应用：51/52证明：53一、选择题（每小题2分，共50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1.对称区间上f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，下列函数是奇函数的是（A.f(x4)第1页，共18页

）

2/25考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读B.g(x)+f(x)C.g(x)f(x)D.−g(−x)2.极限limx→03A.22B.3

tan3x2x

=（

）C.0D.∞3.当x→+∞时，下列变量不是无穷大量的是（

）A.

x2+12x3+4B.lgxC.3xD.arctanx4.

sinx2x+f(x)=xxcosx,

,x>0x<0

，则x=0处是f(x)的（

）A.无穷间断点B.可去间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点5.极限lim(x→2

1x−2

−

x

42−4

)的值为（

）.第2页，共18页

2/25考点详解

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复习解读A.B.

1412C.−D.∞

146.下列关于函数y=f(x)在点x的命题不正确的是（0A.可导必连续B.可微必可导C.可导必可微D.连续必可导

）.7.设函数=B.n!C.0D.n!an

xn+axn−1+axn−2+⋅⋅⋅+a，则y(n)=（12n

）.A.an8.设f=(x)A.2B.11C.21D.4

ln1+x，则f′(1)=（

）.9.设函数y=f(x)在点x=1处可导，且limx→1

f(x)−f(1)x2−1

=3，则f′(1)=（

）.A.2B.3C.6D.12第3页，共18页

2/25yy考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读10.曲线y=x3(x−4)在区间(−∞,−4)内的特性是（A.单调递减且为凸B.单调递减且为凹C.单调递增且为凸D.单调递增且为凹11.下列等式中正确的是（

）.）.A.

1−11−1

1+x2dx=

π2C.

1−1

1−x2dx=

π2D.

1−1

(sinx+cosx)dx=012.已知

∫f(x)dx=F(x)+C，则∫1f(lnx)dx=（x

）.A.F(lnx)B.F(lnx)+CC.xF(lnx)+CD.

1x

F(lnx)+C13.下列式子正确的是（

）.A.

ddx

∫f(x)dx=f(x)B.d(∫f(x)dx)=f(x)C.

ddx

∫f′(x=)dx

f(x)+CD.

∫f′(x)dx=f(x)14.平面2x+y−3=0的位置是（A.平行于xOy面

）.第4页，共18页

2/25∫2dx=2B.∫∫∫∫2dx=2B.∫∫∫考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读B.平行于z轴，但不通过z轴C.垂直于z轴D.通过z轴15.方程

x2a2

+

y2b2

=

z2c2

所表示的曲面为（

）.A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C.椭球面D.椭圆柱面16.下列广义积分中发散的是（

）.A.

2dx−2xB.

1−1

dx1−xC.

∫

+∞

e−xdx0D.

+∞2

1x(lnx)2

dx17.常数a>0，

∫

a

(x2+xa2−x2)dx=（

）.−aA.0B.a3C.D.

3223

a3a318.下列方程中为一阶线性微分方程的是（A.(y+xy′)2=xy′

）.第5页，共18页

2/25∫∫∫∫∫∫考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读B.xy′+(y′)2+y=0C.x2y′+y=xD.y′′−2y′+y=019.已知y=2x是y′′+y=2x的解，y=e−x是y′′+y=2e−x的解，则微分方程12y′′+y=2x+2e−x的通解是（

）.A.2x+e−xB.Ccosx+Csinx+2x+e−x12C.Ccosx+Csinx+e−x12D.Ccosx+Csinx+2x1220.若函数f(x,y)在点(x,y)处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，则（00

）.A.f=′(x,y)x00

f=′(x,y)0y00B.若(x,y)是D内唯一极值点，则必为最小值点00C.f′′(x,y)⋅f′′(x,y)−[f′′(x,y)]2>0，且f′′(x,y)>0xx00yy00xy00xx00D.f′′(x,y)⋅f′′(x,y)−[f′′(x,y)]2>0，且f′′(x,y)<0xx00yy00xy00xx0022

∂2z∂x∂y

=（

）.(1,2)A.1B.2C.−2D.−1→

(2,−1)方向的变化率为（

）.第6页，共18页

2/2521.设z21.设z=x−2xy−y，则22.函数f(x,y)=2xy在点(−1,2)沿=l考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读A.25B.−10C.−25D.1023.二次积分

∫

3

dy∫3−yf(x,y)dx=（

）.0

0A.

