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第28讲排列组合【知识点总结】1.分类加法计数原理①有n类方法完成一件事②任两类无公共方法(互斥)共有③每类中每法可单独做好这件事种不同方法.2.分步乘法计数原理①必须走完n步,才能完成任务完成一件事②前一步怎么走对后一步怎么共有③走无影响(独立)种不同方法.3.排列与排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有.4.组合与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有.【典型例题】例1.(2022·全国·高三专题练习)互不相同的盆菊花,其中盆为白色,盆为黄色,盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法()A.种 B.种 C.种 D.种例2.(2022·全国·高三专题练习)某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”,如图是某展区的一个菊花布局图,现有5个不同品种的菊花可供选择摆放,要求相邻的两个展区不使用同一种菊花,则不同的布置方法有()A.240种 B.300种C.360种 D.420种例3.(2022·全国·高三专题练习)有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的站法共有()A.66种 B.60种 C.36种 D.24种例4.(2022·全国·高三专题练习)永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑,民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中,某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目,其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻,则不同的安排种数为()A.480 B.240 C.384 D.1440例5.(2022·全国·高三专题练习)疫情期间,有6名同学去社区做防疫志愿者,根据需要,要安排这6名同学去甲、乙两个核酸检测点,每个检测点至少去2名同学,则不同的安排方法共有()A.10种 B.20种 C.50种 D.70种例6.(2022·全国·高三专题练习)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班级的概率为()A. B. C. D.例7.(2022·全国·高三专题练习)从三个小区中选取6人做志愿者,每个小区至少选取1人,则不同的选取方案数为()A.10 B.20 C.540 D.1080例8.(2022·全国·高三专题练习(理))将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学,每位同学都分到书的分法有()A.12种 B.24种 C.32种 D.36种例9.(2022·全国·高三专题练习(理))10名同学合影,站成了前排3人,后排7人,现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同的调整方法的种数为_______(用数字作答).【技能提升训练】一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛,则不同的选派方案有()A.28种 B.30种C.27种 D.29种2.(2022·全国·高三专题练习)从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船,某人某天要从甲地到乙地,共有不同走法的种数是()A.26 B.60C.18 D.10803.(2022·全国·高三专题练习)某班班干部有4名男生和5名女生组成,从9人中选1人参加某项活动,则不同的选法共有()A.4种 B.5种 C.9种 D.20种4.(2022·全国·高三专题练习)已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为()A.32 B.23C.43 D.245.(2022·全国·高三专题练习)某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A.180种 B.360种C.720种 D.960种6.(2022·全国·高三专题练习)某公交车上有6位乘客,沿途4个车站,乘客下车的可能方式有()A.64种 B.46种 C.24种 D.360种7.(2022·浙江·高三专题练习)在某校举行一次阅读分享活动中,需从4名男生和3名女生中任选4人参加,若这4人必须既有男生又有女生,则不同的选法的种数是()A. B. C. D.8.(2022·全国·高三专题练习)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为A.24种 B.48种 C.72种 D.96种9.(2021·福建·三模)《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作,公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图),用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同涂色的方法种数为()A.36 B.48 C.72 D.9610.(2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测(理))用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(,,,,)染色,要求相邻的两个车站间的候车牌不同色,有()种染色方法A.120 B.180 C.360 D.42011.(2021·河南·高三阶段练习(理))如图,准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色,要求每个区域随机用一种颜色涂色,且相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法的种数共有()A. B. C. D.12.(2022·全国·高三专题练习(理))甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念,要求老师必须站在中间,则不同站法种数为()A. B. C. D.13.