新人教版高一数学必修5教案　全册

新人教版高一数学必修5精品教案全册

高二数学备课组教学教研工作计划

一、基本思路

本学期，我们将针对学生实际，研究学生的实际学习情况，不断钻研数学教材，研究数

学教学，改进课堂教法，指导学生学习数学，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基木

技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习

的基础。我们将严格遵守学校的各项规章制度、服从高二年级安排，尽自己最大努力，力争

建设愉悦课堂，完成教学工作。

二、教学方面

1、以备课组为单位，根据学校教学常规的要求，搞好本备课组常规工作。

2、结合本组的实际，对备课、上课、作业布置与信业批改落实好具体的要求。

3、认真搞好一课一练，努力提高学生的数学素质。

三、教研方面

1、每周一在备课组内开展一次教研活动，集体研讨，并每次要有明确的主题，求实效并有

签名和记载。

2、加强备课组的集体备课，制订月工作计划，每周一次集体备课，并要有中心发言等有记

录，期初交

计划，期末交集体备课记录本检查。

3、组织参加学校的公开课比赛，组织组内公开课以及各备课组内的公开课（每人拿出一堂）,

以促进

老师之间的相互学习与交流。

4、团结老师们加强教育教学理论的学习和研究，并积极撰写教育教学论文。

四、工作要点

1、本期以备课活动为主，每周一次集体备课，加强组内的老师的相互听、评课及交流。

2、本期将对内对外学习交流，改进课堂教学模式。

3、落实并开展各备课组内的课本、课题、校本资料的开发与研究。

4、组织好一次组内的学术讲座。

5、积极搞好奥赛讲座及培训工作。

五、工作安排

八月

1、备课组制订工作计划。

2、制订必修5的资料编写计划并实施。

九月

1、组织全体教师进行听评课活动。

2、进行第一次月考命题、制卷、试卷分析等相关活动。

3、完成必修5的教学。

十月

1、制订选修2-1资料编写计划。

2、实施选修2-1教学。

十一月

1、制订选修2-2资料编写计划。

2、实施选修2-2教学。

十二月及以后

1、期末复习资料准备。

2、期末考试模拟。

六、具体安排：

完成情

周次具体内容

况

§1.1.1正弦定理和余弦定理（1）

第周

§1.1.2正弦定理和余弦定理（2）§1.1.3《学海导航》

第二周§1.2.1应用举例（1）§1.2.2应用举例（2）§1.2.3《学海导航》

第三周§1.3.1实习作业§1.4.1小结与复习§1.3.3《学海导航》

§2.1.1数列的概念与简单表示法§2.2.1等差数列§2.3.1等差数列

第四周

的前n项和§2.3.3《学海导航》

§2.4.1等比数列§2.5.1等比数列的前n项和§2.6.1小结与复习

第五周

§2.6.2《学海导航》

§3.1.1不等关系与不等式§3.2.1一元二次不等式及其解法（1）

第六周

§3.2』一元二次不等式及其解法（2）§3.2.1《学海导航》

§3.3.1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（1）（2）

第七周

§3.4.1基本不等式§3.5小结

第八周必修（5）复习月考（-）

§1.1.1命题及其关系（1）§1.1.1命题及其关系（2）§1.2.2充分条

第九周件与必要条件（2）§1.2.2充分条件与必要条件（2）§1.2《学海导

航》

第十周

§1.3.1简单的逻辑联结词

§1.4.1全称量词与存在量词§1.5小结与复习

第十一

期中考试

周

§2.1.1曲线与方程§2.2.1椭圆（1）§2.2.1椭圆（2）

第十二

周

第卜三§2.3.1双曲线（1）§2.3.3双曲线（2）§2.4.1抛物线（1）

周§2.4.1抛物线（2）§2.5小结与复习

第十四§3.2.1古典概型⑴⑵§3.2.2随机数的产生

周§3.3.1几何概型⑴⑵

第十五

周

§3.1.1空间向量及其运算（1）§3.1.2空间向量及其运算（2）

§3.2.1立体几何中的向量方法（1）

第十六§3.2.2立体几何中的向量方法（2）§3.4小结与复习

周选修2-1复习月考（二）

§1.1.1变化率与导数§1.2.1导数的计算

§1.3.1导数在研究函数中的应用

第十七

周

第卜八§1.4.1生活中的优化问题举例§1.5.1定积分的概念（2）§1.6.1微积

周分基本定理§1.7.1定积分的简单应用（2）§1.8小结与复习

第十九§2.1.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明

周§2.3.1数学归纳法§2.4小结与复习

第二十

周

§3.1.1数系的扩充和复数的概念§3.1.2复数代数形式的四则运算

§3.4小结与复习选修2-2复习月考（三）

第二十

期末考试

一周

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

§1.1.2余弦定理

§1.1.3正弦定理和余弦定理

§1.2.1应用举例（一）

§1.2.2应用举例（二）

§1.2.3应用举例（三）

§1.2.4应用举例（四）

§1.3.1单元小结

第二章数列

§2.1.1数列的概念与简单表示法（一）

§2.1.2数列的概念与简单表示法（二）

§2.2.1等差数列（一）

§2.2.2等差数列（二）

§2.3.1等差数列的前n项和（一）

§2.3.2等差数列的前〃项和（二）

§2.4.1等比数列（一）

§2.4.2等比数列（二）

§2.5.1等比数列的前n项和（一）