∫

3

dx∫3f(x,y)dy0

3−xB.

∫

3

dx∫3f(x,y)dy0

0C.

∫

3

dx∫3−xf(x,y)dy0

0D.

∫

3−y

dx∫3−xf(x,y)dy0

024.下列级数中绝对收敛的是（

）.∞n=1

(−1)n+1nnB.

n=1

∞nn+1∞n=1

(−1)n−1n+1D.

∞n=1

n+1

n(n+1)(n+3)

25.下列说法正确的是（

）.A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散第7页，共18页

2/25A.∑∑(−1)C.∑∑(A.∑∑(−1)C.∑∑(−1)考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读二、填空题（每小题2分，共30分）26.函数=y

19−x2

+ln(x+1)的连续区间是

.27.若f(x)为可导的奇函数，且f′(2)=3，则f′(−2)=

.28.曲线y=lnx在点129.lim(1−)x+2021=x→∞x

.

时切线与连接曲线上两点(1,0)，(e,1)的弦平行.30.曲线y=

2x2+1x−1

的垂直渐近线是

.=x31.设曲线方程

2cosθ+sin2θ2sinθ+cos2θ

（

θ为参数），求

dydx

θ=0

=

.32.不定积分∫xsinxdx=

.33.

∫

2

max{x,2−x}dx=

.034.

ddx0

.35.函数=y

4ex+e−x的极值点坐标是

.36.曲面ez−5z+xy=3在点(2,1,0)处切平面方程是

.37.设二元函数=z

2xy+y2，则dz

=

.(3,1)38.函数

π2π33

.39.L为正向圆周(x−1)2+y2=4，

(2y+x3)dx+(x−y3)dy=L

.40.将函数f(x)=

4x2−6x+5

展开为x的幂级数为

.三、计算题（每小题5分，共50分）41.求极限limx→0

ln(1+5xsinx)1−cosx

.

第8页，共18页

2/25=y∫x2costdt(x>0)=y=lnsinx在区间[，]上满足罗尔定理的ξ的值是∫=y∫x2costdt(x>0)=y=lnsinx在区间[，]上满足罗尔定理的ξ的值是∫考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读42.若极限lim(x→∞

x2+3x−1

−ax+b)=0，求a,b的值.43.设函数y=arctan

x，求

dydx

及

dydx

x=1

.44.求曲线y=3+ln(x2+1)的拐点及凹凸区间.45.计算不定积分

∫

3

1x+1+1

dx.46.设f(x)=

π2

x,x≥0

21+x2,

x<0

−147.过点(−3,−2,0)且与直线L=:

x1

y−2=1

z−1−1

垂直相交的直线方程.48.设二元函数=z

x23y

−arcsin(xy)，求xy

∂z∂x

−y2

∂z∂y

.yD50.判断级数

∞n=1

5nn!四、应用题（每小题7分，共14分）51.过坐标原点作曲线y=e−x的切线，求：（1）该切线的方程；（2）由曲线、切线及y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.52.质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.在t=10s时，速度v=100cm/s，外力F=

2g⋅cm/s2，问t=30s时，质点的速度是多少？（65≈8.062，计算结果取整数，注：F=ma，a为加速度）五、证明题（每小题6分，共6分）第9页，共18页

2/25cos，∫f(x−1)dx.49.计算二重积分I=∫∫exdxdycos，∫f(x−1)dx.49.计算二重积分I=∫∫exdxdy，其中积分区域D由直线y=x，y=0，x=3围成.∑1⋅3⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)的收敛性.考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读53.证明多项式f(x)=2x3−6x+a在区间[−1,1]上至多有一个零点，其中a为任意实数.2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选择题（每小题2分，共50分）1.【答案】C【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数×偶函数=奇函数，故选C.2.【答案】A【解析】本题考察求“

