第08讲指数与指数函数（人教A版2019）

第08讲指数与指数函数【人教A版2019】·模块一指数幂运算·模块二指数函数·模块三指数型复合函数·模块四课后作业模块一模块一指数幂运算1．指数幂整数指数幂指数

幂中

的指

数从

整数

拓展

到了

有理

数分数指数幂正整数指数幂：正数的正分数指数幂：负整数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.2．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.3．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.整数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围实数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>0【考点1指数幂运算化简问题】【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）计算a−2b−3A．−2b B．−b2 【解题思路】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【解答过程】由题意可得，原式=−3故选：B.【例1.2】（2023秋·高一课时练习）下列各式正确的是（

）A．a−35C．a12a【解题思路】根据指数幂的运算性质，准确计算，即可求解.【解答过程】对于A，由指数幂的运算性质，可得a−对于B，由指数幂的运算性质，可得3x对于C，由指数幂的运算性质，可得a1对于D，由指数幂的运算性质，可得2=x故选：D.【变式1.1】（2023·江苏·高一专题练习）化简(2a−3b−2A．−32b2 B．32b【解题思路】利用指数运算公式，化简所求表达式.【解答过程】依题意，原式=2⋅故选：A.【变式1.2】（2023秋·高一课前预习）下列各式中，正确的是（