§2.5.2等比数列的前n项和（二）

§2.6.1小结与复习

第三章不等式

§3.1.1不等关系与不等式（一）

§3.1.2不等关系与不等式（二）

§3.2.1一元二次不等式及其解法（一）

§3.2.2•元二次不等式及其解法（二）

§3.2.3一元二次不等式及其及解法（三）

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（一）

§3.3.2二元一次不等式（组）与平面区域（二）

§3.4.1简单的线性规划问题（一）

§3.4.2简单的线性规划问题（二）

§3.4.3简单的线性规划问题（三）

§3.5.1基本不等式（一）

§3.5.2基本不等式（二）

§3.5.3基本不等式（三）

§3.2.1小结与复习

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

•教学目标

知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;

会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的儿何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，

引导学生通过观察，推导，比较，山特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实

践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合

情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识

间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

•教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

•教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

•教学过程

I.课题导入

如图1.1-1,固定AABC的边CB及NB,使边AC绕着顶点C转动。/A

思考：NC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角/C的大小的增大而增大。能否\

用一个等式把这种关系精确地表示出来？C，'B

H.讲授新课

［探索研究］（图1.1-1）

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等

式关系。如图1.1-2,在RtAABC中,设矢=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数

的定义，有—=sin>4，—=sinB，又sinC=l=£

ccc

A

rnubc

则----=-----=-----=cbc

sin力sin8sinC

从而在直角三角形ABC中，一，=—、=」7TCaB

sin力sin/>sine

（图1.1-2）

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.1-3,当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的

ab

定义，有CD=asin8=6sin力，贝ij

sin/sin6

b

同理可得

sinCsin8

b

从而

sinlsinSsinC

（图1.1-3）

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究

这个问题。

（证法二）：过点A作7，万，

由向量的加法可得AB=JC+CB

贝ijJ-AB=J-（AC+CB）

：.J-AB=J-AC+j-CB

|）||AB|cos（90,,-A）=0+|j||Cfi|cos（900-C）

csinA=asinC，即a-=/

sinAsine

同理，过点C作］，就，可得

sinesine

IIHabc

sinJsinBsin。

类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a_b_c

sin/Jsinsin。

［理解定理］

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，目上匕例系数为同一正数，即

存在正数k使a=Asin4,b=ksix\B,c=ksinC；

(2)3=上='等价于3=上，—=上，」一=一

sinAsinBsinCsin】sinBsinCsinZ?sin力sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a=空萼：

smB

②已知三角形的任意两边与其中•边的对角可以求其他角的正弦值，如sin/f=?sin6。

b

一般地，己知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

［例题分析］

例1.在AABC中，已知4=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根据正弦定理，

.asinB42.9sin81.8°..、

b=~—--------„—®80O.A1(c/n)：

sinAsin32.0°

根据正弦定理，

“sinC42.9sin66.2',0

Jsin4-sin32.0°-®74.l(cm).

