强化训练鲁教版（五四制）八年级数学下册第九章图形的相似解析练习题（含解析）

八年级数学下册第九章图形的相似必考点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点D,E分别在的边AB,AC上，且满足△月分's4/微"ED=AB,若AB=

10,AC=8,AD=\,则CE的长是（）

A.2B.3C.4D.5

2、身高L6m的小刚在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m,则旗杆高为

（）

A.14米B.16米C.18米D.20米

3、如图，4〃4〃4，直线a、6与乙、4、4分别相交于点AB、C和点〃、E、F,若AB=3,

DE=2,EF=4,则比'的长为（)

A.4B.5C.6D.8

V7X

4、已知2=则二的值为（）

y5x+y

A.-2B.35C.-3D.2一

5823

5、如图，D,£分别是的边力8,"上的点，连接施，下列条件不能判定△/应与△力8C相似的

是（）

ADAEADDE

A./ADE=/BB./AED=/CC.

ABAC

6、如图，DE//BC,则下列比例式错误的是（)

.ADDEAD

A.---=---Bn.-4-后二

BDBCECBD

「ADAE

C理="D.—=—

•BDECABAC

ATi

7、如图，ABUCDHEF.若在"，物=3,则小的长为()

A.2B.4C.6D.8

8、如图，6是矩形/时的边/，的中点，连接豳BD,分别交对角线〃'于点人0.则小：FO：0C

=()

A.2：1：3B.3：2：5C.4：2：7D.5：3：8

9、如图，平面直角坐标系x0中，△4吐/\勿0,且。4:AC=1:2,若4(1,2),则点C的坐标为

()

A.(2,4)B.(3,6)C.(4,2)D.(6,3)

10、如图，在平面直角坐标系中，四边形46切与四边形是位似图形.位似中心是()

----------------------------------------------

012345678910ll^r

A.(8,0)B.(8,1)C.(10,0)D.(10,1)

第II卷(非选择题70分)

二、填空题(5小题，每小题4分，共计20分)

1、如图，点"是"BC的重心，A£FG和AABC是以点〃为位似中心的位似图形，贝IJAEFG与AABC

的面积之比为.

2、定义：如图1,已知锐角乙45内有定点R过点P任意作一条直线助V,分别交射线力，如于点

M,N.若P是线段楸’的中点时，则称直线仞V是//仍的中点直线.如图2,射线。。的表达式为"=

2A"(*>()),射线00与x轴正半轴的夹角为Na,P(3,1),若加V为Na的中点直线，则直线助V

的表达式为.

3、如图，在正方形用力中，DE=CE,AF=3DF,过点后作班，斯于点〃，交/〃于点G.下列结论:

①△颂s△鹿；

②/蹶7=45°；

③4?=3/G.正确的有.

4、如图，在中，点〃在47上，ZABD=NC,若A8=2A£>=4,则口的长是.

5、如图，点？在。46（力的边切的延长线上，连接回分别交〃1于尸、G.图中相似的两个三角形

共有对.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在矩形力8口中，16=3cm,6C=4cm,E,厂是对角线”1上的两个动点，分别从4。同时出发相

向而行，速度均为lcm/s,运动时间为力秒，0Wt<5.

BC

⑴力£=,EF=；

(2)若G,〃分别是48,%中点，求证：四边形加7月是平行四边形；

(3)若G,〃分别是沿着上*如C,―力运动的动点，与F,产相同的速度同时出发，当力为何值

时，四边形盟力为菱形.

2、问题提出

如图(1),AABC和AOEC都是等腰直角三角形，其中NAC8=ZL>CE=90。，BC=AC,EC=DC,

点/在AABC内部，直线4〃与防交于点反线段4尸，BF,CF之间存在怎样的数量关系？

E

图3

问题探究

(1)先将问题特殊化如图2,当点〃尸重合时，直接写出表示力凡BF,)之间的数量关系的等式:

_____________________________5

(2)再探究一般情形如图1,当点〃，厂不重合时，证明(1)中的结论仍然成立.(提示：过点C作

CG1CF,交"于点G)

(3)问题拓展

如图3,若AABC和A£)£C都是含30°的直角三角形，有NACB=N£>CE=9O。，

/BAC=/£DC=90。，点£在4人8(：内部，直线加与班交于点F.直接写出一个等式，表示线段

AF,BF,〃之间的数量关系.