）A．−a=−aC．6a2=【解题思路】利用根式与分数指数幂的互化即得.【解答过程】对于A，−a对于B，a−对于C，6a对于D，ab故选：D.【考点2指数式的给条件求值问题】【例2.1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4A．8 B．16 C．2 D．18【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】解：因为a−1所以a−2故选：D．【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知m12+m−A．15 B．12 C．16 D．25【解题思路】利用分数指数幂的运算即可求出结果.【解答过程】因为m1所以m+m又由立方差公式，m3故选：A．【变式2.1】（2023·江苏·高一专题练习）已知ab=−5，则a−baA．25 B．C．−25 D．【解题思路】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【解答过程】由题意知ab<0，a−由于ab<0，故aa=−b故选B.【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知a+a−1=3①a2+a−2=7；②aA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.【解答过程】①a2②a3③因为a+a−1=3可知a>0，a所以a1④aa故选：C.模块二模块二指数函数1．指数函数的概念(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性质定义域R值域过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化范围当x<0时，y>1当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1当x>0时，y>1【考点3指数函数图象——底数比较大小】【例3.1】（2023秋·高一课时练习）如图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c【解题思路】先通过单调性将底分为大于1和小于1两类，然后根据x=1时函数值的大小确定底的大小.【解答过程】根据函数图象可知函数①y=ax；②y=bx为减函数，且x=1时，b1所以0<b<a<1，根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且x=1时，c1>d1，所以c>d>1.故选：B.【例3.2】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数a的值可取为2，43，310，15，则相应于曲线C1，C2，C3，C4A．43，2，15，310 B．2，43C．310，15，2，43 D．15，3【解题思路】作直线x=1，根据图象得出答案.【解答过程】设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为a1,a由图可知，a1<a2<a3<a4，即曲线C1，C2，C3，C4故选：D.【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）指数函数y=ax与y=bA．a<0,b>0 B．0<a<1,0<b<1C．0<a<1,b>1 D．a>1,0<b<1【解题思路】直接利用指数函数的性质判断选项即可．【解答过程】当a>1时，指数函数y=ax是增函数；当0<a<1时，指数函数所以根据函数的图象可知0<a<1，b>1．故选：C．【变式3.2】（2023·全国·高一课堂例题）已知y1=13x，y2=A． B．C． D．【解题思路】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【解答过程】y2=3x与y4=10该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A.【考点4指数函数过定点问题】【例4.1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=ax−3+2（a>0A．0,1 B．0,3 C．3,3 D．4,1【解题思路】令指数为零，求出x的值，代入函数解析式可得出函数fx【解答过程】对于函数fx，则x−3=0，可得x=3，则f所以，函数fx=ax−3+2（a>0故选：C.【例4.2】（2023春·江苏淮安·高二校考期中）已知幂函数f(x)=(a−2)xa，则g(x)=bA．(1,1) B．(1,2) C．(−3,1) D．(−3,2)【解题思路】利用幂函数的定义求出a的值，进一步分析g(x)的解析式即可.【解答过程】∵f(x)=(a−2)xa是幂函数，故a=3,则g(x)=b令x+3=0，即x=−3，得g(x)=2，故g(x)过定点(−3,2).故选：D【变式4.1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=ax−m+n（其中a>0，a≠1，m、n为常数）的图像恒过定点3,2A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】结合题意得到关于m,n的方程组，求出m,n的值，求出答案即可.【解答过程】函数fx=ax−m+n（其中a>0，a≠1，m、n为常数）的图像恒过定点3,2，即2=a3−m故选：B.【变式4.2】（2023春·贵州毕节·高一校考阶段练习）若函数y=ax+2+2(a>0，且a≠1)的图象恒过一定点P，则PA．0,1 B．−2,1 C．−2,2 D．−2,3【解题思路】令x+2=0，得到x=−2，根据指数函数性质，即可得出结果.【解答过程】∵当x=−2时，此时ax+2=a∴定点P的坐标为−2,3，故选：D.【考点5利用指数函数单调性比较大小】【例5.1】（2023·全国·高一专题练习）已知32−0.3,b=1.10.7,c=2A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a【解题思路】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．【解答过程】因函数y=2则a=3c=2313<23因函数y=1.1x在R上单调递增，则b=1.10.7>1.所以b故选：C．【例5.2】（2023·全国·高一专题练习）已知a=243A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．c<a<b【解题思路】利用幂函数与指数函数的单调性判定即可.【解答过程】由y=2则可知a=2故选：B.【变式5.1】（2023·高一课时练习）设y1=90.9，y2A．y3>yC．y1>y【解题思路】根据指数的运算及指数函数的单调性即可求解.【解答过程】由题意可知，y1=9y3又函数y=3x在因为1.8>1.5>1.44，所以31.8>3故选:C．【变式5.2】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数fx=3x−12，记a=f22A．b>a>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用作差法比较自变量与1的差的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解答过程】令gx=(x−1)2，则gx又62而(6所以62−1−1−所以由二次函数的性质得g(6因为62又(6所以62−1−1−所以由二次函数的性质得g(6综上，g(2因为y=3x在R上单调递增，所以所以f(22)>f(故选：B.模块模块三指数型复合函数1．指数型复合函数的解题策略常见的指数型函数主要分为两类：一类是与二次函数复合的指数型函数；另一类是与分式复合的指数型函数；求解指数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可.