【期末满分冲刺】综合能力拔高卷（轻松拿满分）（解析版）

【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（浙教版）【期末满分冲刺】综合能力拔高卷（轻松拿满分）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10有个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．二次函数的图象的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据顶点式：的顶点坐标为即可得出结论．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是，故选：C．【点睛】本题考查的是求二次函数图象的顶点坐标，掌握二次函数顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键．2．下列关于的函数中，属于二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义判断解答即可．【详解】∵中x的指数是1，∴是一次函数，∴A选项不符合题意；∵中x的指数是-1，∴是反比例函数，∴B选项不符合题意；∵中x的指数是2，且是整式，∴是二次函数，∴C选项符合题意；∵不是二次函数，∴D选项不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键．3．下列说法中错误的是（

）A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0C．随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1 D．概率很小的事件可能发生【答案】C【分析】根据必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0，小于1，分别判断，即可确定正确的选项．【详解】解：A、必然事件发生的概率为1，故A选项正确，不符合题意；B、不可能事件发生的概率为0，故B选项正确，不符合题意；C、随机事件发生的概率大于0，小于1，故C选项错误，符合题意；D、概率很小的事件发生的可能性小，故D选项正确，不符合题意．故选：C【点睛】此题考查了判断事件发生可能性的大小，解题的关键是熟练运用三种事件发生概率数值的大小来判断．4．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，解得，即正三角形的边长为2，此曲边三角形的面积为故选A【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．5．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以，最终从点G落出的概率为，故选：C．【点睛】本题考查了概率问题，解题的关键是掌握概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．6．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，所以此时最大，等于圆O的直径，∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，∴OM=，∴，故选C．【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．7．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，即－a＜0，又∵对称轴为直线x＝－＜0，∴b＞0，∵与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，只有A选项图象符合．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．8．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=cm，∴B′C′=cm，∴S扇形B′OB=cm2，S扇形C′OC=cm2，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；故选：B．【点睛】此题考查旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．9．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E．记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，首先证明，再利用平行线分线段成比例求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，∵点O是AB的中点，∴AO=OB，∴，∵，∴，∴，∵OT∥AE，AO=BO，∴ET=TB，∴OT=AE，∴，∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，∴∠DCG=∠DCE，∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，∴∠CGE=∠CEG，∴CG=CE，∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，∴∠COT=∠CTD，∴CO=CT，∴OG=ET，∵GE∥OT，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加辅助线，构造平行线是解题关键．10．如图，过点的抛物线：（常数）与轴和轴分别交于点，点，点是抛物线上一点，且//轴，作直线和．甲、乙、丙三人的说法如下：甲：用表示点的坐标为；乙：当，的值有2个，则；丙：若，点是直线上的一点，点到直线的最大距离为．下列判断正确的是（