(2022·全国·高三专题练习)某国际会议结束后,中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻,如果对其他国家领导人所站位置不做要求,那么不同的站法共有()A.种 B.种C.种 D.种14.(2022·全国·高三专题练习)有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的站法共有()A.66种 B.60种 C.36种 D.24种15.(2022·全国·高三专题练习)七人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则排法共有()A.种 B.种 C.种 D.种16.(2022·浙江·高三专题练习)高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生,从中选拔出3位男生、2位女生,然后5人在班内逐个进行演讲,则2位女生不连续演讲的方式有()A.864种 B.432种 C.288种 D.144种17.(2022·浙江·高三专题练习)从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是()A.12 B.24 C.64 D.8118.(2022·全国·高三专题练习)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行,组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务,每天一人,甲两天,乙三天,丙和丁各一天,则不同的安排方法有()A.840种 B.140种C.420种 D.210种19.(2021·四川·绵阳中学高三阶段练习)某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则共有()种不同的选法A.225 B.185 C.145 D.110二、填空题20.(2022·全国·高三专题练习)有A,B,C型高级电脑各一台,甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同,甲.乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有________种(用数字作答).21.(2022·全国·高三专题练习(理))某公司招牌5名员工,分给下属的甲乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能分给同一部门,另3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是______.22.(2022·全国·高三专题练习)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有________种.23.(2022·全国·高三专题练习)古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成________组.24.(2022·全国·高三专题练习)杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加A、B项目,乙不能参加B、C项目,那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.(用数字作答)25.(2020·全国·高三专题练习)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.26.(2022·全国·高三专题练习(理))将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A,B,C,D四个班级,每个班级一位老师,且甲不能分配到A班,丁不能分配到B班,则共有分配方案的种数为______.27.(2022·全国·高三专题练习)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________.28.(2022·河北张家口·高三期末)四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中,则恰有两个空盒的概率为___________.29.(2022·全国·高三专题练习)某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)30.(2022·全国·高三专题练习)甲、乙、丙、丁四人分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方旅游,每个地方至少有一人去,且甲、乙两人不能同去一个地方,则不同分法的种数有___________.31.(2022·全国·高三专题练习)现有7人排队接种新冠疫苗,若要求甲在乙的前面,乙在丙的前面,且丙丁相邻,则有______种不同的排队方法.(用数字作答)32.(2020·辽宁·凌源市第二高级中学高三期中)现有7名志愿者,其中只会俄语的有3人,既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作,2人担任英语翻译,2人担任俄语翻译,共有_______种不同的选法.33.(2020·全国·模拟预测(理))世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开,现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有______种.34.(2018·上海第二工业大学附属龚路中学高三阶段练习)从6名志愿者中选出4个人分别从事翻译、导游、导购、保洁工作,其中甲、乙两个人不能从事翻译工作,则选派志愿者的方案共有_____种(用数值作答)三、解答题35.(2022·全国·高三专题练习)3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体站成一排,男、女各站在一起;(4)全体站成一排,男生不能站在一起.第28讲排列组合【知识点总结】1.分类加法计数原理eq\o\ac(○,1)有n类方法完成一件事eq\o\ac(○,2)任两类无公共方法(互斥)共有eq\o\ac(○,3)每类中每法可单独做好这件事种不同方法.2.分步乘法计数原理eq\o\ac(○,1)必须走完n步,才能完成任务完成一件事eq\o\ac(○,2)前一步怎么走对后一步怎么共有走无影响(独立)种不同方法.3.排列与排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有.4.