新高考艺术生40天突破数学90分讲义第24讲平行垂直问题(原卷版+解析)

第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.【典型例题】例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（1）求证：平面PAD；（2）求三棱锥C-PBD的体积.例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，∥，，，分别是棱的中点．（1）求证：∥平面.（2）求证：平面⊥平面.例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形，，，平面ABED，M为AD中点（1）求证：平面⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在点G，使得平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体中，，，分别为，，的中点，为线段上非端点的动点，且，，设而与底面的交线为直线，（1）证明：；（2）当时，证明：为平面的一条垂线.【技能提升训练】1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线.（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）判断与的位置关系，并证明你的结论.2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）记平面与底面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明.3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）判断与平面的位置关系，并说明理由.5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．6．（2021·江苏·高一专题练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，、分别是、的中点．（1）证明：；（2）判断直线和平面的位置关系，并加以证明．7．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由.8．（2021·四川·石室中学高三期末（文））如图（1），在矩形中，，在边上，.沿，，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图（2）.（1）试判断图（2）中直线与的位置关系，并说明理由；（2）若平面平面，证明平面.9．（2020·北京·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求证：直线平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥的体积.10．（2020·福建·高二学业考试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，．（1）求四棱锥的体积；（2）若分别是棱的中点，则与平面的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．①平面；②平面；③与平面相交．11．（2021·广东·佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形中，，，为中点，在上，且，已知，现沿把四边形折起（如图乙），使平面平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.12．（2022·上海长宁·高二期末）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并说明理由；（2）若，求证：平面平面；（3）若是线段的中点，求证：直线平面；13．（2021·辽宁大连·高三学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：平面.14．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.15．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；（2）在线段BD上是否存在点F，使得EF//平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱锥P—ABCD的体积．16．（2021·全国·高二单元测试）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，说明理由.17．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习）如图，直三棱柱中，，．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.19．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．（1）证明平面平面；（2）求证：．20．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，，分别为，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面．21．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，是等边三角形，且，.（1）设平面平面，求证：平面；（2）若，求证：平面平面.22．（2021·全国·高一单元测试）如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，O，M分别为AB，FC的中点．（1）求证：；（2）求证：平面DAF；（3）若过EF的平面交BC于点G，交AD于点H，求证：．23．（2020·广东揭东·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点（1）证明：平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.24．（2021·全国·高一课时练习）在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面.（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．25．（2021·上海浦东新·高二期中）已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.26．（2021·全国·高一课前预习）如图，平面平面，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且.（1）求证：平面平面；（2）若点为线段上任意一点，求证：平面.27．