新高考艺术生40天突破数学90分讲义第15讲等差数列、等比数列综合运用(原卷版+解析)

第15讲等差数列、等比数列综合运用【知识点总结】【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（）A．978 B．557 C．467 D．979例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（）A． B． C． D．58例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（）A． B． C． D．例4．（2022·全国·高三专题练习）数列，满足，，，则数列的前n项和为（）A． B． C． D．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（）A． B．C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（）.A．8 B．9 C．11 D．103．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，若，，成等比数列，则（）A．11 B．13 C．15 D．175．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列．其前项和为，且，则（）A． B．C． D．6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知为等差数列，为等比数列，其公比且，若，，则（）A． B．C． D．或7．（2021·广东·红岭中学二模）已知等差数列的公差为，且、、成等比数列，则（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2021·北京育英中学高三阶段练习）已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（）A． B． C．或 D．9．（2020·宁夏·银川二中一模（理））设等比数列的前项和为,已知成等差数列,且,则（）A．3 B．6 C．8 D．9二、多选题10．（2020·江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列B．若数列的前项和，则数列为等差数列C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有A．数列的前10项和为100B．若成等比数列，则C．若，则n的最小值为6D．若，则的最小值为三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．13．（2019·江苏·无锡市第一中学高三开学考试）设等比数列的前项和为.若，，成等差数列，且，则的值为________．14．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______15．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________.16．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，成等差数列，则_______.17．（2022·浙江·高三专题练习）为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．18．（2021·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.19．（2021·河南·高三阶段练习（理））设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则_________.20．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））若数列是等差数列，，满足，且，则数列的通项公式为______.四、解答题21．（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知Sn是等差数列的前n项和，从以下3个条件中任选一条，回答问题.①，，②公差，③，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足公比，，求数列的前n项和.22．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.23．（2021·广东惠州·一模）已知等差数列和等比数列满足，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.24．（2021·江苏·高三开学考试）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．（1）若，求m的值；（2）求的值．25．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前项和为，求证:26．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列满足，且、、成等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．27．（2022·浙江·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，=1，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.第15讲等差数列、等比数列综合运用【知识点总结】【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（）A．978 B．557 C．467 D．979【答案】A【详解】设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.∵cn=an+bn，解得，∴cn=2n-1+(1-n).∴{cn}的前10项和为．故选：A例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（）A． B． C． D．58【答案】A【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，，依次成等比数列，，所以有，即，整理得，因为，所以，，因此，故选：A.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当时，如下图所示，当公差时，如下图所示，如图可知当时，，，，.故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）数列，满足，，，则数列的前n项和为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，数列，满足，，，所以数列是等差数列，且公差是2，是等比数列，且公比是2，又因为，所以所以，设，所以，则，所以数列是等比数列，且公比为4，首项为4．由等比数列的前n项和的公式，可得数列前n项的和为故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6【答案】C【详解】设等差数列的公差为，成等比数列，即，则，，所以当或时，取得最大值.故选：C.例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以．所以．又，即，所以所以．（2）由（1），即是数列中的第项．设数列的前项和为，数列的前项和为，因为，，所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，所以．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得．【详解】（1）设数列前项的公差为，则，(为整数)又∵，，成等比数列，∴，即，得或（舍去），当时，，6分∴，，数列从第项起构成的等比数列的公比为，∴当时，，故，（2）由（1）知，当时等式成立，即，当时等式成立，即，当或时等式不成立，当时，，若，则，∴，，，从而方程无解，∴.故所求或．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：A.,故A不正确；B.，故B正确；C.，故C不正确；D.，故D不正确.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（）.A．8 B．9 C．11 D．10【答案】D【分析】由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，令，即可得到满足不等式的最小整数.【详解】解：由题意可知：，即，即，又，，即数列是以首项为9，公比为的等比数列，，即，，，则，即，又，满足不等式的最小整数，即.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.3．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元【答案】C【分析】根据年每年的投资额成等差数列、年每年的投资额成等比数列，利用等差和等比数列求和公式即可求得结果.【详解】年每年的投资额成等差数列，首项为，公差为，则年的投资总额为：（万元），年的投资额为：（万元）年每年的投资额成等比数列，首项为，公比为，则年的投资总额为：（万元）；年的投资总额约为（万元）故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，若，，成等比数列，则（）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】A【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，再由，，成等比数列，列出式子求解即可.【详解】解：由，解得：，又，，，，，，成等比数列，，即，解得：.故选：A．5．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列．其前项和为，且，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减，，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C．6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知为等差数列，为等比数列，其公比且，若，，则（）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.