新高考艺术生40天突破数学90分讲义第28讲排列组合(原卷版+解析)

第28讲排列组合【知识点总结】1.分类加法计数原理①有n类方法完成一件事②任两类无公共方法（互斥）共有③每类中每法可单独做好这件事种不同方法.2.分步乘法计数原理①必须走完n步，才能完成任务完成一件事②前一步怎么走对后一步怎么共有③走无影响（独立）种不同方法.3.排列与排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有.4.组合与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）互不相同的盆菊花，其中盆为白色，盆为黄色，盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（）A．种 B．种 C．种 D．种例2．（2022·全国·高三专题练习）某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）A．240种 B．300种C．360种 D．420种例3．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有()A．66种 B．60种 C．36种 D．24种例4．（2022·全国·高三专题练习）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（）A．480 B．240 C．384 D．1440例5．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名同学去甲､乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有()A．10种 B．20种 C．50种 D．70种例6．（2022·全国·高三专题练习）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（）A． B． C． D．例7．（2022·全国·高三专题练习）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10 B．20 C．540 D．1080例8．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（）A．12种 B．24种 C．32种 D．36种例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（）A．28种 B．30种C．27种 D．29种2．（2022·全国·高三专题练习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（）A．26 B．60C．18 D．10803．（2022·全国·高三专题练习）某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有（）A．4种 B．5种 C．9种 D．20种4．（2022·全国·高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（）A．32 B．23C．43 D．245．（2022·全国·高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A．180种 B．360种C．720种 D．960种6．（2022·全国·高三专题练习）某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（）A．64种 B．46种 C．24种 D．360种7．（2022·浙江·高三专题练习）在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为A．24种 B．48种 C．72种 D．96种9．（2021·福建·三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（）A．36 B．48 C．72 D．9610．（2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测（理））用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(，，，，)染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法A．120 B．180 C．360 D．42011．（2021·河南·高三阶段练习（理））如图，准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（）A． B． C． D．12．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（）A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．种 B．种C．种 D．种14．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有()A．66种 B．60种 C．36种 D．24种15．（2022·全国·高三专题练习）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种16．（2022·浙江·高三专题练习）高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）A．864种 B．432种 C．288种 D．144种17．（2022·浙江·高三专题练习）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（）A．12 B．24 C．64 D．8118．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（）A．840种 B．140种C．420种 D．210种19．（2021·四川·绵阳中学高三阶段练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110二、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）有A，B，C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同，甲.乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).21．（2022·全国·高三专题练习（理））某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．22．（2022·全国·高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.23．（2022·全国·高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．24．（2022·全国·高三专题练习）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）25．（2020·全国·高三专题练习）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.26．（2022·全国·高三专题练习（理））将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为______．27．（2022·全国·高三专题练习）为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．28．（2022·河北张家口·高三期末）四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中，则恰有两个空盒的概率为___________.29．（2022·全国·高三专题练习）某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)30．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四人分别去甘肃､内蒙古､北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲､乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有___________.31．（2022·全国·高三专题练习）现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答）32．（2020·辽宁·凌源市第二高级中学高三期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．33．（2020·全国·模拟预测（理））世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.34．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学高三阶段练习）从6名志愿者中选出4个人分别从事翻译、导游、导购、保洁工作，其中甲、乙两个人不能从事翻译工作，则选派志愿者的方案共有_____种（用数值作答）三、解答题35．（2022·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起．第28讲排列组合【知识点总结】1.分类加法计数原理eq\o\ac(○,1)有n类方法完成一件事eq\o\ac(○,2)任两类无公共方法（互斥）共有eq\o\ac(○,3)每类中每法可单独做好这件事种不同方法.2.分步乘法计数原理eq\o\ac(○,1)必须走完n步，才能完成任务完成一件事eq\o\ac(○,2)前一步怎么走对后一步怎么共有走无影响（独立）种不同方法.3.排列与排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有.4.