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，点D，E，F分别为棱，，的中点．求证：(1)平面DEF；(2)平面平面DEF．28．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，，为棱的中点，证明：平面.29．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是矩形，是正方形，点为的中点，求证：平面.30．（2021·河南·高三阶段练习（文））如图所示，在四棱锥中，，，为等边三角形，且平面ADE平面BCDE，F为棱AC的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）证明：．31．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点．（1）证明：平面平面；（2）设为线段上一点，试确定点的位置，使平面平面．32．（2021·贵州·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，已知，，，，且平面.（1）证明：平面平面.（2）若是上一点，且平面，求三棱锥的体积.33．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））如图1，正方形中，，，将四边形沿折起到四边形的位置，使得(如图2)．（1）证明：平面平面；（2）若分别为的中点，求三棱锥的体积．34．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））图1是，，，、分别是边、上的两点，且，将沿折起使得，如图2.（1）证明：图2中，；（2）图2中，求三棱锥的体积.35．（2021·广西玉林·模拟预测（文））如图所示的四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，分别是，，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．36．（2019·广东·顺德一中高二期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，是的中点.求证：（1）底面；（2）平面．37．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（文））如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．38．（2021·四川·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点．（1）证明：平面．（2）过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积．39．（2021·云南·高三阶段练习（文））已知ABCD是边长为2的正方形，平面平面DEC，直线AE，BE与平面DEC所成的角都为45°.（1）证明：.（2）求四棱锥E-ABCD的体积V.第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.【典型例题】例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（1）求证：平面PAD；（2）求三棱锥C-PBD的体积.【解析】（1）连接，如下图所示：因为为中点，且底面ABCD是边长为2的正方形，所以为中点，又因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，如下图所示：因为PA=PD=AD，所以且，从而，则，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面，所以平面，因为的面积，所以的体积，故三棱锥C-PBD的体积.例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，∥，，，分别是棱的中点．（1）求证：∥平面.（2）求证：平面⊥平面.【解析】（1）设,连接,,∥，,是棱的中点,∥，,四边形为平行四边形，是棱的中点,∥,又平面,平面,∥平面.（2）(方法一)⊥平面,平面,.∥，,是棱的中点,∥，,四边形为平行四边形，∥，.,四边形为菱形，,平面,平面,平面,又平面，平面⊥平面.（方法二）连接,平面,平面,∥,,平面,平面,,是棱的中点,,由（1）可知，,,又是棱的中点,,平面,平面,平面.又平面,平面⊥平面.例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形，，，平面ABED，M为AD中点（1）求证：平面⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在点G，使得平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．【解析】（1）证明：连接，因为，，为的中点，所以四边形为菱形，所以，因为平面ABED，平面ABED，所以，因为，面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：当为的中点时，平面，证明：如图连接，，因为为的中点，为的中点，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体中，，，分别为，，的中点，为线段上非端点的动点，且，，设而与底面的交线为直线，（1）证明：；（2）当时，证明：为平面的一条垂线.【解析】（1）连结，因为，为，的中点，所以.又因为，所以，又因为平面，平面,所以平面，又因为平面，平面平面，所以.（2）连接，，，同理可得，因为，所以，同理，又因为，所以平面，所以为平面的一条垂线.【技能提升训练】1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线.（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）判断与的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）平面，证明见解析；（2），证明见解析.【分析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，可得，且，又M为AB中点，可得，且，所以四边形AMNE为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理，可证平面.（2）根据线面平行的判定定理，可证平面，又平面PBC，结合题意，根据线面平行的性质定理，可证.【详解】（1）平面，证明如下：取PD中点E，连接AE，NE，因为N，E分别为PC，PD中点，所以，且，又M为AB中点，，，所以，且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2），证明如下：因为，平面，平面，所以平面，又平面PBC，且平面平面，根据线面平行的性质定理可得.2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）记平面与底面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）直线面，证明见解析.