00

tan3x”型极限，利用等价代换可得：lim=x→02x

3xlimx→02x

32

.3.【答案】D【解析】limarctanx=x→+∞4.【答案】C

π2

≠∞，根据无穷大量的定义知，故选D.【解析】=limf(x)x→0+

limxcosxx→0+

0，limf(x)x→0−

lim(2x+x→0−

sinxx

)1，在x=0左右极限存在且limf(x)≠limf(x)，所以x=0为跳跃间断点，故选C.x→0−5.【答案】A

x→0+【解析】本题考察求“∞−∞”型极限，lim(x→2

1x−2

−

4x2−4

)=limx→2

x−2x2−4

=limx→2

1x+2

=

14

，故选A.6.【答案】D【解析】根据可微可导连续的关系，知连续不一定可导，故选D.7.【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，y(n)=n!，故选B.8.【答案】D【解析】f′(x)=

11⋅1+x21+x

=

12(1+x)

，f′(1)=

14

，故选D.第10页，共18页

2/25====考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读9.【答案】C【解析】limx→1

f(x)−f(1)=x2−1

limx→1

f(x)−f(1)=(x−1)(x+1)

1=f′(1)3，所以f′(1)=6，故选C.210.【答案】B【解析】y=x3(x−4)=x4−4x3，=y′

4x3−12x2，在(−∞,−4)内y′<0，所以曲线在(−∞,−4)内单调递减；=y′′12x2−24x，在(−∞,−4)内y′′>0，所以曲线在(−∞,−4)内是凹函数，故选B.11.【答案】C【解析】根据定积分几何意义，由被积函数y=1−x2(y≥0)知定积分

∫

1

1−x2dx表示以−1原点为圆心、1为半径的上半圆面积，即

1−1

1−x2dx=

1S=2圆

π2

，故选C.12.【答案】B【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：∫1f(ln=x)dx∫f(lnx)d=(lnx)x13.【答案】A

F(lnx)+C，故选B.【解析】利用微积分互逆运算：选项d(∫f(x)dx)=f(x)dx，选项

ddx

∫f′(x)dx=f′(x)，D选项

∫f′(x=)dx

f(x)+C，故选A.14.【答案】B→→→→面2x+y−3=0与z轴平行；代入原点，得2⋅0+0−3≠0，即平面不经过z轴；故选B.15.【答案】B【解析】方程

x2a2

+

y2b2

=

z2c2

为椭圆锥面的方程式，故选B.16.【答案】A【解析】

2dx−2x

dx−2x

+∫20

dxx

=lnx

0−2

+lnx2，不存在，即发散，故选A.017.【答案】D第11页，共18页

2/25∫BC【解析】平面2x+y−3=0法向量n=(2,1,0)，z轴方向向量s=(0,0,1)，∫BC【解析】平面2x+y−3=0法向量n=(2,1,0)，z轴方向向量s=(0,0,1)，n⋅s=0，即平∫=∫0考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读【解析】

a−a

(x2+xa2−x2)=dx

a−a

x2dx+∫axa2−x2=dx−a

23

x3a+=00

23

a3，故选D.18.【答案】C【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得x2y′+y=x为一阶线性微分方程，故选C.19.【答案】B【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，y+y=2x+2e−x为微分方程12y′′+y=2x+2e−x的解；设二阶线性齐次微分方程为y′′+y=0，特征方程为r2+1=0，r=±i，得二阶线性齐次微分方程的通解为：y

Ccosx+Csinx，故微分方程12y′′+y=2x+2e−x的通解为Ccosx+Csinx+2x+e−x，故选B.1220.【答案】C【解析】f(x,y)在点(x,y)处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分00条件知选项C正确，故选C.21.【答案】C∂z【解析】=∂x