组合与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有.【典型例题】例1.(2022·全国·高三专题练习)互不相同的盆菊花,其中盆为白色,盆为黄色,盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法()A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【详解】红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有种摆放方法.故选:D.例2.(2022·全国·高三专题练习)某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”,如图是某展区的一个菊花布局图,现有5个不同品种的菊花可供选择摆放,要求相邻的两个展区不使用同一种菊花,则不同的布置方法有()A.240种 B.300种C.360种 D.420种【答案】D【详解】先放A,共有5种选择,若B、D选则同一种花,有四种选择,剩下的C、E均有三种选择,共种,若B、D选则不同种花,有种选择,剩下的C、E均有两种选择,共种,故共有180+240=420种.故选:D.例3.(2022·全国·高三专题练习)有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的站法共有()A.66种 B.60种 C.36种 D.24种【答案】B【详解】首先对五名学生全排列,则共有种情况,又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况,所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选:B例4.(2022·全国·高三专题练习)永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑,民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中,某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目,其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻,则不同的安排种数为()A.480 B.240 C.384 D.1440【答案】A【详解】第一步,将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列,有种排法;第二步,将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端,有种插法;所以共有种不同的安排方法.故选:A例5.(2022·全国·高三专题练习)疫情期间,有6名同学去社区做防疫志愿者,根据需要,要安排这6名同学去甲、乙两个核酸检测点,每个检测点至少去2名同学,则不同的安排方法共有()A.10种 B.20种 C.50种 D.70种【答案】C【详解】根据题意,分2种情况,(1)①将6人分为人数为2和4的2组,有种分组方法,②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点,有种情况,则有种不同的安排方法;(2)①将6人分为人数为3和3的2组,有种分组方法,②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点,有种情况,则有种不同的安排方法;∴不同的安排方法有,故选:C.例6.(2022·全国·高三专题练习)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班级的概率为()A. B. C. D.【答案】B【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组,人数分别为1,1,2;则共有种方法,分配给三个班级的所有方法有种;甲被分到A班,有两种情况:甲单独一人分到A班,则剩余两个班级分别为1人和2人,共有种;二,甲和另外一人分到A班,则剩余两个班级各1人,共有种;综上可知,甲被分到班的概率为.故选:B.例7.(2022·全国·高三专题练习)从三个小区中选取6人做志愿者,每个小区至少选取1人,则不同的选取方案数为()A.10 B.20 C.540 D.1080【答案】A【详解】从三个小区中选取6人做志愿者,每个小区至少选取1人,即6个志愿者名额分到3个小区,每个小区至少1个,等价于6个相同的小球分成3组,每组至少1个,将6个小球排成一排,除去两端共有5个空,从中任取2个插入挡板,共有(种)方法,即从三个小区中选取6人做志愿者,每个小区至少选取1人,不同的选取方案数为10.故选:A例8.(2022·全国·高三专题练习(理))将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学,每位同学都分到书的分法有()A.12种 B.24种 C.32种 D.36种【答案】D【详解】依题意,将4本不同的书任取2本为1份,余下两本各1份,分成3份有种分法,再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学,每人1份有种送法,由分步计数乘法原理得:,所以每位同学都分到书的分法有36种.故选:D例9.(2022·全国·高三专题练习(理))10名同学合影,站成了前排3人,后排7人,现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同的调整方法的种数为_______(用数字作答).【答案】420【详解】可从后排7人中任取2人,插入前排,调整方法数为.故答案为:420.【技能提升训练】一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛,则不同的选派方案有()A.28种 B.30种C.27种 D.29种【答案】A【分析】依题意可得有人既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只会踢足球,则选派的方案有四类:①选派两种球都会的两人;②从两种球都会的选1人踢足球,再从只会打篮球的选1人;③从两种球都会的选1人打篮球,再从只会踢足球的选1人;④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球;按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得;【详解】解:有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,则有人既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只会踢足球,所以选派的方案有四类:选派两种球都会的运动员有2种方案;选派两种球都会的运动员中一名踢足球,只会打篮球的运动员打篮球,有(种)方案;选派两种球都会的运动员中一名打篮球,只会踢足球的运动员踢足球,有(种)方案;选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球,有(种)方案.