【分析】（1）证明，利用线面平行的判定定理即可求证；（2）由三角形中位线性质可得：，可证明面，由线面平行的性质定理可得，由线面平行的判定定理即可证明直线面.【详解】（1）因为分别为，的中点，所以，因为底面是菱形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，（2）直线与平面平行，证明如下：因为分别为，的中点，所以，因为面，面，所以面，因为平面与底面的交线为，面，由线面平行的性质定理可得，因为，所以，因为面，面，所以直线面.3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.【答案】（1）EF//面PAC，理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）当点E为BC的中点时，EF//面PAC，可由线面平行的判定定理给出证明；（2）转化为证明AF⊥平面PBC即可.【详解】（1）当点E为BC的中点时，EF//平面PAC.理由如下：∵点E，F分别是BC，PB的中点，∴EF//PC，又平面，平面，∴EF//平面PAC.（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，平面，∴BC⊥PA，又四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又平面，∴AF⊥BC.又PA=AB，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，又平面，∴AF⊥PE.所以，无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）判断与平面的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）平面，理由见解析.【分析】（1）利用正方形的性质可得出，由正方体的几何性质以及线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论.【详解】（1）四边形是正方形，，在正方体中，平面，平面，，，因此，平面；（2）平面，理由如下：证明：设，连接，、分别为、的中点，，平面，平面，因此，平面.5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）l∥平面ABCD；答案见解析．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证出AB⊥平面PAD，进而可得平面PAD⊥平面ABCD，从而求出P到AD的距离即为四棱锥P﹣ABCD的高，再有锥体的体积公式即可求解.（2）根据线面平行的判定定理可得AB∥平面PCD，再由线面平行的性质定理可得AB∥l，由线面平行的判定定理即可证明.【详解】解：（1）由图1可知，AB⊥AE，CD⊥DF，则图2中，AB⊥PA，AB⊥PD，∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，而AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又是边长为2的正三角形，则P到AD的距离即为四棱锥P﹣ABCD的高，∴；（2）平面PAB和平面PCD的交线l∥平面ABCD．理由如下：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l，而AB⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD，∴l∥平面ABCD．6．（2021·江苏·高一专题练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，、分别是、的中点．（1）证明：；（2）判断直线和平面的位置关系，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）平面，证明见解析．【分析】（1）由题意及线面垂直的定理和定义先证平面，再证出；（2）判断出平面，设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）由题意知，平面，平面，，，，平面，平面，；（2）平面.证明如下：设的中点为，连接、．、分别是、的中点，且，又且，故四边形为平行四边形，所以，且，为的中点，则且，所以，且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.7．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由.【答案】平行，理由见解析.【分析】根据题意可取AD中点E，连接ME，NE，根据题知MEBD，NED1D，可得平面EMN平面BB1D1D，即面面平行，利用面面平行即可证明线面平行.【详解】如图，MN平面BB1D1D，取AD中点E，连接ME，NE，根据题知MEBD，NED1D，因为平面EMN，ME⊂平面EMN，所以平面EMN，同理平面EMN，又，所以平面EMN平面BB1D1D，因为MN⊂平面EMN，故MN平面BB1D1D.8．（2021·四川·石室中学高三期末（文））如图（1），在矩形中，，在边上，.沿，，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图（2）.（1）试判断图（2）中直线与的位置关系，并说明理由；（2）若平面平面，证明平面.【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结，分别取，的中点，，连结，，，则由题意可得，，，而平面和平面都与平面垂直，所以平面，平面，得，进而得四边形为平行四边形，再利用平行公理可证得结论；（2）由线面平行的判定定理可得面，再利用线面平行的性质定理可得，而由（1）可得平面，所以平面【详解】（1）.理由如下：连结，分别取，的中点，，连结，，，由图（1）可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，∵平面平面，交线为，平面，∴平面.同理得，平面，∴.又∵∴四边形为平行四边形，∴.∵，分别是，的中点，∴∴.（2）∵，平面，平面∴面∵平面，面平面∴由（1）知平面，∴平面.9．（2020·北京·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求证：直线平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）E是AB中点，证明见解析；（3）.【分析】（1）在PC上取一点F，使，连接MF，NF，证明，，推出，即可得证；（2）E是AB中点，证明，，利用线面垂直的判定定理即可证明平面PDE；（3）证明为点到平面的距离，求出底面积，利用等体积法即可求解.【详解】（1）在PC上取一点F，使，连接MF，NF，因为，，所以，，，，可得且.所以MFNA为平行四边形，即，又平面，所以直线平面.