3、如图，点。是正方形46切的对角线放上一点.

(1)联结。3并延长，交4?于点£,交物的延长线于点尸.求证：PG=PE，PF；

②)若A8'=BD*DP,求证：N即C=90°.

4、如图，a'中，ZJG?=90o,CA=CB=2yj2,D、£为46上两点，且/比斤45°,

(1)求证：XACEsXBDC.

⑵若4M,求应的长.

5、如图，在菱形力以/中，力6=15,过点4作于点£,AE=\2,动点一从点6出发，以每秒3

个单位长度的速度沿应1向终点£运动，过点户作/铝，比；交掰于点0,以国为边向右作正方形

PQMN,点1在射线回上，设点。的运动时间为1秒(力>0).

，D

BPNE

(1)直接写出线段阕的长(用含力的代数式表示)；

(2)当正方形图股与四边形/以力重合部分图形为四边形时，求t的取值范围;

(3)连接力。、QN,当△。瓶一边上的中点在线段4c上时，直接写出力的值.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

首先利用相似三角形的性质可求出力£的长，即可求解.

【详解】

解：■:丛ADES^ACB,ODOM加6,

AE=ACtAD,

而46=10,AC=8,4〃=4

.♦.10：AE=8：4,

.•.心5

CE^AC-AE=8-5=3.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键.

2、D

【解析】

【分析】

利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可.

【详解】

解：设旗杆高为x米，

根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：

雪16珠x，解得：x=20,

故旗杆高20米，

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出

方程计算出结果，是解决本题的关键.

3、C

【解析】

【分析】

ARnr

由I、八八,可得黑=%，再代入数据进行计算即可.

BCEF

【详解】

解：Vlt//l2//l3,

.ABDE

,~BC~~EF"

,/AB=3,DE=2,EF=4,

\»,

BC4

\BC=6,经检验符合题意.

故选C

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本

题的关键.

4、B

【解析】

【分析】

利用设4法进行解答即可.

【详解】

,x3

解：,.；=《，

/.设下3k,y=5k,

•__x_______3_k____3

"x+y~3k+5k~i'

故选：B.

【点睛】

本题考查了比例的性质，熟练掌握设A法是解题的关键.

5、D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可.

【详解】

解：,:/ADE=/B,ZA=ZA

AADESAABC

故A能判定应与相似,不符合题意;

•••AAED=AC,ZA=ZA

，AADESAABC

故B能判定应与如相似,不符合题意;

ADAE

—,ZA=ZA

ABAC

...XKDEsXABC

故C能判定△?!〃£与△47C相似,不符合题意;

Annr

瓦=正,条件*=〃未给出’不能判定△核与△斯相似'故D符合题意

故选D

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

6、A

【解析】

【分析】

根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案.

【详解】

解：'：DE//BC,

.AD_AEABACADAE

••茄一耘'茄一记花—前；

A错误；

故选：A.

【点晴】

此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关

系，避免错选其他答案.

7、C

【解析】

【分析】

利用平行线分线段成比例定理得到生=翌，然后根据比例性质求DF的长.

CEDF

【详解】

解：*/ABIICDIIEF,

・AC_BD

^~CE~~DF9

._3__1

**DF-5，

m

故选：c.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

8、A

【解析】

【分析】

根据矩形的性质可得/7/6C,AD=BC,OA=OO^AC,可得△潮，由£是4?的中点，即可得

ATI11

出==可得力六;ZG根据线段的和差关系可得幅进而可得答案.

CF236

【详解】

•..四边形48力是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,OA=O(=^AC,

：.XAEFsXCBF,

•”是力〃的中点，

:"*AD,

.AFAEAE1

••===—，

CFBCAD2

：.A/^-AC,

3

/.OF=OA-AeAC--AO-AC,

236

：.AF:F0-.OC=-AC：-AC：^AC=2：1：3,

362

故选：A.