综上可知,共有(种)方案,故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船,某人某天要从甲地到乙地,共有不同走法的种数是()A.26 B.60C.18 D.1080【答案】A【分析】按照分类加法计数原理计算可得;【详解】解:由分类加法计数原理知有(种)不同走法.故选:A3.(2022·全国·高三专题练习)某班班干部有4名男生和5名女生组成,从9人中选1人参加某项活动,则不同的选法共有()A.4种 B.5种 C.9种 D.20种【答案】C【分析】分两类:从男生中选和从女生中选,根据分类加法计数原理可得总的选法数量﹒【详解】分两类:一类从男生中选,有4种方法;一类从女生中选,有5种方法;用加法原理共有4+5=9种方法.故选:C.4.(2022·全国·高三专题练习)已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为()A.32 B.23C.43 D.24【答案】B【分析】由于每上一层楼有2种走法,所以由分步乘法原理可求得答案【详解】根据题意,教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到二层,有2种走法,同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法,则从一层到四层共有2×2×2=23种走法.故选:B.5.(2022·全国·高三专题练习)某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A.180种 B.360种C.720种 D.960种【答案】D【分析】按照分步乘法计数原理计算可得;【详解】解:按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有(种).故选:D6.(2022·全国·高三专题练习)某公交车上有6位乘客,沿途4个车站,乘客下车的可能方式有()A.64种 B.46种 C.24种 D.360种【答案】B【分析】对于每一位乘客都有4种下车可能,即可求6位乘客的可能下车情况数.【详解】由题意,每一位乘客都有4种选择,故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4=46种,故选:B.7.(2022·浙江·高三专题练习)在某校举行一次阅读分享活动中,需从4名男生和3名女生中任选4人参加,若这4人必须既有男生又有女生,则不同的选法的种数是()A. B. C. D.【答案】D【分析】这4人必须既有男生又有女生分为3类,然后根据分步计数原理以及组合数分别求出结果,再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】这4人必须既有男生又有女生分为3类,(1)1男生3女生,共有种,(2)2男生2女生,共有种,(3)3男生1女生,共有种,根据分类计数原理,共有种,故选:D.8.(2022·全国·高三专题练习)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为A.24种 B.48种 C.72种 D.96种【答案】C【详解】试题分析:按照先A再BD最后CE的顺序,分两种情况涂色,1:BD同色,有;2:BD不同色,有种考点:1.分步计数原理;2.分情况讨论9.(2021·福建·三模)《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作,公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图),用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同涂色的方法种数为()A.36 B.48 C.72 D.96【答案】C【分析】根据题意,分2步依次分析区域和区域的涂色方法数目,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,分2步进行分析:①对于区域,三个区域两两相邻,有种涂色的方法,②对于区域,若区域与颜色相同,区域有2种选法,若区域与颜色不同,则区域有1种选法,区域也只有1种选法,则区域有种涂色的方法,则有种涂色的方法,故选:C.10.(2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测(理))用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(,,,,)染色,要求相邻的两个车站间的候车牌不同色,有()种染色方法A.120 B.180 C.360 D.420【答案】D【分析】根据用三种颜色、四种颜色、五种颜色分三类,结合分类计算原理、排列的定义进行求解即可.【详解】用三种颜色涂色,则有种方式;用四种颜色涂色,则有种方式;用五种颜色涂色,则有种方式,所以一共有种方式.故选:D.11.(2021·河南·高三阶段练习(理))如图,准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色,要求每个区域随机用一种颜色涂色,且相邻区域(有公共边的)所涂颜色不能相同,则不同涂色方法的种数共有()A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意,涂色分步进行,第一步对于区域,有种颜色可选,第二步对于区域,与区域相邻,有种情况,第三步对于区域,与、区域相邻,有种情况,第四步对于、区域,分种情况讨论,然后利用分步乘法计数原理可得结果【详解】根据题意,涂色分步进行分析:对于区域,有种颜色可选,即有种情况,对于区域,与区域相邻,有种情况,对于区域,与、区域相邻,有种情况,对于、区域,分种情况讨论:若区域与区域涂色的颜色相同,则区域有种颜色可选,即有种情况,此时、区域有种情况;若区域与区域所涂的颜色不相同,则区域有种情况,区域有2种情况,此时、区域有种情况,则、区域共有种情况,则不同涂色的方案种数共有种.故选:C.12.