广东省江门市广东博文学校高三数学文模拟试卷含解析

广东省江门市广东博文学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为（）A．0 B． C．1 D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图，z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知：OA的距离最小，原点到直线2x+y﹣2=0的距离最小．由=，则x2+y2的最小值为：，故选：B．2.在边长为1的正三角形ABC中，，x>0，y>0，且x＋y＝1，则的最大值为 ()A．－

B．－

C．－

D．－参考答案：D3.函数在点（x0，y0）处的切线方程，则等于A、－4

B、－2

C、2

D、4参考答案：D4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A5.一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A．24 B．16 C．12 D．8参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】画出图形，利用三视图的数据，求解棱锥的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体为如图所示的四棱锥：棱锥的底面是边长为：2，3的矩形，棱锥的高为4，四棱锥的体积为：=8．故选：D．【点评】本题考查三视图与几何体是直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）参考答案：7.命题，命题,则(

)A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．必要充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.已知抛物线的焦点为F,P为C上一点，若点P到y轴的距离等于等于3，则点F的坐标为A.(-1，0)

B.(1，0)

C.(2，0)

D.(-2，0)参考答案：B由，点到轴的距离等于3，根据定义得，，则点的坐标为.选B.9.已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，a，b∈R．对于命题”若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）”有如下结论：①其逆命题为真；②其否命题为真；③其逆否命题为真；④其逆命题和否命题有且只有一个为真．其中正确的命题结论个数为(

)个．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；四种命题的真假关系．【专题】应用题．【分析】逆否命题与原命题真假相同，所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假；否命题与逆命题真假相同，所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假【解答】解：命题：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．面先证明原命题：因为a+b≥0，所以a≥﹣b，b≥﹣a由于f（x）为增函数，所以f（a）≥f（﹣b），f（b）≥f（﹣a）所以f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．故命题为真，根据互为逆否命题的真假相同可知，其逆否命题为真下面证明否命题：若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）由a+b＜0可得a＜﹣b，可得f（a）＜f（﹣b）由b＜﹣a可得f（b）＜f（﹣a）所以，f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）否命题成立，则由逆命题与否命题互为逆否命题，真假相同，可知逆命题为真①其逆命题为真正确；②其否命题为真正确；③其逆否命题为真正确；④其逆命题和否命题有且只有一个为真，错误．故选C【点评】本题主要考查了抽象函数的单调性的证明，互为你否命题的真假关系的应用，属于知识的简单应用．10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则的值是（

）A.3 B.6 C.9 D.16参考答案：C【分析】由得,即,利用等差数列的性质可得.【详解】由得，，即，所以，选C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查等差数列的性质：若则,考查运算求解能力，属于基本题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x满足x＞﹣4，则函数f（x）=x+的最小值为

．参考答案：2【考点】基本不等式．【专题】函数思想；数学模型法；不等式．【分析】由题意可得x+4＞0，变形可得f（x）=x+=x+4+﹣4，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞﹣4，∴x+4＞0，∴f（x）=x+=x+4+﹣4≥2﹣4=2当且仅当x+4=即x=﹣1时取等号，故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．12.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是等积数列且，前21项的和等于62，则这个数列的公积等于

．参考答案：813.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）?=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．14.已知向量满足，，则的夹角为

.参考答案：略15.已知

。参考答案：试题分析：因为，，所以.考点：集合间的基本运算.16.某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有

种．（结果用数字表示）参考答案：1296【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先分析第1节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面7节课，按第8节课分2种情况讨论，①、若第8节安排选修课，②、若第8节安排自修课，由分类计数原理可得后面7节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有C31=3种排法；对第8节课分情况讨论：①、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有C42=6种情况，此时有24×6=144种安排方法；②、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有A42=12种情况，此时有24×12=288种情况，则后面7节课有144+288=432种安排方法；则所有不同的排法共有3×432=1296种；故答案为：1296．17.实数a∈[0，3]，b∈[0，2]，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a2≥b2．本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．解答：解：方程有实根时，△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．记方程x2+2ax+b2=0有实根的事件为A．设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6．由于a在[0，3]上随机抽取，b在[0，2]上随机抽取，所以，组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的．又由于满足条件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a2≥b2，即a≥b的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为×（1+3）×2=4，所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）==．所以，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为．故答案为：．点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程(为参数)(I)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，点的极坐标，判断点与直线的位置关系；(II)设点为曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.参考答案：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。……1分因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上.

……3分（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，……4分从而点Q到直线的距离为，

……6分由此得，当时，d取得最小值

……7分19.已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，∴c2+（0﹣）2=，解得c=，…（2分）∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2由a2=b2+c2得，b=，…（4分）∴椭圆C的方程是；…（2）由（1）得点A的坐标（，1），∵（λ≠0），∴直线l的斜率为kOA=，…（6分）则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得，，∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，…（8分）∴|MN|=|x2﹣x1|===，∵点A到直线l的距离d==，∴△AMN的面积S===≤=，…（10分）当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65）,[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）后得到如下图的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（3）若从车速在[60,70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65,70）的车辆数X的分布列及其均值（即数学期望）．

参考答案：解:（1）系统抽样

(2分)

（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5

(4分)设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：

解得即中位数的估计值为77.5