第13讲圆锥曲线中的定点定直线问题（学生版）

圆锥曲线中的定点、定直线问题（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新Ⅱ卷，第21题,12分双曲线中的定直线问题直线的点斜式方程及辨析根据a、b、c求双曲线的标准方程2023年全国乙卷（文科），第21题,12分椭圆中的定点问题根据离心率求椭圆的标准方程2022年全国乙卷（文科），第21题,12分椭圆中的直线过定点问题根据圆过的点求标准方程2021年新Ⅱ卷，第20题,12分椭圆中的直线过定点问题根据离心率求椭圆的标准方程求椭圆中的弦长根据弦长求参数2023年全国甲卷（理科），第20题,12分椭圆中的直线过定点问题无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定点问题及其相关计算2.理解、掌握圆锥曲线的定直线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习考点一、椭圆中的定点、定直线问题1．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．2．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．3．（全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.4．（2021·全国·统考高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．5．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.(1)求的标准方程；(2)直线，且交于点，，直线与交于点.证明：①直线与的斜率乘积为定值；②点在定直线上.1．（2023·四川成都·校联考二模）已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．2．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．4．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．5．（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线，交于点E．判断直线是否过定点，并说明理由．考点二、双曲线中的定点、定直线问题1．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.1．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.2．（2023·广东梅州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．(1)求双曲线的方程；(2)过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．考点三、抛物线中的定点、定直线问题1．（2023·山西吕梁·统考二模）已知抛物线：过点．(1)求抛物线的方程；(2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.1．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．2．（2023·福建·校联考模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，点的坐标为.已知点是抛物线上的动点，的最小值为4.(1)求抛物线的方程：(2)若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点.【能力提升】1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.(1)求双曲线的方程.(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点，在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.4．（2023·福建福州·统考二模）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．5．（2023·江西赣州·统考二模）已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交于、两点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．6．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.8．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知、分别为双曲线的上、下焦点，其中坐标为点是双曲线上的一个点.(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线与上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上.9．（2023·四川宜宾·统考三模）已知点在轴右侧，点、点的坐标分别为、，直线、的斜率之积是．(1)求点的轨迹的方程；(2)若抛物线与点的轨迹交于、两点，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．10．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．11．（2023·山东淄博·统考一模）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线，分别交抛物线于点，，直线，相交于点.(1)若，求四边形面积的最小值；(2)证明:点在定直线上.12．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．【真题感知】1．（陕西·高考真题）已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线l过定点.2．（北京·高考真题）已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.3．（山东·高考真题）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.4．（安徽·高考真题）设椭圆过点，且左焦点为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定