云南省大理市市七里桥中学高三数学理模拟试卷含解析

云南省大理市市七里桥中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】图表型．【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C．【点评】本题的考点是函数的定义，考查了对函数定义的理解以及读图能力．2.已知数列的前项和，则“”是“数列为等差数列”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略3.设为等比数列的前n项和，，则(A)11

(B)5

(C)-8

(D)-11参考答案：D略4.设函数有三个零点、、，且，则下列结论正确的是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()A．12.512.5

B．12.513C．1312.5 D．1313参考答案：B6.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且，f（x）=log2（﹣3x+1），则f（2013）=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．log27参考答案：C【考点】函数的值；奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数的周期性和奇偶性将f（2013）转化成f（4×503+1）=f（1）=﹣f（﹣1），然后代入已知解析式，从而可求出所求．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣f（﹣1），∵﹣1∈（﹣，0），且，f（x）=log2（﹣3x+1），∴f（﹣1）=log2[﹣3×（﹣1）+1]=2，∴f（2013）=﹣f（﹣1）=﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性及已知解析式求函数值，同时考查了转化的思想，属于基础题．7.如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（

）A.-4

B.2

C.-2

D.4参考答案：D8.已知两条直线和,与函数的图象从左至右相交于点,与函数的图象从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时,的最小值为A. B. C. D.

参考答案：B本题考查函数的图像与性质。令A,B,C,D各点的横坐标分别为，可得：，，，；即，，，；所以，；所以，当m=1时，等号成立；所以的最小值为8。选B。

9.函数的大致图像是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.如图,已知ABCDEF是边长为1的正六边形,则的值为（

）A．B．C．D．－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

．参考答案：12.已知，且，则的最大值为

.参考答案：13.由下面的流程图输出的s为

；参考答案：25614.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：（1）当时，f（x）=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn…x2n，若，则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=

．参考答案：3×（2n﹣1）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】f（x）=，此时f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×=3，依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：f（x）=，此时f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×=3，依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．如图所示：则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=3×（2n﹣1）．故答案为：3×（2n﹣1）．15.已知圆M：（x﹣2a）2+y2=4a2与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点D为圆M与x轴正半轴的交点，点E为双曲线C的左顶点，若四边形EADB为菱形，则双曲线C的离心率为．参考答案：2【分析】求出E，D的坐标，由菱形的对角线互相垂直平分，运用中点坐标公式可得A，B的横坐标，代入圆的方程可得A，B的纵坐标，代入双曲线的方程可得a，b的关系，结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得E（﹣a，0），D（4a，0），又四边形EADB为菱形，可得AB垂直平分ED，即有A，B的横坐标为a，代入圆M的方程可得A（a，a），B（（a，﹣a），又A，B在双曲线上，可得?﹣?=1，即有b2=3a2，则c2=a2+b2=4a2，即有e==2．故答案为：2．16.设为不共线的两个向量，且与垂直，垂直，则与的夹角的余弦值为____________．参考答案：17.在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a4＋a5＝_________。参考答案：答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；.（Ⅲ）试题分析：（Ⅰ），对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是.当时，令，得.的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根，令得，记其两个实根分别为.则解得.再说明当时，曲线在点处的切线分别为，是两条不同的直线即可；（Ⅲ）只需分类讨论.试题解析：（Ⅰ）.

………………1分

当时，，则函数的单调递减区间是.

………………2分 当时，令，得. 当变化时，，的变化情况如下：↘极小值↗ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.………………4分（Ⅱ）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根.

………………5分令得，记其两个实根分别为.则解得.

………………7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数.所以.所以，是曲线的两条不同的切线.所以实数的取值范围为.

………………9分（Ⅲ）当时，函数是内的减函数. 因为， 而，不符合题意.

………………11分当时，由（Ⅰ）知：的最小值是.（ⅰ）若，即时，，所以，符合题意.（ⅱ）若，即时，.所以，符合题意.（ⅲ）若，即时，有.因为，函数在内是增函数，所以当时，.又因为函数的定义域为，所以.所以符合题意.综上所述，实数的取值范围为.

………………14分考点：导数与函数的综合19.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯．每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作．如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内．（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率．参考答案：【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）恰有一套设备能正常工作包含第一套通讯设备能正常工作且第二套通讯设备不能正常工作；第二套通讯设备能正常工作且第一套通讯设备不能正常工作，这两种情况是互斥的．（2）能进行通讯的对立事件是两套设备都不能工作，写出两套设备都不能工作的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B．由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，P（）=1﹣p3，P（）=1﹣p3．（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P（A?+?B）=P（A?）+P（?B）=p3（1﹣p3）+（1﹣p3）p3=2p3﹣2p6．（2）两套设备都不能正常工作的概率为P（?）=P（）?P（）=（1﹣p3）2．至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1﹣P（?）=1﹣P（）?P（）=1﹣（1﹣p3）2=2p3﹣p6．20.“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x亿件：精确到0.1）及其增长速度（y%）的数据（1）试计算2012年的快递业务量；（2）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知y与t具有线性相关关系，试建立y关于t的回归直线方程；（3）根据（2）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：，参考答案：（1）（亿件）（2）（3）2019年快递业务增长量为（亿件）【分析】(1)设2012年的快递业务量为a，根据题意列出方程求解即可；(2)先求出，，代入即可求出，再代入即可求出，从而得到回归直线方程；(3)首先利用(2)中求出的回归直线方程求出2018年快递业务增长量，再令，求出2019年快递业务增长量.【详解】（1）设2012年的快递业务量为a，则，解得；（2）t12345y6152485128

，（3）令，预测2018年比上半年增长，2018年快递业务增长量（亿件）令，预测2019年比上半年增长，2019年快递业务增长量为（亿件）.【点睛】本题考查折线统计图、柱状图，理解图中横轴、纵轴的含义是关键，考查线性回归方程，属于基础题.21.某地区的农产品A第天的销售价格（元百斤），一农户在第天（）农产品A的销售量（百斤）.(1）求该农户在第7天销售家产品A的收入；(2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？参考答案：（1）由已知第7天的销售价格，销售量.所以第7天的销售收入（元）.(2）设第天的销售收入为，则，当时，，当且仅当时取等号，所以当时取最大值，当时，，当且仅当时取等号，所以当时取最大值，由于,所以第2天该农户的销售收入最大.22.（本小题满分14分）设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（I）求数列,的通项公式；（II）设，求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）由题意，，得．

…………3分