）A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错 C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对【答案】C【分析】根据二次函数解析式能确定点的坐标，结合题意能确定点的坐标，从而可对甲的说法进行判断；根据，可以用含代数式来表示点的坐标，结合二次函数解析式，可以用含的代数式表示的坐标，从而确定与的关系，能对已的说法进行判断；根据相关图形的性质结合一次函数性质得到直线的解析式，结合勾股定理，能确定点到直线的最大距离的长，从而对丙的说法进行判断．【详解】甲：对于二次函数，令，则有，∴，∵//轴，∴，令，则有∴∴故甲正确；乙：∵∴∴，对于二次函数∴抛物线的对称轴直线∴∴∴与是一一对应的关系．故乙错误；丙：，∴四边形是平行四边形∴∴设直线的解析式∴∴∴直线的解析式：∵点是直线上的一点∴点到直线的最大距离为∵，，，∴∴点到直线的最大距离为．故丙正确；故选：C【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数和几何图形的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质，相关几何图形的性质是解本题的关键．二、填空题（本大题共8有小题，每题3分，共24分）11．若二次函数的对称轴是直线，则反比例函数经过第______象限．【答案】一、三【分析】由题意可求出，即反比例函数解析式为，即可知道该反比例函数所经过的象限．【详解】由二次函数解析式可知其对称轴为，∴．∴反比例函数解析式为．∴该反比例函数经过第一、三象限．故答案为：一、三．【点睛】本题考查二次函数的对称轴以及反比例函数的性质．根据所给二次函数的解析式和对称轴求出m的值是解答本题的关键．12．点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=（x﹣1）2+3的图象上两点，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＜【详解】解：当x=2时，y1=（x﹣1）2+3=4；当x=3时，y2=（x﹣1）2+3=7；∵7＞4，∴y1＜y2，故答案为＜．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．如图，正方形中，对角线和相交于点O，点E在线段上，交于点F，小明向正方形内投拥一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是_________．【答案】【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积=△ODC面积=正方形面积，再由几何概率计算求值即可；【详解】解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，∴∠EOC=∠FOD，∴△OCE≌△ODF（ASA），∴△OCE面积等于△ODF面积，∴阴影面积=△ODC面积=正方形面积，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：；【点睛】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．14．如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为__________．（结果保留）．【答案】##【分析】由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案．【详解】解：∵，∴又的半径为1，的长度=又，∴的长度=∴与的长度之和=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．15．如图，四边形是的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交于点E，F．若，则，所围成的阴影部分面积为_______．【答案】【分析】先证明△EAO为等边三角形得到∠EOA=60°，然后再根据即可求解．【详解】解：连接EO、DO，设EF与AO交于点H，如下图所示：由尺规作图痕迹可知，MN为线段AO的垂直平分线，∴EA=EO，又EO=AO，∴△EAO为等边三角形，∴∠EOA=60°，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考察了扇形面积公式的计算及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键．16．如图，三角形纸片ABC，已知，，点D为BC的中点，沿过点D的直线折叠，使得点C落在AC上的处，折痕交AC于点E，则．（1）∠CDE=________；（2）值为________．【答案】

30°##30度

【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；（2）证，利用勾股定理求出BE，即可求比值；【详解】解（1）∵，，∴，∵，∴，∴，根据折叠的性质可知，∴，（2）连接BE、，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵点D为BC的中点，∴，∵，∴，∴，∴,故答案为：；．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、相似的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、C、D均为格点，延长交格线于点B，连接，以线段为直径做半圆．（1）线段的长等于_________．（2）在半圆上找一点P，使得，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的_________．（不要求证明）【答案】

见解析；找一点Q，使得，且平移关系【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求解；（2）根据相似的性质作图即可；【详解】（1）如图，∴∴∴；（2）由于横3竖1，所以找横1竖3，故垂直.再找一点Q，使得，且平移关系，所以即为平行于直径的.）【点睛】本题主要考查三角形的相似、勾股定理，掌握三角形的相似性质并进行正确作图是解题的关键．18．已知过点的抛物线与坐标轴交于点A，C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______．【答案】或【分析】运用待定系数法求出函数关系式，求出点A，C的坐标，得出AC=，BC=，AB=，判断为直角三角形，且，过点M作MG⊥y轴于G，则∠MGA=90°，设点M的横坐标为x，则MG=x，求出含x的代数式的点M的坐标，再代入二次函数解析式即可．【详解】把点B(4，1)代入，得：∴抛物线的解析式为令x=0，得y=3，∴A(0，3)令y=0，则解得，∴C（3，0）∴AC=∵B（4，1）∴BC=，AB=∴∴为直角三角形，且，过点M作MG⊥y轴于G，则∠MGA=90°，设点M的横坐标为x，由M在y轴右侧可得x＞0，则MG=x，∵PM⊥MA，∠ACB=90°，∴∠AMP=∠ACB=90°，①如图，当∠MAP=∠CBA时，则△MAP∽△CBA，∴同理可得，∴∴AG=MG=x，则M（x，3+x），把M（x，3+x）代入y=x2-x+3，得x2-x+3=3+x，解得，x1=0（舍去），x2=，∴3+x=3+∴M（，）；②如图，当∠MAP=∠CAB时，则△MAP∽△CAB，∴同理可得，AG=3MG=3x，则P（x，3+3x），把P（x，3+3x）代入y=x2-x+3，得x2-x+3=3+3x，解得，x1=0（舍去），x2=11，∴M（11，36），综上，点M的坐标为（11，36）或（，）【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等等知识，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．三、解答题（本大题共6有小题，共66分；第19小题8分，第20-21每小题10分，第22-23每小题12分，第24小题14分）19．如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)已知点M的坐标为，过点M作，垂足为N，若Q为直线上一动点，过点Q作交抛物线于点P，设点P的横坐标为m．①若以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求m的值；②填空：连接，．则Q点的坐标为（