【详解】由题意可得四个正数满足，，由等差数列和等比数列的性质可得，，由基本不等式可得，又公比，故，上式取不到等号，，即.故选：A.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题.7．（2021·广东·红岭中学二模）已知等差数列的公差为，且、、成等比数列，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答.【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算.8．（2021·北京育英中学高三阶段练习）已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】利用已知等差等比数列中的项求得公差公比，再计算比值即可.【详解】由题意可知：数列成等差数列，设公差为d，则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.∵数列成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.则.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列，属于基础题.9．（2020·宁夏·银川二中一模（理））设等比数列的前项和为,已知成等差数列,且,则（）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】设等比数列的公比为,分与结合成等差数列利用等比数列求和公式求得,再根据等比数列各项间的关系求解即可.【详解】设等比数列的公比为,首项是,当时,有、、,不满足成等差数列；当时,因为成等差数列,所以,化简得,解得或（舍去）,则,故,即,故.故选：C【点睛】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式,分类讨论思想,使用等比数列的前项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论.同时也考查了等比数列各项间的关系,属于中档题.二、多选题10．（2020·江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列B．若数列的前项和，则数列为等差数列C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；【答案】ABD【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于，若数列的前项和，若，由等差数列的性质可得数列为等差数列，若，则数列从第二项起为等差数列，故不正确；对于，若数列的前项和，可得，，，则，，成等比数列，则数列不为等差数列，故不正确；对于，数列是等差数列，为前项和，则，，，，即为，，，，即为为常数，仍为等差数列，故正确；对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列.故不正确.故选：.【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有A．数列的前10项和为100B．若成等比数列，则C．若，则n的最小值为6D．若，则的最小值为【答案】AB【分析】由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.【详解】由已知可得:,,,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;成等比数列,则,即,解得故B正确;因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．【答案】【分析】由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.【详解】∵，，成等差数列，∴，即，∴，∴，∴或(舍)．∴.故答案为：.13．（2019·江苏·无锡市第一中学高三开学考试）设等比数列的前项和为.若，，成等差数列，且，则的值为________．【答案】【分析】根据等差数列列式，代入等比数列前项和公式，计算得，从而求解.【详解】∵，，成等差数列，∴，由题意，∴，可得，所以∴.故答案为：.14．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______【答案】18【分析】根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为为各项均为正数的等比数列，且公比，由，可得，为方程的两根，又由，所以，，得，即，所以，由，所以为等差数列，所以，则，即数列也为等差数列，所以，结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．故答案为：18．15．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________.【答案】【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得，再由等比数列的前n项和公式即可得结果.【详解】由题意可得：，，所以故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，成等差数列，则_______.【答案】【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.【详解】，，成等差数列即：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.17．（2022·浙江·高三专题练习）为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．【答案】【分析】设数列为，利用等比中项运算可求出等差数列的首项以及通项公式，进而由求出的公比，再用可得．【详解】设数列为，则，∵，∴即，∴，∴，∴，设的公比为q，则，∴即，∴．故答案为：18．（2021·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.【答案】126【分析】设等比数列公比为,再根据,,成等差数列以及基本量法求解,再根据等比数列求和公式求即可.【详解】设等比数列公比为,因为,,成等差数列,故,又,故,即,因为,故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,包括基本量的用法以及等比数列求和公式等.属于中档题.19．（2021·河南·高三阶段练习（理））设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则_________.【答案】【分析】由题意结合等差数列的性质可得，进而可得，由等比数列的通项公式即可得解.【详解】，，成等差数列，即，，等比数列的公比，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.20．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））若数列是等差数列，，满足，且，则数列的通项公式为______.【答案】或【分析】设数列的公差为，则，根据，可得，再联立，即可求得，即可求出数列的通项公式.【详解】解：设数列的公差为，则解得代入已知条件得整理得解得或或当时；当时故答案为：或【点睛】本题考查等差数列的性质和通项公式的计算，属于基础题.四、解答题21．（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知Sn是等差数列的前n项和，从以下3个条件中任选一条，回答问题.①，，②公差，③，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足公比，，求数列的前n项和.【答案】答案见解析.【分析】（Ⅰ）直接利用关系式的变换求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用等比数列的关系式的变换求出通项公式，进一步利用错位相减，求出数列的和.【详解】解;（Ⅰ）选①时，设数列的公差为d，则，，整理得，解，故.选②时，公差，所以，解得，故.选③时，由，.得，故，所以（Ⅱ）等比数列满足公比，，所以，解得（舍）或，所以，故.设，所以①，②，①﹣②得，所以.【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差整理求解．22．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，利用，和等比数列的定义即可得出；利用已知条件和累乘法即可得出的通项公式；（2）先利用已知条件得到，，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；由得：，那么，以上个式子相乘，可得，，又满足上式，所以的通项公式.（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即为，整理得，所以，，两式相减得：，所以.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解；数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法.23．（2021·广东惠州·一模）已知等差数列和等比数列满足，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，∴，，∴，.（2）当的前60项中含有的前6项时，令，此时至多有项（不符）.当的前60项中含有的前7项时，令，且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.∴.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列是由和中的哪些选项构成的，还要注意去掉公共项.24．（2021·江苏·高三开学考试）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．（1）若，求m的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）2282.【分析】（1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.（2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和.【详解】解：（1）因为，所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，