2x−2y，

∂2z∂x∂y

=−2，

∂2z∂x∂y

=−2，故选C.(1,2)22.【答案】A→

→

25

,

−15

)，又因为f′(−1,2)=4，f′(−1,2)=−2，xy故

∂f(x,y)∂l

=(2,−1)

25

⋅4+

−15

⋅(−2)=25，故选A.23.【答案】C30

3−y0

0≤y≤3

，交换积分次序后积分区域

0≤x≤3D可表示为：0≤y≤3−x

33−y00

f(x,y)dx=∫3dx∫3−xf(x,y)dy，故选C.0024.【答案】A第12页，共18页

2/25∫∫【解析】与=l(2,−1)同向的单位向量e=(【解析】由∫dy∫f(x,y)dx知积分区域∫∫【解析】与=l(2,−1)同向的单位向量e=(【解析】由∫dy∫f(x,y)dx知积分区域D表达式为：0≤x≤3−y，即∫dy∫考点详解

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复习解读【解析】根据交错P级数结论，A选项为绝对收敛；B、C、D选项为条件收敛；故选A.25.【答案】D【解析】根据级数的性质：收敛级数加减发散级数，结果为发散，选项D正确，选项C错误；选项A：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化；选项B：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为发散；故选D.二、填空题（每小题2分，共30分）26.【答案】(−1,3)9−x2>0【解析】定义域：x+1>0故连续区间为(−1,3).27.【答案】3

−3<x<3

，x∈(−1,3)，初等函数在其定义域内都连续，【解析】求导后奇偶性发生改变，即f′(x)为偶函数，则f′(−=28.【答案】(e−1,ln(e−1))

f′(2)3.【解析】由题意知曲线在该点的斜率为=：k

1−0=e−1

1e−1

，所以y=′

1=x

1e−1

，解得x=e−1，代入y=lnx得=y29.【答案】e−1

ln(e−1)；故该点(e−1,ln(e−1)).【解析】应用第二重要极限，原式

1lim[1+(−)]−x⋅(−x)⋅(x+2021)x→∞x

x+2021elim−=

e−1.30.【答案】x=1【解析】limx→1

2x2+1x−1

=∞，故x=1为函数y=

2x2+1x−1

垂直渐近线.31.【答案】1【解析】

dydx

dy/dθ=dx/dθ

2cosθ−2sin2θ−2sinθ+2cos2θ

，

dydx

=θ=0

2=1.232.【答案】−xcosx+sinx+C第13页，共18页

2/25，x>−12)=1=x→∞x=，x>−12)=1=x→∞x=考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读【解析】∫xsinxdx=−∫xdcosx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C.33.【答案】3【解析】x≥1时，=f(x)

max{x,2=−x}x；x<1时，f(x)=max{x,2−x}=2−x.2

0012

10

1−x2

2

21

=3.34.【答案】2xcosx【解析】变限积分求导，

d2dx0

(=x2)′cosx2

2xcosx.35.【答案】(−ln2,4)【解析】x∈R，y′=4ex−e−x=

4e2x−1ex

=0，解得：x=−ln2，−∞<x<−ln2，y′<0，则y在(−∞,−ln2)单调递减；x>−ln2，y′>0，则y在(−ln2,+∞)单调递增；所以x=−ln2为极小值点，y=4e−ln2+e−(−ln2)=4⋅故极值点坐标是(−ln2,4).36.【答案】x+2y−4z−4=0

12

+2=4，【解析】令F(x,y,z)=ez−5z+xy−3，F′=y，F′=x，F=′xyz

ez−5，则曲面在(2,1,0)→x+2y−4z−4=0.37.【答案】dz=(3,1)

(1,2,−4)，切平面方程为(x−2)+2(y−1)−4(z−0)=0，即2dx+8dy第14页，共18页

2/25∫max{x,2−x}dx=∫1∫max{x,2−x}dx=∫1(2−x)dx+∫2xdx=(2x−1x2)=∫xcostdt处法向量为=n考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读【解析】=z

2xy+y2，z′=2y，z=′xy

2x+2y，即dz=2ydx+(2x+2y)dy，故dz=(3,1)