（2）E是AB中点，证明如下：因为E是AB中点，底面ABCD是菱形，，所以，因为，所以，即，又平面ABCD，所以，又，所以直线平面PDE（3）直线，且由（2）可知，DE为点A到平面PDC的距离，，，所以.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行以及垂直的判断，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.10．（2020·福建·高二学业考试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，．（1）求四棱锥的体积；（2）若分别是棱的中点，则与平面的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．①平面；②平面；③与平面相交．【答案】（1）4；（2）②，理由见解析．【分析】（1）根据四棱锥体积公式直接计算；（2）首先判断平面，要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，．根据条件证明四边形是平行四边形.【详解】（1）因为平面，所以．（2）②，理由如下：取的中点，连接，．因为分别为，的中点，所以，．因为为的中点，所以，又矩形中，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形．所以．又平面，平面，所以平面．【点睛】本题考查证明线面平行，几何体的体积，重点考查逻辑推理，空间想象能力，计算能力，属于基础题型.11．（2021·广东·佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形中，，，为中点，在上，且，已知，现沿把四边形折起（如图乙），使平面平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据线面平行的判定定理得出平面，同理平面，再根据面面平行的判定定理得出平面平面，最后由面面平行的性质从而可证出平面；（2）根据题意，由面面垂直的性质得出，结合，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面.（1）证明：由题意知，平面，平面，所以平面，同理平面，∵，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）证明：在图甲中，，，∴，则在图乙中，，又∵平面平面，平面平面，∴平面，得，又∵，，∴平面，而平面，∴平面平面.12．（2022·上海长宁·高二期末）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并说明理由；（2）若，求证：平面平面；（3）若是线段的中点，求证：直线平面；【答案】（1）为二面角的平面角，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据，结合二面角定义得到答案.（2）证明平面得到，得到平面，得到证明.（3）延长，交于点，连接，证明即可.（1）连接，则，，故为二面角的平面角.（2），，，故平面，平面，故，又，，故平面，平面，故平面平面.（3）延长，交于点，连接，易知，故故是的中点，是线段的中点，故，平面，且平面，故直线平面.13．（2021·辽宁大连·高三学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：平面.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用条件可得，结合棱锥的体积公式即求；（2）取的中点，可证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即证.（1）证明：设与的交点为，因为底面是边长为的菱形，所以，且，因为，所以，在中，，故，所以.因为平面，所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积.（2）取的中点，连接、，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且.所以且.故四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.14．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；（2）由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直.（1）连接交于，连接，因为为矩形，所以为中点，又为中点，所以又平面，平面，所以平面.（2）因为侧棱底面，平面，所以，又为矩形，所以，，所以平面，平面，所以，因为为的中点，且，由三线合一得：，因为，所以平面，因为平面，从而，又，，所以平面.15．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；（2）在线段BD上是否存在点F，使得EF//平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱锥P—ABCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点F，F为BD的中点，理由见解析；（3）1.【分析】（1）由题意，证明在平面PDE中的直线DE与平面PAD垂直即可；（2）取BD的中点F，证明EF//CD即可；（3）先求出底面直角梯形的面积，再利用锥体的体积公式即可求出四棱锥P—ABCD的体积.（1）证明：E为BC的中点，BC=2AD，AD=BE，而AD//BC四边形ABED是平行四边形，又∠BAD=90°，DE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，DE⊥PA，PA∩AD=ADE⊥平面PAD，而DE平面PDE，平面PDE⊥平面PAD（2）解：存在点F，且F为BD的中点，理由如下：取BD的中点F，如上图所示E，F分别为BC，BD的中点，EF//CD，而CD平面PCD，EF平面PCD，EF//平面PCD（3）解：由条件可知BC=2，所以梯形ABCD的面积为：故四棱锥P-ABCD的体积为V=16．（2021·全国·高二单元测试）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【分析】（1）推导出平面，从而，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；（2）当为中点时，连结，，交于点，则是的中点，连结，推导出，从而平面．（1）证明：由题设知，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，为上异于，的点，且为直径，，又，平面，平面，平面平面；（2）解：在线段上存在点，当为中点时，使得平面．证明如下：连结，，交于点，是矩形，是的中点，连结，是中点，，平面，平面，平面，所以当为中点时，平面．17．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习）如图，直三棱柱中，，．