【考点6指数型函数——与二次函数复合】【例6.1】（2023秋·高一课时练习）已知函数f(x)=1（1）若a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.【解题思路】（1）当a=−1时，设gx（2）由题意，函数fx=13ax2【解答过程】（1）当a=−1时，fx设gx=−x2−4x+3所以函数gx在(−∞,−2]单调递增，在[−2,+∞)又由指数函数y=13x根据复合函数的单调性，可得函数fx在(−∞,−2]单调递减，在[−2,+∞)即函数fx的递增区间[−2,+∞)（2）由题意，函数fx①当a=0时，函数fx=13−4x+3，根据复合函数的单调性，可得函数f②当a>0时，函数fx=13ax2当x=2a时，函数fx取得最大值3，即a×③当a<0时，函数fx=13ax2−4x+3，根据复合函数的单调性，可得函数综上可得，实数a的值为1.【例6.2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=4a×9(1)若a=14，求(2)若a>38，存在实数m，n(m<n)，当f(x)的定义域为[m,n]时，f(x)的值域为[3【解题思路】（1）首先得到fx解析式，令u=（2）首先可得fx在R上单调递增，则问题转化为fx=3x+1在R上有两个不同的实数解，令t=【解答过程】（1）若a=14则fx令y=u2−所以当u=16时所以fx的值域为−1,+（2）因为a>38，所以fx所以当fx的定义域为m,n时，fx的值域为即fm即fx=3即4a×9x+令t=3x,t∈0,+∞所以−8a3−4所以实数a的取值范围为1213【变式6.1】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=2(1)试确定a的值及此时的函数解析式；(2)证明函数f(x)在区间(−∞(3)当x∈[−2,0]时，求函数f(x)=2【解题思路】（1）利用偶函数的性质求解即可.（2）利用函数单调性的定义法证明即可.（3）利用函数单调性即可求解.【解答过程】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−1)=f(1)，即21+a−3解得a=0．所以f(x)=2（2）由（1）知，f(x)=2令x1<x2<0所以fx所以函数f(x)在区间(−∞（3）由（2）知，f(x)=2x2所以f(x)=2x2则f(0)≤f(x)≤f(−2)，所以18即函数f(x)=2x2【变式6.2】（2023秋·山东枣庄·高一校考期末）设函数fx=ax−a−x(1)若0<a<1，证明y=fx(2)若f1<0，求使不等式fx(3)若f1=32，gx=a2x+【解题思路】(1)f(x)定义域为R关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系，以此确定奇偶性；f(x)的单调性可以通过单调性的性质进行判断；(2)利用条件f1＜0，得到0＜a＜1(3)令t＝fx＝2x−2−x【解答过程】（1）证明：fx的定义域为R且f−x∴fx∵0<a<1，∴y=ax递减，y=−a（2）fx=ax−∵f1<0，∴又a>0，且a≠1，∴0<a<1，故fx在R不等式化为fx∴x2+tx>x−4，即∴Δ=解得−3<t<5；（3）∵f1=32，∴解得a=2或a=−1∴gx令t=fx=2∵x≥1，∴t≥f1令ℎt若m≥32，当t=m时，ℎt若m<32时，当t=32时，综上，m=2．【考点7指数型函数——与分式复合】【例7.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=−2x+b(1)求a+2b的值；(2)若对任意t∈(1,2)，不等式f(t2−2t)+f(2t【解题思路】（1）取特值求出a,b，再利用奇函数定义验证作答.（2）探讨函数f(x)的单调性，结合单调性奇偶性脱去不等式中法则“f”，再分离参数求解作答.【解答过程】（1）由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0，即b−1a+2=0，解得于是f(x)=1−2xa+2x+1，由当b=1,a=2时，f(x)=1−2x即函数f(x)为R上的奇函数，因此b=1,a=2，所以a+2b=4.（2）由（1）知f(x)=1−2x不等式f(t于是t2−2t<−2t2+k⇔k>3令g(t)=3t2−2t，t∈(1,2)，而g(1)=1,g(2)=8所以k≥8.【例7.2】（2023·全国·高一课堂例题）已知函数fx=ax−1(1)判断函数fx(2)讨论fx(3)求fx【解题思路】（1）根据函数的奇偶性定义进行判断；（2）分离常数，并根据单调性的定义进行证明；（3）通过分离常数对函数变形，从复合函数的角度分析求值域．【解答过程】（1）函数fx的定义域为R因为f−x=a（2）因为函数fx设x1，x2∈fx当a>1时，y=ax在由x1<x2，得又ax1+1>0所以fx1−f即此时fx在R当0<a<1时，y=ax在由x1<x2，得又ax1+1>0所以fx1−f即此时fx在R综上，当a>1时，函数fx在R当0<a<1时，函数fx在R（3）令ax=t，则结合（2）知原函数等价于y=1−2易知y=1−2t+1在区间所以−1<1−2t+1<1，故f【变式7.1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）已知fx=1−(1)判断fx在R(2)若f1−a+f1−【解题思路】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可；（2）根据奇函数和单调性原不等式等价于a2【解答过程】（1）解：因为fx=−2x所以fx在R证明：fx设∀x1<所以fx因为2x2>2所以fx所以fx在R（2）解：因为函数fx所以f1−a+f1−因为fx在R所以，a2−1<1−a，即a2所以实数a的取值范围为−2,1．【变式7.2】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数fx=a⋅(1)判断并证明函数fx(2)是否存在实数k，使得函数fx在区间m,n上的取值范围是k4m【解题思路】(1)先利用奇函数的性质求出字母a，再根据函数单调性定义取证明即可；(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.【解答过程】（1）f0=fx是R设x1，x2f∵x1<x2，∴4x1∴fx是R（2）假设存在实数k，使之满足题意．由（1）可得函数fx在m,n∴fm=∴m，n为方程4x−14令4x=t>0，即方程1+k2>0故存在，实数k的取值范围为：(−3+22模块模块四课后作业1．（2023·高一课时练习）计算结果正确的是（）A．﹣6x2y3÷12x2y2=﹣12B．−C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5D．(2【解题思路】根据指数幂的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.【解答过程】对于A：左边=−6x2y对于B：左边=94x2对于C：左边=16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣8x2y5，故C不正确；对于D：左边=16x8y故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）214−0.5A．π B．2 C．1 D．0【解题思路】直接根据指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】21故选：D.3．（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）设函数fx=2xx−aA．4,+∞ B．−4,0 C．0,4 D．【解题思路】设t=xx−a=x2−ax【解答过程】解：设t=xx−a=x∵y=2t是∴要使fx在区间0,2则t=x2−ax即a2故实数a的取值范围是4,+∞故选：A．4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，函数y=2x−2A．