组合与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）互不相同的盆菊花，其中盆为白色，盆为黄色，盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【详解】红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有种摆放方法．故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）A．240种 B．300种C．360种 D．420种【答案】D【详解】先放A，共有5种选择，若B、D选则同一种花，有四种选择，剩下的C、E均有三种选择，共种，若B、D选则不同种花，有种选择，剩下的C、E均有两种选择，共种，故共有180+240=420种.故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有()A．66种 B．60种 C．36种 D．24种【答案】B【详解】首先对五名学生全排列，则共有种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选：B例4．（2022·全国·高三专题练习）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【详解】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有种插法；所以共有种不同的安排方法.故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名同学去甲､乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有()A．10种 B．20种 C．50种 D．70种【答案】C【详解】根据题意，分2种情况，(1)①将6人分为人数为2和4的2组，有种分组方法，②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；(2)①将6人分为人数为3和3的2组，有种分组方法，②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；∴不同的安排方法有，故选：C．例6．（2022·全国·高三专题练习）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；甲被分到A班，有两种情况：甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；综上可知，甲被分到班的概率为.故选：B.例7．（2022·全国·高三专题练习）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10 B．20 C．540 D．1080【答案】A【详解】从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个，等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，从中任取2个插入挡板，共有（种）方法，即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10.故选：A例8．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（）A．12种 B．24种 C．32种 D．36种【答案】D【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有种送法，由分步计数乘法原理得：，所以每位同学都分到书的分法有36种.故选：D例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．【答案】420【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为．故答案为：420．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（）A．28种 B．30种C．27种 D．29种【答案】A【分析】依题意可得有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，则选派的方案有四类：①选派两种球都会的两人；②从两种球都会的选1人踢足球，再从只会打篮球的选1人；③从两种球都会的选1人打篮球，再从只会踢足球的选1人；④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球；按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有（种）方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有（种）方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有（种）方案.综上可知，共有（种）方案，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（）A．26 B．60C．18 D．1080【答案】A【分析】按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：由分类加法计数原理知有（种）不同走法.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有（）A．4种 B．5种 C．9种 D．20种【答案】C【分析】分两类：从男生中选和从女生中选，根据分类加法计数原理可得总的选法数量﹒【详解】分两类：一类从男生中选，有4种方法；一类从女生中选，有5种方法；用加法原理共有4＋5＝9种方法．故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（）A．32 B．23C．43 D．24【答案】B【分析】由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案【详解】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A．180种 B．360种C．720种 D．960种【答案】D【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有（种）.故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（）A．64种 B．46种 C．24种 D．360种【答案】B【分析】对于每一位乘客都有4种下车可能，即可求6位乘客的可能下车情况数.【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46种，故选：B．7．（2022·浙江·高三专题练习）在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】这4人必须既有男生又有女生分为3类，然后根据分步计数原理以及组合数分别求出结果，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】这4人必须既有男生又有女生分为3类，（1）1男生3女生，共有种，（2）2男生2女生，共有种，（3）3男生1女生，共有种，根据分类计数原理，共有种，故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】C【详解】试题分析：按照先A再BD最后CE的顺序，分两种情况涂色，1：BD同色，有;2：BD不同色，有种考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论9．（2021·福建·三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（）A．36 B．48 C．72 D．96【答案】C【分析】根据题意，分2步依次分析区域和区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①对于区域，三个区域两两相邻，有种涂色的方法，②对于区域，若区域与颜色相同，区域有2种选法，若区域与颜色不同，则区域有1种选法，区域也只有1种选法，则区域有种涂色的方法，则有种涂色的方法，故选：C.10．（2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测（理））用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(，，，，)染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法A．120 B．180 C．360 D．420【答案】D【分析】根据用三种颜色、四种颜色、五种颜色分三类，结合分类计算原理、排列的定义进行求解即可.【详解】用三种颜色涂色，则有种方式；用四种颜色涂色，则有种方式；用五种颜色涂色，则有种方式，所以一共有种方式.故选：D.11．（2021·河南·高三阶段练习（理））如图，准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，涂色分步进行，第一步对于区域，有种颜色可选，第二步对于区域，与区域相邻，有种情况，第三步对于区域，与、区域相邻，有种情况，第四步对于、区域，分种情况讨论，然后利用分步乘法计数原理可得结果【详解】根据题意，涂色分步进行分析：对于区域，有种颜色可选，即有种情况，对于区域，与区域相邻，有种情况，对于区域，与、区域相邻，有种情况，对于、区域，分种情况讨论：若区域与区域涂色的颜色相同，则区域有种颜色可选，即有种情况，此时、区域有种情况；若区域与区域所涂的颜色不相同，则区域有种情况，区域有2种情况，此时、区域有种情况，则、区域共有种情况，则不同涂色的方案种数共有种．故选：C．12．