2dx+8dy.38.【答案】

π2【解析】令f=′(x)

cosx=sinx

π2π33

π2

，则ξ=

π2

.39.【答案】−4π【解析】由格林公式得，

(2y+x3)dx+(x−y3)dy=∫∫(∂Q−∂P)dxdy=∫∫(1−2)dxdyL∂x∂yDD=−∫∫dxdy=−S=−4π.圆D∞n=0

15n+1

)xn，x∈(−1,1)【解析】f(x)=

4x2−6x+5

=

4(x−5)(x−1)

=

1x−5

−

11=x−11−x

−

15−x=

∞∞n0=n0

xn5n+1∞n=0

15n+1

)xn，x∈(−1,1).三、计算题（每小题5分，共50分）41.【解析】原式

5xsinxlim=x→01−cosx

limx→0

5x21x22

10.42.【解析】lim(x→∞

x2+3x−1

−ax+b)=limx→∞

x2+3−ax2+ax+bx−bx−1limx→∞

(1−a)x2+(a+b)x+3−bx−1

0，根据有理分式结论，得1−a=0，a+b=0，即a=1，b=−1.第15页，共18页

2/250，又因为x∈[，]，解得x=∫40.【答案】∑(1−=∑xn−∑∑(1−==0，又因为x∈[，]，解得x=∫40.【答案】∑(1−=∑xn−∑∑(1−==考点详解

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复习解读143.【解=析】

dydx

=2x1+(x)2

12x(1+x)

，

dydx

x=1

=

14

.44.【解析】函数定义域为R，对函数求导=y′=

2xx2+1

，y′′

2(x2+1)−2x⋅2x=(x2+1)2

2−2x2(x2+1)2

，令y′′=0，即2−2x2=0，得x=−1，x=1，12综上所述：凹区间为(−1,1)，凸区间为(−∞,−1)，(1,+∞)；拐点(−1,3+ln2)，(1,3+ln2).45.【解析】令31+x=t，则x=t3−1，dx=3t2dt，原式

2t+1

3∫

t2−1+1t+1

dt

3(∫

t2−1t+1

dt+∫

1t+1

dt)3[∫(t−1)dt+∫

1t+1

d(t+1)]1=3(t2−t+lnt+1)+C=2

32

211(1+x)3−3(1+x)3+3ln(1+x)3+1)+C.46.【解析】令x−1=t，当x=−1，t=−2；x=2，t=1；2−1

f(x−1)dx=∫1f(t)dt=∫0(1+t2)dt+∫1cos−2−20

π2

tdt=+(t

13

t3)

0−2

+

2π

sin

π2

t

10

=

143

+

2π.第16页，共18页

2/25∫3tdt∫∫3tdt∫考点详解电子资料独家秘笈精准分析解题技巧精准押题复习解读47.【解析】令

x1

y−2=1

z−1=−1

x=t

=

x1

y−2=1

z−1−1

与所求直线的→

(t+3,t+4,−t+1)，直线=

x1

y−2=1

z−1−1

→1

→→→→

11→x+3t+3+t+4+t−1=0，t=−2，所以s=(1,2,3)，故所求直线方程为=1

y+2=2

z3

.∂z48.【解析】=∂x

2x3y

+

y1−(xy)

2

，

∂z∂y

=−

x23y2

+

x1−(xy)

2

，则xy

∂z∂x

∂z−y2=∂y

xy(

2x3y

+

y1−(xy)2

)−y2(−

x23y2

+

x1−(xy)2

)2x23

+

xy21−(xy)2

+

x23

−

xy21−(xy)2

x2.49.【解析】

D

yyy

0000x02

3092

(e−1).

1⋅3⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)⋅(2n+1)50.【解析】由比值判别=法得ρ

limn→∞

un+1un

limn→∞

5n+1(n+1)!1⋅3⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)5nn!=limn→∞

1⋅3⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)⋅(2n+1)5n+1(n+1)!

⋅

5nn!1⋅3⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n