B．

C．

D．

【解题思路】将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.【解答过程】∵y=2∴x=1时，y=0，当x>1时，函数y=2x−2为1,+当x<1时，函数y=2−2x为−∞故选：B.5．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考期末）幂函数fx=a2−2a−2A．（1，1） B．（1，2） C．（3，1） D．（3，2）【解题思路】由函数fx为幂函数且在R上单调递增，可得a=3，再由指数函数过定点(0,1)，即可得函数g【解答过程】解：因为fx所以a2−2a−2=1a>0所以gx又因为指数函数y=ax恒过定点所以gx=b故选：D.6．（2023·全国·高一假期作业）如图所示：曲线C1，C2，C3和C4分别是指数函数y=ax，y=bx,y=cx和A．a<b<1<c<d B．a<b<1<d<cC．b<a<1<c<d D．b<a<1<d<c【解题思路】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由x=1时，函数值的大小判断.【解答过程】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c，d大于1，a，b小于1，由图知：c1>d1，即c>d，所以b<a<1<d<c，故选：D.7．（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=exex+1A．−∞，1 B．C．0，1 D．0【解题思路】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.【解答过程】f(x)=e因为x∈R，所以e所以ex所以0<1所以−1<−1所以0<1−1ex所以f(x)的值域为0，1，故选：C.8．（2023秋·高一课时练习）若a，b∈R，且满足12<A．aa<ab<ba B．【解题思路】根据指数函数的单调性判断即可.【解答过程】由12<1因为函数y=12x在R因为函数y=ax在R上单调递减，所以因为函数y=abx在R综上，ab故选：C.9．（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）函数f(x)=12x+2，若对于任意的x∈1,4，不等式f(x)+f(a−2x)≤A．3,+∞ B．C．−∞,4 【解题思路】化简不等式f(x)+f(a−2x)≤12，根据不等式恒成立以及x的范围求得【解答过程】依题意，fx+fa−2x即12a−2x+2即2a−2x+2≥2即2a−x≥4=22所以a≥4+2=故选：D.10．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数f(x)=2x+2−x，g(x)=m⋅f(2x)+2f(x)+m.若对于∀x1∈0,+A．−∞,0 B．0,+∞ C．−【解题思路】把∀x1∈0,+∞，∃【解答过程】因为f(x)=2x+所以g(x)=m⋅f(2x)+2f(x)+m=mf设0≤x1<x所以f(x)在[0,+∞)单调递增，最小值为因为∀x1∈0,+∞，∃所以g(令t=f(x2)，易得t∈2,5显然f(t)=5−2tt2−1在2,52的最小值为0，所以故选：B.11．（2023·山东·校联考模拟预测）计算：(1)(−π(2)5【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.【解答过程】（1）原式=1+=1+1−10+9=1；（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，5a12．（2023·全国·高一专题练习）已知a1(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a【解题思路】利用完全平方公式以及立方和公式，可得答案.【解答过程】（1）将a12+a−（2）将a+a−1=3两边平方，可得a（3）a313．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：(1)2−1.5