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）当为中点时，平面，此时【分析】小问1：根据直三棱柱，得面面，结合，证明面，从而得到；小问2：分别取，的中点为，，连接，证明，，进而证得面面，从而证得平面，得到的值.（1）因为为直三棱柱，故面面，又面面，且，故面，又面，故（2）分别取，的中点为，，连接，因为，故为的中位线，为的中位线，因此，又面，故面又为直三棱柱，故，即，又面，故面又，故面面又面，故平面，此时18．（2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）为中点.证明见解析【分析】（1）证明，，得到平面.（2）根据得到平面，得到证明.（3）为中点时，平面，，平面，且平面，得到答案.（1）平面，平面，故，，，故平面.（2），平面，故平面，平面，故平面平面.（3）当为中点时，平面.证明如下：为中点，为的中点，故，平面，且平面，故平面.19．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．（1）证明平面平面；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由线面平行、面面平行的判定即可证明.（2）利用线面平行的性质定理即可证明.（1）证明：因为M，N，Q分别，，的中点，所以，又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,平面ABCD,因为，平面MNQ,所以平面平面，（2）证明：因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.20．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，，分别为，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由题意易知，平面，平面，根据面面平行的判定定理即可证出；（2）根据平面知识可证，再根据面面垂直的性质定理可知平面，即可根据面面垂直的判定定理证出．（1）因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面①；因为且，所以四边形为平行四边形，即有，又平面，平面，所以平面②，由①②及，平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，，所以，即有，而平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面．21．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，是等边三角形，且，.（1）设平面平面，求证：平面；（2）若，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)利用线面平行的判定定理和性质即可证明；(2)证明CD⊥AC，从而得到平面即可.（1）∵，平面，平面，∴∥平面，又平面平面，平面，∴，又平面，平面，∴平面；（2）作，垂足为M，∵，，∴，又，，∴四边形为正方形，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，又，，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.22．（2021·全国·高一单元测试）如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，O，M分别为AB，FC的中点．（1）求证：；（2）求证：平面DAF；（3）若过EF的平面交BC于点G，交AD于点H，求证：．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解（3）证明见详解.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证出，再由线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理即可证明.（2）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理即可证明.（3）由面面平行的性质定理即可证明.（1）平面平面ABCD，平面平面ABCD，在矩形ABCD中，，平面ABCD，平面，，又，，平面，平面，平面，（2）取的中点，连接，分别为的中点，，且，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面DAF，平面DAF，平面DAF.（3），过直线存在一个平面，使得平面平面ABCD，又过的平面交于，交于点，平面ABCD，，23．（2020·广东揭东·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点（1）证明：平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据菱形性质和线面垂直性质可得，，由线面垂直的判定可得结论；（2）连接，由线面平行性质可得，知为中点，由体积桥可得，根据长度关系可求得结果.（1）四边形为菱形，；平面，平面，；平面，，平面；（2）连接，平面，平面，平面平面，，又为中点，为中点，四边形是菱形，，，，；由（1）知：平面，.24．（2021·全国·高一课时练习）在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面.（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）先证明平面，在证明平面，即可证明平面平面；（2）连接交于O，连接，由题意先面面平行的性质证明，再由平行的性质结合题设即可求解【详解】（1）∵分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面；（2）连接交于O，连接，由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，则，又由题设，∴，即.25．（2021·上海浦东新·高二期中）已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】解法1：取中点，连接，，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，从而得，再利用线面平行的判定定理可证得结论，解法2：取中点，连接，，则由三角形中位线定理和平行四边形的性质可得，，再由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论【详解】解法（1）取中点，连接，，是中点，是中点，，，是矩形边中点，，，，，所以四边形是平行四边形，，且是平面外的一条直线，是平面上的一条直线，平面.解法（2）取中点，连接，，是中点，是中点，所以，因为是的中点，是的中点，所以,因为，，所以，,所以四边形为平行四边形所以，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因为所以平面平面，因为平面，所以平面.26．