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2.在A48C中，已知a=20cm,b=2Scm,4=40°,解三角形(角度精确到1°,边

长精确到1cm)。

解：根据正弦定理，

sinB=^A=28sin401

«0.8999.

因为0°<B<180°,所以。“64°,或BN16°.

⑴当8~640时，

C=18Oo-(A+B)®18Oo-(4Oo+64o)=76o,

osinC_20sin76°

sinA-sin40°

(2)当8B116°时,

C=18Oo-(A+B)«18Oo-(4O°+116o)=24o，

_asinC_20sin24°

«13(cw).

sinAsin40°

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

in.课堂练习

第4页练习第1(1)、2(1)题。

［补充练习］已知△ABC中,sin4:sin8:sinl=l:2:3,求a:6:c

(答案：1：2：3)

W.课时小结(由学生归纳总结)

(1)定理的表示形式：$=/3=-7；=.."=山〉0);

sin/isin6sinesin月+sin3+sinC''

a=Asin.4,b=ksinB,c=ksinC{k>0)

(2)正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中•边对角，求另一边的对角。

V.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1(1)、2(1)题。

教学后记：

§L1.2余弦定理

(-)教学目标

1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题，

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、

余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩

证统一。

(二)教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

(三)教学设想

复习旧知

运用正弦定理能解怎样的三角形？

①已知三角形的任意两角及其一边，

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，

［创设情景］

问题1:如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大

小、形状完全确定的三角形。

从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？

问题2：如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

即:如图1.1-4,在AABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求边c?

［探索研究］

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A

一一一/

如图1.1-5,没CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-Z,贝ij/c

印=镰干叫「叫/

=a-a+b-b-2a-bCaB

=a+限2占工

从而c2=a2+b2-2abcosC(图1.1-5)

同理可证a2=b2+c2-2bccosAb1=a2+c2-2accosB

余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积

的两倍。

即：a2=Z72+c2-2bccosAb2-a2+c2-2accosBc2-a2+b2-2abcosC

思考1：你还有其它方法证明余弦定理吗？（两点间距离公式，三角形方法）

思考2：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否

由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2+c2-a2

cosA=cosc=y-Y

-2bc-2ha

思考3：余弦定理及其推论的基本作用是什么？

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考4：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若△ABC中，C=90°,则cosC=0,这时/=/+/

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

［例题分析］

例1.在△ABC中，已知a=26，C=V6+V2,8=60°,求b及A

⑴解：vb2=a2+c2-2accosB=(2y/3)2+(y[6+y/2)2-2-2y/3-(y/6+y/2)cos45°

=12+(V6+V2)2-4V3(V3+1)=8:.b=2瓜

求4可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

222222

A_b+c-a(2V2)+(V6+V2)-(2>/3)_1

⑵解法一:C°S次=—2x2V2x(V6+V2)—=2二A=60°.

VsinA=-7-sinB=^5--sin45<1,

解法：:又：V6+V2>2.4+1.4=3.8,

b2V2

2V3<2x1.8=3.6,：.a<c,即0°VA<90°,A=60°

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

思考5、在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有

什么利弊呢？

例2.在AABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cs,解三角形

解：由余弦定理的推论得：

h2+c2-a287.82+161.72-134.62

cosA=PO.5543,Ay5602(T；

-2bc-2x87.8x161.7

134.62+161.72-87.82

cosB=々0.8398,B»32°53,；

2ca2x134.6x161.7

C=180°-(A+B)B180°-(56°20'+32°53')=90°47'.