【点睛】

本题考查矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

9、B

【解析】

【分析】

根据题意ACD。与AMO是以。点为位似中心的位似变换，据此求得位似比，进而即可求得C点的坐

标

【详解】

解：VOA:AC=1:2

OA:OC=1:3

•••J(l,2),/XABO^/XCDO,

C(3,6)

故选B

【点睛】

本题考查了位似图形的性质，求得位似比，根据位似比等于相似比是解题的关键.

10、C

【解析】

【分析】

连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心.

【详解】

解：如图，点£即为位似中心，"(10,0),

故选：C.

9

~b1234567891011*

【点睛】

此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关

键.

二、填空题

1、1：9.

【解析】

【分析】

根据位似图形的概念得到AEFGSAABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】

解：•.•点6是AABC的重心，

...点/是力〃的三等分点，

.DE]

••一二,

DA3

・・・△瓦6和△ABC是以点〃为位似中心的位似图形，

:•AEFGSAABC,EF〃AB,

.DEEF_\

•・诙一瓦一屋

.SEFG=(EF)2_J_

AB一9'

故答案为：1：9.

【点晴】

本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键.

2、y=-gx+'l

【解析】

【分析】

作切_Lx轴于D,轴于E,则PE//MD,设M(«,2加，由题意得PE=m,由P(3,1)求得m=

1,即可求得N(5,0),然后根据待定系数法即可求得直线版V的解析式.

【详解】

解：如图，作切轴于〃，皿x轴于笈贝

,/P为MN的中点，PE//MD

.DEMP

'''EN~~PN~

：.DN=EN,即£为"中点，

.,.必1是△MON中位线

：.PE=^MD,

・"是射线〃。上的点,

/.设M(m,2加,

:.MD=2nb

：.PE=^MD=m,

,：P(3,1),

A/ZFI,0%3

・・・〃(1,2)

：.OD=l,则小的公2

：.EN=D^2

：.〃忙峪小5

，N(5,0),

设直线的r的解析式为y=kx+b,

,,(3k+h=\

把P(3,1),N(5,0)代入得J八，

[5左+0z=0

k=-L

解得；，

b=—

2

直线以『的解析式为y=-^+|,

故答案为：y=~yA+1-.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理,

求得"的坐标是解题的关键.

3、①②③

【解析】

【分析】

设M=X,贝lj4F=3x,由正方形的性质得出NA=ND=NC=NA5C=90。，AD=CD=BC=AB=4x,可得出

npCF1

—==则可得出①正确；证明AHBEgACBE，有BC=BH,CE=HE,证明

DEBC2

RsABG^RsHBG,得出NABG=NHBG,则可得出②正确；证明耳△。瓦N必△"£尸，WDF=FH,证

明FHGs^DG,由相似三角形的性质可得出③正确.

【详解】

解：没DF=x,贝Ij443x

・・,四边形力腼是正方形

工ZA=Zn=Z：C=ZABC=90°,AD=CD=BC=AB=4x

：.DE=CE=-CD=2x

2

.DFCE\

**DE-BC-2

/.GEFSABE

故①正确；

,/ADEFS.BE

EFDECE1

...一=——=——=一，NFED=NEBC

BEBCBC2

*.•NCEB+NEBC=90°

.../FED+ZCEB=90°

/.NFEB=90。

：.NFEB=NC

：.AFEBS^ECB

：.Z.FBE=Z.EBC

,:EGJ_BF

：.NEHB=90。

在AWBE和中

/EHB=ZC

</HBE=NCBE

BE=BE

△HBE且ACBE(AAS)

:,BC=BH,CE=HE

AB=BH

在Rt^ABG和RtAHBG中

(BG=BG

[AB=BH

：.RfAABGmRtAHBGCHD

：.ZABG=ZHBG,AG=GH

・・.NEBG=/HBG+NHBE=-ZABC=-x90°=45°

22

故②正确；

•[DE=CE=EH

・•・DE=EH

在Rt/XDEF和Rt/\HEF中

jEF=EF

[DE=HE

：.RSDEF冬RsHEF(HL)

：.DF=FH

"?ZFGH=ZEGD,NFHG=NGDE=90°

：.AFHGSAEDG

.GHFH

'"^G~~DE

.AGDF\

*'DG-D£-2

.AG

*'AD-3

，AD=3AG

故③正确；

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识.解题的关键

在于正确寻找相似三角形解决问题.