(2022·全国·高三专题练习(理))甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念,要求老师必须站在中间,则不同站法种数为()A. B. C. D.【答案】B【分析】只需考虑将甲、乙、丙、丁4名同学全排列即刻.【详解】解:根据题意,将甲、乙、丙、丁4名同学全排列,有种排法,老师必须站在中间,有1种安排方法,则有种站法;故选:B13.(2022·全国·高三专题练习)某国际会议结束后,中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻,如果对其他国家领导人所站位置不做要求,那么不同的站法共有()A.种 B.种C.种 D.种【答案】D【分析】先排中国,再排美俄两国领导人,其他国家任意排即可﹒【详解】中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻,有种站法;其他18国领导人可以任意站,因此有种站法.根据分步乘法计数原理可知,共有种站法.故选:D.14.(2022·全国·高三专题练习)有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的站法共有()A.66种 B.60种 C.36种 D.24种【答案】B【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解.【详解】首先对五名学生全排列,则共有种情况,又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况,所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选:B15.(2022·全国·高三专题练习)七人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则排法共有()A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【分析】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,再利用捆绑法即求.【详解】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余四个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有(种).故选:D16.(2022·浙江·高三专题练习)高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生,从中选拔出3位男生、2位女生,然后5人在班内逐个进行演讲,则2位女生不连续演讲的方式有()A.864种 B.432种 C.288种 D.144种【答案】A【分析】分步完成:第一步选3位男生排列,第二步选2位女生插入男生形成的空档中,由乘法原理可得.【详解】由题意可分步完成:第一步选3位男生排列,第二步选2位女生插入男生形成的空档中,方法数为.故选:A.17.(2022·浙江·高三专题练习)从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是()A.12 B.24 C.64 D.81【答案】B【分析】题目考察简单的排列问题,即四本书选三本给三个人,符合的含义【详解】4本不同的课外读物选3本分给3位同学,每人一本,则不同的分配方法种数为.故选:B18.(2022·全国·高三专题练习)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行,组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务,每天一人,甲两天,乙三天,丙和丁各一天,则不同的安排方法有()A.840种 B.140种C.420种 D.210种【答案】C【分析】使用特殊元素法,直接计算即可.【详解】由题可知:甲两天,乙三天,丙和丁各一天所以不同的安排方法有种故选:C19.(2021·四川·绵阳中学高三阶段练习)某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则共有()种不同的选法A.225 B.185 C.145 D.110【答案】B【分析】根据题意,按“2人既会英语又会法语”的参与情况进行讨论,由加法原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.①“2人既会英语又会法语”不参加,这时有种;②“2人既会英语又会法语”中有一人入选,这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能,因此有种;③“2人既会英语又会法语”中两个均入选,这时又分三种情况:两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种,因此有种.综上分析,共可开出种.故选:B.二、填空题20.(2022·全国·高三专题练习)有A,B,C型高级电脑各一台,甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同,甲.乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有________种(用数字作答).【答案】8【分析】由题意,分选甲.乙.丙,选甲.乙.丁,选甲.丙.丁,选乙.丙.丁四类,利用分类加法计数原理求解.【详解】解:由于丙,丁两位操作人员的技术问题,要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事,则甲,乙两人至少要选派一人,可分四类:第1类,选甲.乙.丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分2步安排这3人操作的电脑的型号,有2×2=4种方法;第2类,选甲.乙.丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,有2种方法;第3类,选甲.丙.丁3人,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,只有1种方法;第4类,选乙.丙.丁3人,同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8种选派方法.故答案为:821.(2022·全国·高三专题练习(理))某公司招牌5名员工,分给下属的甲乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能分给同一部门,另3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是______.