［课堂小结］

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

课后作业:

教学后记:

§1.2.1解三角形应用举例(一)

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，

了解常用的测量相关术语

2、激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学

符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际

问题的解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

三、教学设想

1、复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题,

“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经

估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距

离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的

方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些

方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些

方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习

正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条

件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所

在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,ZBAC=51°,NACB=75。。求A、B两点

的距离（精确到0.Im）

提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用

哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请

学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一

个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉

了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内

角和定理很容易根据两个己知角算出AC的对角，

应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得一四=一4c

sinZACBsin/ABC

AB=ACsinZACB-55s\nZACB-55sin75°55.75°%65.7(m)

sinZABCsinZABCsin(18(F-51o-75o)sin540

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°,

灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：V2akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到

达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角

形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中

已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另

图1.2-2

两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得NBCA=a,

ZACD=p,ZCDB=z,ZBDA=S,在AADC和ABDC中，应用正弦定理得

AC=〃sin(y+b)二asin(/+b)

sin[18(F-(尸+y+b)]sin伊+7+6)

BC=osiny二asiny

sin[18(F-(«+/?+/)]sin(cr+/7+/)

计算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=VAC2+BC2-2ACXBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,

ZBDA=60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些

过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

择最佳的计算方式。

4、了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、归纳总结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建

立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

课后作业:

教学后记:

§1.2.2解三角形应用举例(二)

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量

的问题

2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。

3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

二、教学重点、难点

重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件

三、教学过程

I.课题导入

提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的

飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题

n.讲授新课

［范例讲解］

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高

度AB的方法。

分析:求AB长的关键是先求AE,在AACE中,如能

求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点

观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一

条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的

仰角分别是a、J3,CD=a,测角仪器的高是h,

那么，在AACD中，根据正弦定理可得

AC=asin-AB=AE

sin(a-/7)

+h=ACsina+h=asinasin/7+h

sin(a-P)

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=54°40',在塔底C处测得A处

的俯角B=50°V。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？

若在AABD中求CD,则关键需要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据NBAD=a求得。

解:在AABC中，ZBCA=90°+/7,ZABC=90°-<z,

ZBAC=a-p,Z.BAD=a.

根据正弦定理，=———

sinG-©sin(90+/)

8Csin(90°+(3)BCco^3

所以AB在RtAABD中，得BD

sin(a-p)sin(z-/?)

An./nAnBCcosGsina

二ABsinZBAD=-----------

sin(a-/7)

27.3cos5tfrsin54°4(y

将测量数据代入上式,得BD=---------------七177

singdM-5Ch');

CD=BD-BC^177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米.

思考：有没有别的解法呢？若在AACD中求CD,可先求出AC。思考如何求出AC?

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正

东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在

东偏南15°的方向上,行驶5km后到达B处,测＞一

得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求

此山的高度CD.

思考1：欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？(在ABCD中)

思考2：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件，易计算出哪条边的长？(BC

边)

解:在AABC中，NA=15°,ZC=25°-15°=10°,根据正弦定理，

BCABBC晒/〜7.4524(km)CD=BCxtanZDBC«BCxtan8°««

sin4siifsinC

1047(m)

答：山的高度约为1047米

n.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的

背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

课后作业:

教学后记:

§1.2.3解三角形应用举例（三）

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过

程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。

二、教学重点、难点

重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

三、教学过程

I.课题导入

［创设情境］

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角

求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海

面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面

的测量问题。

II.讲授新课

［范例讲解］

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然

后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出

发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少

距离？（角度精确到0.1°,距离精确到0.Olnmile）

学生看图思考并讲述解题思路

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所

对的角NABC,即可用余弦定理算出AC边，再根据正

弦定理算出AC边和AB边的夹角/CAB。

解：在AABC中,ZABC=180°-75°+32°=137°,

根据余弦定理,

AC=ylAB2+BC2-2ABxBCxcosZABC=V67.52+54.02-2x67.5x54.0xcos137°

3113.15

根据正弦定理，BC=ACsinNCAB=BCsinZABC=54.Osin137"4

sinZCABsinNABCAC113.15

0.3255,

所以ZCAB=19.0°,75°-ZCAB=56.0

答:此船应该沿北偏东56.1°的方向航行,需要航行

113.15nmile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为0,

沿BE方向前进30nl，至点C处测得顶端A的仰角为20,

再继续前进10百m至D点，测得顶端A的仰角为4。，

求。的大小和建筑物AE的高。

解法一：(用正弦定理求解)由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,AD=DC=106,ZADC=180°-46>,

.10后=30

sin2,sin(180-40)