4、6

【解析】

【分析】

根据ZAfiO=NC,/4=44可得4钻;32\4。8,进而列出比例式，代入数值求解即可可得AC=8,

根据8=AC-的即可求得CD的长.

【详解】

ZABD=ZC,ZA=ZA

△ABD^AACB

.ADAB

,AB-AC

•••AB=2AD=4,

：.AD=2

AC=—=8

2

..8=AC-AO=8—2=6

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

5,6

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可.

【详解】

解：.."8勿是平行四边形

：.AD//BC,AB//DC

・：△ABGsXCEG,XAGFsXCGB,^EFD^/XEBC,/\ABF^/\DEF,△46〜△硕■五对，还有一对特

殊的相似即△4?宣

.•.共6对.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法,

属于中考常考题型.

三、解答题

1、(1)t,5-2f

(2)见解析

31

⑶当t为?秒时，四边形灰/〃为菱形

O

【解析】

【分析】

(1)根据矩形的性质求得AC,进而根据路程等于速度乘以时间即可求得A£,M；

(2)证明△㈤/,可得GF=HE,同理可得在1=3,从而可得，四边形比/月是平行四边形.

21-3，

(3)根据菱形和矩形的性质，证明△"6s求得0G==一,在R-44G。中，利用勾股定理

建立方程，解方程求解即可.

(1)

■■E,尸是对角线4c上的两个动点，分别从4C同时出发相向而行，速度均为lcm/s,

矩形ABCD中，46=3cm,a'=4cm,

AC=四+不=5

■■■AE=t,EF=5—2t

故答案为：t,5-2t

(2)

证明：•••四边形力四是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,AD//BC,NB=90°,

22

：.AC=^3+4=5,AGAF=£HCE,

■:G、〃分别是46、%的中点，

:.AG=BG,CH=DH,:.AG=CH,

*：AE=CF,：.AF=CE,

在与△。绢中,

AG=CH

<ZGAF=ZHCE

AF=CE

：./\AFG^/\CEH(SAS\

:・GF=HE

同理：GE=HF

・••四边形况77/是平行四边形.

(3)

如下图所示，连接力G、CH

\•如果四边形政才〃是菱形,

・••EFLGH,OE=OF,OG=OH

・・・ZB=NCOG,NOCG=ZACB

:、XCABsMCGO,

.ABAC35

^~OG~~CG"^~OG~7~^t

・八八21-3r

••0G=-------

5

又在RkX/BC中，48=3,BG=t—3,

：.AG'=(L3)2+9,

...在中，(--3)2+9=(-)2+(生@)2,

25

化简得：64产-961-589=0

31

解得：力或益=一19(舍去)

O

即：当力为931秒时，四边形£第/为菱形.

O

【点睛】

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解

一元二次方程，熟练运用以上知识是解题的关键..

2、⑴AF+辰F=BF,理由见解析

(2)第(1)问中的结论仍然成立，理由见解析；

(3)3BF=y/3AF+2-j3FC

【解析】

【分析】

(1)证明△烟丝尸(S/S,得到庞•=/尸，由为等腰直角三角形得到。最后再由

BF=BE+DE=AF+&CF即可证明；

⑵过点C作CG，Cr,交序1于点G,证明△⑦匡△蜀!/(必0,得到班力尸，证明△"正为等腰直角

三角形得到FG=夜CF,最后再由BF=8G+EG=AF+gCF即可证明；

(3)同(2)中思路，证明△力。7s△6龙，得到证明△Ob为30°、60°、90°三角形，得

到尸G=38FC,最后再由BF=BG+GF=—AF+^-FC^^.^.

333

(1)

解：如下图2所示，AF,BF,O7之间的数量关系的等式为：AF+42CF=BF,理由如下:

c

VZACE+ZEC1}=ZACJ3=9O°,ZACE+ZFCA=ZDCE=9Q°,

：.ZECB=ZFCA,

CF=CE

在△力。;1和△比X1中：，NFCA=NECB,

AC=BC

:./\AC阻/XBCElSAS),

：.AF=BE,

当。和尸重合时，由为等腰直角三角形知，

喏为等腰直角三角形，

二DE=y/2CF，

BF=BE+DE=AF+梃CF.