【答案】12【分析】分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论,按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得;【详解】解:由题意可得,①若甲部门要2名电脑编程人员,则有3种情况;2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,分配方案共有(种).②若甲部门要1名电脑编程人员,则有3种情况;2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,分配方案有(种).由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有(种).故答案为:22.(2022·全国·高三专题练习)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有________种.【答案】5【分析】运用枚举法即可求得答案.【详解】记反面为1,正面为2,则正反依次相对有12121212,21212121两种;有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种,共5种摆法.故答案为:5.23.(2022·全国·高三专题练习)古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成________组.【答案】60【分析】首先根据题意分成两类,分别计算各类的结果再相加即可.【详解】分两类:第一类:由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,则有5×6=30(组)不同的结果.第二类:用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,则有5×6=30(组)不同的结果.共可得到30+30=60(组).故答案为:6024.(2022·全国·高三专题练习)杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加A、B项目,乙不能参加B、C项目,那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.(用数字作答)【答案】【分析】由题意,按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论,求出每种情况的选拔方案数量,再由加法计数原理相加计算.【详解】根据题意,分4种情况讨论:①甲乙都不参加志愿活动,在剩下的4人中任选3人参加即可,有种选拔方法;②甲参加但乙不参加志愿活动,甲只能参加C项目,在剩下的4人中任选2人参加A、B项目,有种选拔方法;③乙参加但甲不参加志愿活动,乙只能参加A项目,在剩下的4人中任选2人参加B、C项目,有种选拔方法;④甲乙都参加志愿活动,在剩下的4人中任选1人参加B项目,有种选拔方法,则有.故答案为:25.(2020·全国·高三专题练习)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.【答案】45【分析】先选出坐对位置的人,再对剩下四人进行错排,最后利用分布计数乘法原理求结果.【详解】先选出坐对位置的人,即从5人中选1人,有5种可能;剩下四人进行错排,设四人座位为,则四人都不坐在自己位置上有这9种可能;所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种故答案为:45【点睛】本题考查错排问题,考查基本分析求解能力,属基础题.26.(2022·全国·高三专题练习(理))将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A,B,C,D四个班级,每个班级一位老师,且甲不能分配到A班,丁不能分配到B班,则共有分配方案的种数为______.【答案】14【分析】根据甲分配的班级分类讨论:一甲分到班,二是甲分到中的一个班级,注意考虑乙班级即可得.【详解】将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况:①甲分配到B班(种)分配方案;②甲不分配到B班有(种)分配方案.由分类加法计数原理可得,共有(种)分配方案.故答案为:14.27.(2022·全国·高三专题练习)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________.【答案】182【分析】根据甲、乙中裁一人、都不裁进行分类讨论,由此求得不同的裁员方案的种数.【详解】甲、乙中裁一人的方案有种,甲、乙都不裁的方案有种,故不同的裁员方案共有=182(种).故答案为:18228.(2022·河北张家口·高三期末)四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中,则恰有两个空盒的概率为___________.【答案】【分析】结合古典概型概率计算公式以及排列组合的计算,求得所求概率.【详解】四个不同的小球随机放入编号为的四个盒子中共有种,若恰有两个空盒,则四个不同的小球可分成1个和3个或2个和2个,共有种,故恰有两个空盒的概率为.故答案为:29.(2022·全国·高三专题练习)某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)【答案】114【分析】先将人分成三组,再安排到个房间,结合对立事件来计算出不同的安排方法数.【详解】5个人住3个房间,每个房间至少住1人,则有(3,1,1)和(2,2,1)两种,当为(3,1,1)时,有=60(种),A,B住同一房间有=18(种),故有60-18=42(种),当为(2,2,1)时,有·=90(种),A,B住同一房间有=18(种),故有90-18=72(种),根据分类计数原理可知,共有42+72=114(种).故答案为:114.30.(2022·全国·高三专题练习)甲、乙、丙、丁四人分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方旅游,每个地方至少有一人去,且甲、乙两人不能同去一个地方,则不同分法的种数有___________.【答案】30【分析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数,和其余二个看作三个元素进行全排列,再排除甲乙被分到同一个地方的情况即可﹒【详解】先计算
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