）．【答案】(1)(2)①或－4；②．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①由以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形可得MN＝QP，过点P作PH∥y轴交AC于点H，证明△AMN和△PHQ是腰相等的等腰直角三角形，则可得PH＝AM＝4，求出直线AC的解析式，可得P（m，），H（m，m＋6），根据PH＝4列方程求解即可；②连接MQ，CM，根据三角形外角的性质结合题意求出∠QMC＝∠MCA，可得QC＝QM，设点Q（x，x＋6），利用两点间距离公式列式求出x即可．【详解】（1）解：将点，，代入得：，解得：，故抛物线的解析式为：；（2）（2）①∵，，∴MN∥QP，∵以点M、N、P，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴MN＝QP，∵，，∴OA＝6，OC＝6，∴△AOC是等腰直角三角形，即∠OAC＝∠ACO＝45°，∵，MN⊥AC，∴△AMN是等腰直角三角形，AM＝4，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则∠PHC＝∠ACO＝45°，∴△PHQ是等腰直角三角形，∴QH＝PQ＝MN＝AN，∴PH＝AM＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx＋6，代入A（－6，0）得：－6k＋6＝0，解得：k＝1，∴直线AC的解析式为：y＝x＋6，∵点P的横坐标为m，∴P（m，），H（m，m＋6），∴PH＝，解得：或－4；②如图，连接MQ，CM，∵∠MQN＝∠MCA＋∠QMC，，∴∠QMC＝∠MCA，∴QC＝QM，设点Q（x，x＋6），∵M（－2，0），C（0，6），∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形外角的性质，等角对等边以及勾股定理的应用等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，灵活运用各性质及数形结合的数学思想是解题的关键．20．学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共有______人；(2)在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；(3)在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．【答案】(1)50(2)健美操项目所对应的扇形圆心角的度数为108°，补全统计图见解析(3)选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为【分析】（1）用参加篮球的20人数除以所占的百分比来求出本次调查的总人数；（2）用360度乘健美操项目人数除以总人数来求出健美操项目所对应的扇形圆心角的度数，再利用总人数分别减去篮球、健美操、键球人数得到跳绳的人数，并补全统计图即可；（3）画出列表，从中得到共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，再利用概率公式求解．【详解】(1)解：由图形可知，参加篮球的20人数占40%，所以本次调查的学生共有（人），故答案为：50；(2)解：健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：，喜欢跳绳的学生人数为：（人），补全条形统计图如下：(3)解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，所以，从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的概率为，答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计，用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键．21．某销售商准备采购一批衣服，经调查得知，用12000元采购A款服装的件数与用9600元采购B款服装的件数相等，一件A款服装进价比一件B款服装进价多100元．(1)求一件A、B款服装的进价分别为多少元？(2)若销售商购进A、B款服装共50件，其中A款服装的件数不多于B款服装的件数，且不少于18件，设购进A款服装m件．①求m的取值范围；②假设购进的A、B款的衣服全部售出，据市场调研发现A款服装售价y与A的销售件数m的关系如图．若B款服装售价为600元，则当m为多少时，销售商能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】(1)一件、款服装的进价分别为500元和400元(2)①；②当为18时，销售商能获得最大利润，最大利润为8560元【分析】（1）设一件款服装的进价为元，则一件款服装的进价元，根据用12000元采购款服装的件数与用9600元采购款服装的件数相等建立方程，解方程即可得；（2）①设购进款服装件，则购进款服装件，根据题意建立一元一次不等式组，解不等式组即可得；②设款服装售价与的销售件数之间的函数关系式为，利用待定系数法可得，设销售商能获得的利润为，则，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】(1)解：设一件款服装的进价为元，则一件款服装的进价元，由题意得：，解得，经检验，是所列方程的解，则，答：一件、款服装的进价分别为500元和400元．(2)解：①设购进款服装件，则购进款服装件，由题意得：，解得；②设款服装售价与的销售件数之间的函数关系式为，将点代入得：，解得，则，设销售商能获得的利润为，则，整理得：，由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，答：当为18时，销售商能获得最大利润，最大利润为8560元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数与二次函数的应用，正确建立方程，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．22．已知：为的直径，弧弧，连接弦、，弦交于点G(1)如图1，求的度数．(2)如图2，为的直径，过点E作EF//CD交于F．求证：(3)如图3，在（2）的条件下，若，，求线段的长．【答案】(1)45°(2)见解析(3)【分析】（1）由，根据垂径定理的推论，可知∠AOD=∠BOD=90°，由圆周角定理可得结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=∠EBC=90°，由平行线的性质易知∠BFE=∠BCD=45°，进而求得BE=BF，由圆心角、弦、弧的关系得BE=AC，从而求解；（3）延长EF交⊙O于M，连接CM，OM，过O作ON⊥BC于N，可证M、O、D三点共线，△CMF≌△EBF，都是等腰直角三角形，根据比例得CF∶FB=2∶3，CF=2y，则BF=BE=3y，ON，根据，可求BE、BC、CE、ME等，进一步可求OK，通过△DOG∽△DOH，得，可求DG，即可求解．【详解】（1）解：∵∴∠AOD=∠BOD=90°∴∠ACD=（2）证明：连接BE，如图，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°由（1）知∠ACD=45°∴∠BCD=45°∵EF∥CD∴∠BFE=∠BCD=45°∵CE是⊙O的直径∴∠EBC=90°∴∠BEF=∠BFE=45°∴BE=BF∵∠AOC=∠BOE∴AC=BE∴AC=BF（3）解：延长EF交⊙O于M，连接CM，OM，过O作ON⊥BC于N，如图∵∠CFM=∠BFE，∠MCF=∠MEB∴△MCF∽△BEF∴△MCF，△BEF都是等腰直角三角形∴∠CME=90°∵EF∥CD∴∠DCM=180°−∠CME=90°∴DM为⊙O的直径

