随机过程及其统计描述

随机过程及其统计描述2

关键词：

随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数 自协方差函数 互相关函数 互协方差函数 正态过程 独立增量过程泊松过程维纳过程第十章随机过程及其统计描述第2页,共52页，2024年2月25日，星期天

信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。因此，人们用统计学方法建立随机信号的数学模型→随机过程。第3页,共52页，2024年2月25日，星期天

下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。举例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有m种，记录下m个不相同的波形。S第4页,共52页，2024年2月25日，星期天定义：这里对每一个t

T,X(t)是一随机变量.T叫做参数集.常把t看作为时间,称X(t)为时刻t时过程的状态,而X(t1)=x(实数)说成是t=t1时过程处于状态x,对于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间.第5页,共52页，2024年2月25日，星期天t固定，

变化：X(ti,ζ)随机变量（状态）。

t固定，

固定：X(ti,ζk)一个确定的值。

t变化，

固定：X(t,ζk)确定的时间函数(随机过程的样本函数）

t变化，

变化：X(t,ζ

)随机过程（一族时间函数的总体，

或随时间变化的随机变量）下标i和k，分别表示确定的某个时刻i和确定的某个样本k。对随机过程而言：一般，随机变量写成:X,Y,Z。随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)

样本函数写成:x(t),y(t),z(t)或X1(t)……Xn(t)

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例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：1234第7页,共52页，2024年2月25日，星期天8

第8页,共52页，2024年2月25日，星期天9

第9页,共52页，2024年2月25日，星期天10

第10页,共52页，2024年2月25日，星期天

例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：第11页,共52页，2024年2月25日，星期天12随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：连续参数连续型的随机过程，如例2，例3连续参数离散型的随机过程，如例1，例4离散参数离散型的随机过程，如例5离散参数连续型的随机过程，第12页,共52页，2024年2月25日，星期天13§2随机过程的统计描述一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性。第13页,共52页，2024年2月25日，星期天科尔莫戈罗夫定理：为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系,第14页,共52页，2024年2月25日，星期天15

例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：第15页,共52页，2024年2月25日，星期天16

第16页,共52页，2024年2月25日，星期天

随机过程的数字特征一、数学期望如果将过程X(t)中的

t

看成是固定的，则

X(t)就是一个随机变量，它随机的取值x，其在

t

时刻取x值的概率密度为

。据期望的定义：mX(t)

描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。第17页,共52页，2024年2月25日，星期天

二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X(t)中的t视为固定时，

X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：将t视为变量时，即为过程X(t)的均方值。同理，过程X(t)的方差：过程X(t)的均方差：第18页,共52页，2024年2月25日，星期天故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：对离散型随机过程Y(t),t∈T.若所有状态取值的样本空间为S＝{y1,y2,…,ym}。均方值为：方差为：表示状态Y(t)取t时刻值为yi的概率。第19页,共52页，2024年2月25日，星期天三、随机过程的自相关函数下面两个随机过程

X(t)，

Y(t)它们的期望和方差都相同，mx(t)=mY(t)，

x(t)=

Y(t)。但从样本函数看有明显不同。x

(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。第20页,共52页，2024年2月25日，星期天一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征

——自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与X(t2)之间的“相关程度”。

·状态X(t1)与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：第21页,共52页，2024年2月25日，星期天随机过程的自相关系数定义为：注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件是：以后，所有例题都满足上述两个条件，不必再去验证第22页,共52页，2024年2月25日，星期天23第23页,共52页，2024年2月25日，星期天24

~~第24页,共52页，2024年2月25日，星期天25

第25页,共52页，2024年2月25日，星期天26求它的均值函数和自相关函数。第26页,共52页，2024年2月25日，星期天27(三)二维随机过程的分布函数和数字特征第27页,共52页，2024年2月25日，星期天28第28页,共52页，2024年2月25日，星期天29

第29页,共52页，2024年2月25日，星期天30§3泊松过程及维纳过程第30页,共52页，2024年2月25日，星期天31

独立增量过程的性质：第31页,共52页，2024年2月25日，星期天32综上可得:第32页,共52页，2024年2月25日，星期天第33页,共52页，2024年2月25日，星期天(1)第34页,共52页，2024年2月25日，星期天第35页,共52页，2024年2月25日，星期天第36页,共52页，2024年2月25日，星期天第37页,共52页，2024年2月25日，星期天（4）协方差函数第38页,共52页，2024年2月25日，星期天第39页,共52页，2024年2月25日，星期天40若N(t)是强度为λ的泊松流，则增量的概率分布为：特别地，当t0=0时：第40页,共52页，2024年2月25日，星期天如果强度l非均匀,即l是时间的函数l=l(t),t0.则称泊松过程为非齐次的.对于非齐次泊松过程,用类似的方法,可得第41页,共52页，2024年2月25日，星期天42第42页,共52页，2024年2月25日，星期天等待时间及其概率分布

在较多的实际问题中,通常对质点的观察,不是对时间间隔(t1,t2]中出现的质点计数,而是对记录到某一预定数量的质点所需要的时间进行计时.例如,为研究含某种放射性元素的物质,常对它发射出来的粒子作计时试验.

一般,设质点(或事件)依次重复出现的时刻

t1,t2,...,tn,...

是一强度为l的泊松流,{N(t),t0}为相应的泊松过程.第43页,共52页，2024年2月25日，星期天以惯用记号记

W0=0,Wn=tn,n=1,2,....

Wn是一随机变量,表示第n个质点(或事件第n次)出现的等待时间.如下图所示.T1T2TkOW1W2Wk-1Wkt第44页,共52页，2024年2月25日，星期天45第45页,共52页，2024年2月25日，星期天点间间距及其概率分布

记Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一个连续型随机变量,称为相继出现的第i-1个质点和第i个质点的点间间距.第46页,共52页，2024年2月25日，星期天47点间间距及其概率分布

记Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一个连续型随机变量,称为相继出现的第i-1个质点和第i个质点的点间间距.第47页,共52页，2024年2月25日，星期天48

定理一：强度为λ的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量，且服从同一指数分布定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立， 且服从同一个指数分布：

这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且服从同一个指数分布。则质点流构成强度为λ的泊松过程第48页,共52页，2024年2月25日，星期天49(二)维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:

粒子在时段(s,t]上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)