因为sin4(9=2sin26»cos26»

r.cos26=①，得2e=30°0=15,

在RtAADE中，

2

AE=ADsin60°=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法二：（设方程来求解）设DE=X,AE=h

在RtAACE中，（10百+x）2+h2=302在RtAADE中,x?+1?=（10后）2

两式相减，Wx=5V3,h=15.,.在Rt△ACE中,tan2O=——2---=—

10V33

.•.26=30°,8=15°

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8,由题意，得

NBAC=6,ZCAD=26»,AC=BC=30m,AD=CD=1073m

y4

在RtAACE中，sin2(9=-------①在RtAADE中，sin4g=-——②

3010V3

cos29=^-

②+①得2。=30°,6=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45。相距9海里的C处有一艘走私船,

正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时

的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私

船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=750+45°=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9x10xcosl20°

?9

「•化简得32x?-30x-27=0,即x=一，或x二-一(舍去)

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

▽田山•zoArSCsin120°1565g

乂因为sinZBAG=----------=•—x——=----

AB21214

ZBAC=38°13',或NBAC=141°47'(钝角不合题意,舍去)，

.•.38°13'+45。=83°13'

答：巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的

应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

in.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研

究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

课后作业:

教学后记:

§1.2.4解三角形应用举例（四）

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形

的面积公式的简单推导和应用

2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特

点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生

动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理

的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思

维，有利地进一步突破难点。

3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学

生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

二、教学重点、难点

重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目

难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

三、教学过程

I.课题导入

［创设情境］

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另i个表达公式。

△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h“、hb.hc,那么它们如何用已知边和角表

生：ha=bsinC=csinBhfe=csinA=asinChc=asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式S=gah,应用以上求出的高的公式如h“=bsinC代

入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=labsinC,大家能推出其它的几个公式吗？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

n.讲授新课

［范例讲解］

例1、在AABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.Icm2)

(1)已知a=14cm,c=24cm,B=150";

(2)已知B=60°,C=45°,b=4cm;

(3)己知三边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，

我们可以应用解三角形面积的知识，观察一知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求

出三角形的面积。

解：略

例2、如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量

得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确

到0.1cm2)?

思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

c2+a2-b21272+682-882八

cosnB=-----------=---------------七0.7532

2ca2x127x68

sinB=Vl-0.75322«0.6578应用S=-acsinB

2

S-x68x127x0.6578«=2840.38(m2)

2

答：这个区域的面积是2840.38/。

变式练习1：已知在AABC中，/B=30°,b=6,c=6VL求a及AABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9百；a=12,S=18石

例3、在AABC中，求证：

/八a2+b2sin2A+sin2B

(1)—―=----；

csinC

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：这是•道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦

定理来证明

证明：(1)根据正弦定理，可设

显然kwO,所以

sinAsinBsinC

a~+b2/sin2A+&2sin28sin2A+sin28

左边二------：~5-------=-------5------二右边

c2/sin2csin2C

(2)根据余弦定理的推论，

a2+b2-c2)

右边二2(be+ab

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a?+b2+c2=左边

变式练习2：判断满足sinC=s】n4+sin5条件的三角形形状

cosA+cosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”(解略)直角

三角形

m.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后

化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用

余弦定理甚至可以两者混用。

课后作业：

教学后记：

§1.3.1小结与复习

一、选择题:

1、AABC中，a=l,b=Q,NA=30°,则NB等于()

A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120°

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是()

A.a=l,b=2,c=3B.a=l,b=V2,ZA=30°

C.a=l,b=2,ZA=100°C.b=c=l,ZB=45°

3、在锐角三角形ABC中，有

A.cosA>sinB且cosB>sinAB.cosA<sinB且cosB<sinA

C.cosA>sinB且cosB<sinAD.cosA<sinB且cosB>sinA

4、若(a+b+c)(b+c—a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么AABC是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5、设A、B、C为三角形的三内角，且方程(sinB-sinA)x?+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=O

有等根，那么角B()

A.B>60°B.B》60°C.B<60°D.BW60°

6、满足A=45,c=V^,a=2的AABC的个数记为m,则a"的值为