(2)

解：第(1)问中结论仍然成立，理由如下：

过点C作CGLCF,交在于点G,如下图1所示:

VZACE+ZECB=ZACB=90°,NACE+NDCA=NDCE=9Q°,

:.乙EC*4DCA,

CD=CE

在△力切和位中：，NQCA=NECB,

AC=BC

:ZC哈XBCE'SAS,

：.Z.DAOAEBC,

：0N4^=180°-4FNA,NEBGNBCA=180°-匕CNB,且ZFN归NCNB,

:./AFB=/BCA=9Q°,

:2DFE=9Q°

:"DFE+NDCE=9Q0+90°=180°,

:.D、aE、尸四点共圆，

：.4CFE=4CDE=45°,

又NFCGWO。，

...△歇7为等腰直角三角形，

，FG=V2CF，CF=CG,NFGC=45°,

AZ<76^=180°-/A?白135°,

又/CFA=NCFE*/AF斤45°+90°=135°，

：.ACG&-ACFA,

NCGB=NCFA

在△36和中：,NE4C=NGBC,

CA=CB

:./XCG曜△CFAlAAG,

：.GB=AF,

•*.BF=BG+GF=AF+y/2CF.

(3)

解：线段4凡BF,6F之间的数量关系为：3BF=6AF+2>fiFC,理由如下:

过。点作CG,CF交跖于点G,如图3所示：

图3

由(2)可知：ZAF/^ZACB=90°,

:.NDF片9。°,

:.NDFE+/DC&9G+90°=180°,

:.D、aE、6四点共圆,

:.NCFLC际3G,

...△%；为30°、60°、90°三角形，三边之比为I:百:2,

.g2G“

・・FQj=-----FC

3

由⑵知，4FAOZGBC,

且能磔30。+90°=120°,ZCGB=1800-ZCGF=180°-60°=120°,

：.ZCFA=ZCGB9

:、△ACFSXBCG,

.AFACy/3

••----------=—f

BGBC1

/.AF=6BG

：.BF=BG+GF=-AF+^-FC,

33

，线段力尸，BF,0c'之间的数量关系为：3BF=>/3AF+2y/3FC.

【点睛】

本题是三角形全等和相似的综合题，难度较大，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法是解决本题的

关键.

3、(1)见解析

⑵见解析

【解析】

【分析】

(1)由正方形的性质得出43,BC//AD,证明△〃〜△力里△施〜△比区由相似三角形的性

质得P出C黑DP，是PF=黑D,P则可得出结论；

(2)证明△COPs△劭C,由相似三角形的性质得出NZYP=N应匕证出/加C=90°,则可得出结

论.

⑴

证明：•.•四边形4比力是正方形，

：.DC//AB,BC//AD,

:.XDCPs^BFP,[\DEP^f\BCP,

PFPBPCPB

PCPE

'~PF~yC'

:.PC=PE・PF；

(2)

证明：•.•四边形/6口是正方形，

:.AB=CD,/DCB=90°,

AB2=BDDP

:.DC=BD*DP,

.DCBD

**DP-CD'

又Y/CDy/BDC,

：.l\CDP^IXBDC,

：.ADCP^ABDC,

：.ZDCP^ZCDP=ZCDPrZDBC=90°,

:.NDPC=90°,

:.NBPC=9C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解题的关键.

4、(1)见解析

⑵DE=1

【解析】

【分析】

(1)由等腰直角三角形的性质得出NA=N3,可证明AACESABOC；

(2)由勾股定理求出钻=4,由相似三角形的性质得出熬=桀，可求出DE的长，则可得出答案.

BDoC

(1)

解：证明：•.♦ZACB=90。，CA=CB,

,ZA=NB=；(180°-90°)=45°,

XvZCDB^ZA+ZACD=45°+ZACD=ZACE=ZACD+ZDCE,

:.AACESABDC；

(2)

解：由勾股定理得48=小(2血)2+(2夜)2=4,

设£>E长为x,

■：AD=\,

BD=3,AE=\+x,

•;AACES^BDC,

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