∴D、O、M三点共线∴∠COD=∠MOE∵OC=OD=OE=OM∴△COD≌△MOE∴EM=CD∵EF=∴设MF=x，则CF=，EF=3x，BF=∴设CF=2y，则BF=BE=3y∵ON⊥BC，∠CBE=90°∴ON∥BE，CN=∴ON=FN=CN-CF=∵∴解得y=2∴BC=10，BE=BF=6，EF=，ME=CD=，r=OC=过O作OK⊥ME，交ME于K，交CD于H，则DH=CH=∵CD=ME∴OK=OH=∵∠D=∠D，∠DOG=∠DHO=90°∴△DOG∽△DOH∴，即∴∴CG=CD-DG=．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，圆心角、弧、弦关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质，并灵活运用．23．如图1，在中，，，点D、E分别在边AC、AB上，，连接DE．将绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为．(1)[问题发现]①当时，____________；②当时，____________；(2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)[问题解决]当旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为_____________．【答案】(1)①；②(2)没有变化，证明见解析(3)或【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出∠A＝∠B，∠A＝∠AED，进而得出∠B＝∠DEA，得出DE∥BC，再根据平行线分线段成比例即可得出结论；②同①的方法，即可得出结论；（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出△ADC∽△AEB，即可得出结论；（3）分情况讨论：①当点E在BD上时，②当点E在BD的延长线上时，分别利用勾股定理求出BD，进而得出BE，再结合（2）中结论求出CD即可．【详解】(1)解：①在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝AC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠A，∴∠DEA＝∠B，∴DE∥BC，∴，∴，故答案为：；②如图，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEA＝∠B，∴DE∥BC，∴，∴，∴，故答案为：；(2)当时，的大小没有变化；证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴，∠CAB＝4