（2021·全国·高一课前预习）如图，平面平面，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且.（1）求证：平面平面；（2）若点为线段上任意一点，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）证明出平面，可得出，由已知条件得出，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得平面.【详解】（1）因为为矩形，所以，又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，即，且、平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面；（2）因为，平面，平面，所以平面.因为和均为等腰直角三角形，且，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.27．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，点D，E，F分别为棱，，的中点．求证：(1)平面DEF；(2)平面平面DEF．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)首先证明平面平面，然后利用面面平行的性质即可证明线面平行；(2)首先利用正方形性质证明，然后利用线面垂直判定定理和性质证明，进而证明平面，最后利用面面垂直的判定定理即可求解.【详解】(1)连接，如下图：因为点D，E，F分别为棱，，的中点，几何体为直三棱柱，所以，，又因为，，，平面；，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.(2)因为，几何体为直三棱柱，所以四边形为正方形，故，因为，所以，又因为，，，所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.28．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，，为棱的中点，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】延长CC1，BB1交于点V，在BB1上取点Q，使，再连BD交AC于点O，连接OQ，证明，即可推理作答.【详解】在四棱台中，在BB1上取点Q，使，连BD交AC于点O，连接OQ，如图，延长CC1，BB1交于点V，由，则，，则，即，又平面，平面，于是得平面，在直角梯形中，，则，于是得，又平面，平面，则平面，又，平面OQC，因此得平面平面OQC，又平面OQC，所以平面.29．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是矩形，是正方形，点为的中点，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】连AC交BD于点N，连MN，证明MN，BN都平行于平面EFC，再经推理论证即可作答.【详解】连接AC交BD于点N，连接MN，如图，因四边形ABCD是正方形，则N为AC的中点，而M为AE的中点，于是得MN//CE，又平面EFC，平面EFC，因此，MN//平面EFC，在矩形中，，平面EFC，平面EFC，则BN//平面EFC，而，平面BMN，从而得平面BMN//平面EFC，又平面BMN，所以BM//平面EFC.30．（2021·河南·高三阶段练习（文））如图所示，在四棱锥中，，，为等边三角形，且平面ADE平面BCDE，F为棱AC的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】(1)根据给定条件求出等腰梯形的面积，取DE中点O，连AO，证得平面即可计算作答.(2)利用(1)中信息，证得平面，连FG，再证平面即可推理作答.（1）因，，则四边形是等腰梯形，取CD中点G，连BG，如图，显然有，，则四边形是平行四边形，，于是得是正三角形，等腰梯形的高等于正的高，等腰梯形的面积，取DE中点O，连AO，为等边三角形，则，而平面ADE平面BCDE，平面ADE，平面ADE平面，因此，平面，又，从而有，所以四棱锥的体积是.（2）由(1)知，，，在中，，于是得，即，即有，又平面，平面，则，而，平面，因此有平面，而平面，则，连FG，因F为棱AC的中点，G为CD的中点，则，于是得，又，平面，从而得平面，因平面，所以.31．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点．（1）证明：平面平面；（2）设为线段上一点，试确定点的位置，使平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）点为中点.【分析】(1)根据给定条件可得，利用勾股定理证明即可证得平面平面.(2)取的中点，证明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.（1）因为为直四棱柱，则平面，而平面，于是得，在中，，，由余弦定理得，，因此，，即，又，平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）当点为中点时，平面平面，连接，如图，在等腰梯形中，，即，而，则四边形为平行四边形，即有，因平面，平面，则有平面，因为，，则四边形为平行四边形，有，而平面，平面，因此，平面，又，所以平面平面.32．（2021·贵州·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，已知，，，，且平面.（1）证明：平面平面.（2）若是上一点，且平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直；（2）设过点和的平面交平面于，根据线面平行的性质定理可证为平行四边形，进而可得及三棱锥体积.（1）证明：因为，，所以，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解：如图，设过点和的平面交平面于，点在上，连接因为平面，则，因为，且平面，所以平面，又平面平面，所以.所以四边形为平行四边形，则.过点作，垂足为，则平面.又，，可得，所以.33．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））如图1，正方形中，，，将四边形沿折起到四边形的位置，使得(如图2)．（1）证明：平面平面；（2）若分别为的中点，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）﹒【分析】（1）证明QM⊥AQ和QM⊥QP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证；（2）根据几何关系，利用，由锥体体积公式即可得解.（1）∵在正方形中，，，∴QM⊥QP，，又∵∠AMQ＝60°，∴在△AMQ中，由余弦定理得，，，，又∵平面ABPQ，∴平面ABPQ，又∵QM平面MNPQ，∴平面平面；（2）由（1）知AQ⊥QM，QM⊥QP，∵在正方形中，，，∴四边形CDMN