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】只需考虑将甲、乙、丙、丁4名同学全排列即刻.【详解】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，有种排法，老师必须站在中间，有1种安排方法，则有种站法；故选:B13．（2022·全国·高三专题练习）某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【分析】先排中国，再排美俄两国领导人，其他国家任意排即可﹒【详解】中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有种站法．根据分步乘法计数原理可知，共有种站法．故选：D．14．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有()A．66种 B．60种 C．36种 D．24种【答案】B【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解.【详解】首先对五名学生全排列，则共有种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选：B15．（2022·全国·高三专题练习）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.【详解】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．故选：D16．（2022·浙江·高三专题练习）高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）A．864种 B．432种 C．288种 D．144种【答案】A【分析】分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，由乘法原理可得．【详解】由题意可分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，方法数为．故选：A．17．（2022·浙江·高三专题练习）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（）A．12 B．24 C．64 D．81【答案】B【分析】题目考察简单的排列问题，即四本书选三本给三个人，符合的含义【详解】4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为．故选：B18．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（）A．840种 B．140种C．420种 D．210种【答案】C【分析】使用特殊元素法，直接计算即可.【详解】由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天所以不同的安排方法有种故选：C19．（2021·四川·绵阳中学高三阶段练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【分析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况进行讨论，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种；③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有种．综上分析，共可开出种．故选：B．二、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）有A，B，C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同，甲.乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).【答案】8【分析】由题意，分选甲.乙.丙，选甲.乙.丁，选甲.丙.丁，选乙.丙.丁四类，利用分类加法计数原理求解.【详解】解：由于丙，丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲，乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲.乙.丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲.乙.丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲.丙.丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙.丙.丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.故答案为：821．（2022·全国·高三专题练习（理））某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．【答案】12【分析】分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；【详解】解：由题意可得，①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．故答案为：22．（2022·全国·高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.【答案】5【分析】运用枚举法即可求得答案.【详解】记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112三种，共5种摆法.故答案为：5.23．（2022·全国·高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．【答案】60【分析】首先根据题意分成两类，分别计算各类的结果再相加即可.【详解】分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．共可得到30＋30＝60(组)．故答案为：6024．（2022·全国·高三专题练习）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）【答案】【分析】由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理相加计算.【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法，则有.故答案为：25．（2020·全国·高三专题练习）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.【答案】45【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种故答案为：45【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题.26．（2022·全国·高三专题练习（理））将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为______．【答案】14【分析】根据甲分配的班级分类讨论：一甲分到班，二是甲分到中的一个班级，注意考虑乙班级即可得．【详解】将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：①甲分配到B班（种）分配方案；②甲不分配到B班有（种）分配方案．由分类加法计数原理可得，共有（种）分配方案．故答案为：14．27．（2022·全国·高三专题练习）为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．【答案】182【分析】根据甲、乙中裁一人、都不裁进行分类讨论，由此求得不同的裁员方案的种数.【详解】甲、乙中裁一人的方案有种，甲、乙都不裁的方案有种，故不同的裁员方案共有＝182(种)．故答案为：18228．（2022·河北张家口·高三期末）四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中，则恰有两个空盒的概率为___________.【答案】【分析】结合古典概型概率计算公式以及排列组合的计算，求得所求概率.【详解】四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中共有种，若恰有两个空盒，则四个不同的小球可分成1个和3个或2个和2个，共有种，故恰有两个空盒的概率为.故答案为：29．（2022·全国·高三专题练习）某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)【答案】114【分析】先将人分成三组，再安排到个房间，结合对立事件来计算出不同的安排方法数.【详解】5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有＝60(种)，A，B住同一房间有＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有·＝90(种)，A，B住同一房间有＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．故答案为：114.30．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四人分别去甘肃､内蒙古､北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲､乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有___________.【答案】30【分析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，和其余二个看作三个元素进行全排列，再排除甲乙被分到同一个地方的情况即可﹒【详解】先计算