河北省沧州市盘古中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省沧州市盘古中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的外接圆的圆心为,满足：,，且，,则(

)A.

36

B.

24

C.

24

D.

参考答案：A2.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1<x≤3}，则图1中阴影部分表示的集合是()图1

A．{x|－2≤x＜1}

B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}

D．{x|x＜2}参考答案：C略3.已知，都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①

②

③若则等于A．

B．2

C．

D．2或参考答案：A略4.的值为（

） A．1 B． C．-1 D．参考答案：B因为，所以选B.5.两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码符合要求的是(

)

(A)48,49

(B)62,63

(C)75,76

(D)84,85

窗口12过道345窗口67891011121314151617………

参考答案：答案：D6.已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣∞，0） B．（0，） C．（0，1） D．（0，+∞）参考答案：B【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．7.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：D本题主要考查了古典概型的概率计算问题，关键是基本事件数的列举与计算，难度中等。设3个红球分别为a1、a2、a3，2个白球分别为b1、b2，那么从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的基本事件为：a1a2a3、a1a2b1、a1a2b2、a1a3b1、a1a3b2、a1b1b2、a2a3b1、a2a3b2、a2b1b2、a3b1b2，共计10种；而所取的3个球中至少有1个白球的基本事件为，a1a2b1、a1a2b2、a1a3b1、a1a3b2、a1b1b2、a2a3b1、a2a3b2、a2b1b2、a3b1b2，共计9种；则所求的概率是P=，故选D；

8.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是

()A．x－2y－1＝0

B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0参考答案：A9.函数，则“”是“函数在上递增”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C10.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，，设其前n项和为Sn，若，，成等差数列，则（）A.682 B.683 C.684 D.685参考答案：A【分析】由，且，，成等差数列，求出公比，由此能求出．【详解】解：∵各项均为正数的等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，，且，解得，，故选A．【点睛】本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量，，且，则

．参考答案：－4

12.设x，y满足约束条件的取值范围是

．参考答案：[，11]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：[，11]．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率，属于线性规划中的延伸题，解题的关键是对目标函数的几何意义的理解．13.是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为________________;

参考答案：略14.已知数列满足，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是参考答案：15.如图，三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB=6，BC=12，AC=6．SB=6，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为．参考答案：216π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由SA⊥平面ABC，可得SA⊥AB，SA的长度．由于AB2+BC2=AC2，可得∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB．∴SA==6．∵AB2+BC2=62+122=180==AC2，∴∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．SC2=SA2+AC2==216，解得SC=，∴2R=6，解得R=3．故所求的外接球的表面积S=4πR2=4π×=216π．故答案为：216π．16.数列满足：，则=_______；若有一个形如的通项公式，其中A,B,,均为实数，且，，，则此通项公式可以为=_______（写出一个即可）.参考答案：答案：2，（）

17.已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．参考答案：【考点】反函数．【分析】欲求，只需令arcsin（2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（Ⅰ）当时，证明：直线∥平面;（Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：几何方法（Ⅰ）证明：如图1，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ=1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1所以BC1∥FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

图1

图2

图3（Ⅱ）如图2，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF=BD.又DP=BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ=BD，从而EF∥PQ，且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ=DP=λ，BE=DF=1，于是EQ=FP=，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO=O，故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH=90°.连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形.连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH=ME=2.在△GOH中，GH2=4，OH2=,OG2=,由OG2+OH2=GH2，得，解得，故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.

向量方法：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D—xyz.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)=(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)（Ⅰ）证明：当λ=1时，=(-1，0，1)，因为=(-2，0，2)，所以=2，即BC1∥FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n=(x，y，z)，则由可得于是可取n=(λ，-λ，1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2，2-λ，1)若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0，即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0，解得.故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.19.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为．．（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；（2）当时，令，得．当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数．综上所述，当时，函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．依题意有，解得，所以．（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．依题意有，解得，所以．综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．………………8分（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．因为切线过点，则．即．

………………①令，则．（1）当时，在区间上，，单调递增；在区间上，，单调递减，所以函数的最大值为．故方程无解，即不存在满足①式．因此当时，切线的条数为．（2）当时,在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．取，则．故在上存在唯一零点．取，则．设，，则．当时，恒成立．所以在单调递增，恒成立．所以．故在上存在唯一零点．因此当时，过点P存在两条切线．（3）当时，，显然不存在过点P的切线．综上所述，当时，过点P存在两条切线；当时，不存在过点P的切线．…………………13分20.

已知函数为偶函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程有且只有一个根,求实数的取值范围.参考答案：（1）因为为偶函数，所以

(2）依题意知：

(1)令

则(1)变为

只需其有一正根。(1）

不合题意(2）(1)式有一正一负根

经验证满足

(3）两相等

经验证

综上所述或

21.某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

参考答案：（1）设投资万元，