2020-2021学年新余市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年新余市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知直线1与椭圆亡+”=1交于4,B两点，且点M（2,l）是弦4B的中点，则直线Z的方程为（）

164

A.%+2y-4=0B.2%+y—5=0C.2x—y—3=0D.x—2y—3=0

2.下列命题中，真命题是（）

A.VxG/?,%2—%—1>0

B.Ver,0ER,sin（a+/?）<sina+sin^

C.函数y=2s讥（％+g）的图象的一条对称轴是％=JTI

D.3（z,§eR,sin（a+0）=cosa+cos/?

3,已知正四棱锥,霸-/1麝雷:的侧棱长与底面边长都相等，感是,离殿的中点，则/嚏；.徽所成的角

的余弦值为（）

A.-B.虫C.eD.-

4.函数.四礴=如常带室M-匾的零点所在的区间为（）

「神飞威飞『窗："％

A.仃寓B.।।C.।।D.।

5.设a、b、c表示三条互不重合的直线，a、£表示两个不重合的平面，则使得“a〃6”成立的一

个充分条件为（）

A.a1c,b1cB.a〃a,b//a

C.a//a,aC0=b,au0D.b1a,c//a,ale

6,若过点2（2,—2）和点8（5,0）的直线与过点。（2科1）和点（2（—1,—6）的直线平行，则小的值为（）

A.—1B.1C.2D.-

7.如图，△4。0是△力。B用斜二测画法画出的直观图.贝必408的

面积是（）

A.8V2

B.16

C.8

D.16V2

8./（x）=V5sin（3x+，）（3>0）,在（0,3］恰有两条对称轴方程，则3的范围是（）

A.覃兀）B.尊者）C.尊音）D.生詈］

9,正方形ZBCD-4B1C1D1中，若前=2西，P在底面4BCD内运动，且满足涓=而，则点P的

轨迹为（）

A.圆弧

C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分

10.如图，是某几何体的三视图，该几何体的轴截面的面积为8,则该几何体的外

接球的表面积为（）

A125

'•三兀

B.257r

25

一71

C.2

D.IOOTT

11.圆％2+y2+2%+4y_3=0上到直线X+y+1=0的距离为8的点的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

12.如图所示是一个正方体的表面展开图，点4B,C均为棱的中点，。是顶

点，则在正方体中，异面直线48和CD的夹角的余弦值为（）

A2

BT

C.粤

DT

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若I,也为两条不重合的直线，a,0,y为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：

①a_Ly,)51y,则a10；

②a1y,S〃y，则a"；

@l//a,I10,则a10；

④若l//a,则1平行于a内的所有直线；

⑤若l//a,n//a,则1〃n.

其中正确命题的序号是.

14.若直线y=%+t与方程x-1=千所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数t的取值范围

为.

15.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为六山的实心铁球，四个球两两相切，其中底层

两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.

16.设实数编般满足/普/-跳=«,则J蝇普珍的最大值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知三角形ABC的三个顶点的坐标为4(5,1),5(7,-3),C(2,—8),求直线AB及4B边上的中线

的直线方程.

19.已知f(l—2久)=*(久40),那么/《)=

-1

20.已知点4(—2,—1)和B(2,l),点P满足%p=—“设曲线C是点P的轨迹.

(/)求曲线C的方程；

(〃)求点P到点M(O,1)距离的最大值.

21.如图，在四棱锥P—4BCD中，PCl^ABCD,底面4BCD是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.

(1)求证：平面E2C1平面PBC；

(2)若二面角P-AC-E的余弦值为遒,求直线P4与平面E4C所成角的正弦值.

兽

22.如图，在四棱锥P—A8CD中，PD_L平面4BCD,AB//DC,ABLAD,BC=5,DC=3,AD=4,

乙PAD=60°.

(1)若M为24的中点，求证：DM//平面PBC；

(2)求三棱锥。-PBC的体积.P&

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题考查中点弦的方程的求法，属于基础题.

中点弦问题，利用点差法求斜率，进而求出直线方程.

解:设A,B的坐标分别为B(x2,y2),

(五+城=1

)164

国或=1'

1164

作差得纥丝.2及=纥及*1=_工，

%1一%2%1+%2%1—%224

」•^AB=一1，

・,・直线/的方程为y-1=-1(x-2),即久+2y-4=0.

故选：A.

2.答案：D

解析：试题分析：对于全称命题4B,欲说明其为假，只须举一个反例即可；对于选项C,只须将

%的值代入，看函数是否取最值即可，能取到最值就是函数的对称轴；对于存在性命题。，欲说明其

为假，也只须找一个特例即可.

A：v%2—%—1=(%—i)2-->一三恒成立，当久=工时，x2—x—1>0不成立，故V%ER,X2—x—

2442

1>0是假命题.

B：当a=0,S=0时，sin(a+S)=0,sina+sin^=0,sin(a+夕)<sina+siziS不成立，故B

为假；

C：当％="时，y=2s讥(％+£)=2s皿等+g)=0,不取最值，故直线％=，兀不是f(%)的对称轴；

D：sin(-+-)=cos-+cos-=0,

v22722

3a,PER,使sin(a+/?)=cosa+cos夕成立.0为真;

故选D

3.答案：C

解析：试题分析：设边长为1,取BD中点F,连接EF,AF,在口茶庭密中庭解=N您f=史"翱意=#

雪萋鬟

.-忠婢左密=昱，异面直线所成角余弦值避

圈3;

考点：异面直线所成角

点评：先平移为相交直线找到其所成角，再解三角形求角

4.答案:C

解析：试题分析：施源:=T，频各!：=刎？一3ka施降=如公-2；魂，於珍=■通，.•・

激毒忌Y，选心

考点：二分法.

5.答案：C

解析：解：A：当ale,blc时，则可/b或a与b相交或异面，.以错误，

B-.当4/a,b〃a时，则£1〃》或a与b相交或异面，错误，

C：当。〃访au£,aC/?=6时，则4/b,；.C正确，

D-.当61a,c〃a时，.，.61c,,；a1c,则a〃/?或a与b相交或异面，;。错误，

故选：C.

由线线垂直的性质判断4由线面平行的性质判断B,由线面平行的性质判断C,由线面平行垂直的

性质判断。.

本题考查了空间直线与直线，直线与平面和平面与平面之间的位置关系，属于中档题.

6.答案：B

解析：

分别求出过点4(2,—2)、B(5,0)的直线与过点P(2科1)、Q(—1,—zn)的直线的斜率，由斜率相等列式

求解ni的值.

本题考查了直线的斜率与直线平行的关系，考查了由直线上两点的坐标求直线的斜率，是基础题.

解:由4(2,-2)、B(5,0)得,

过力、B的直线的斜率AAB==2=|，

过点P(2m,l)、(?(一1,一小)的直线的斜率冲(3=黑，

,过点4(2,-2)、B(5,0)的直线与过点P(2zn,l)、Q(—l,-㈤的直线平行,

™1+m=?2解A73Z何FI：根=LY

故选：B.

7.答案：B

解析：解：由直观图和原图形的关系易知，

AAOB中底边OB=4,底边。B上的高线长为8,

的面积为

S=±1x4x8=16.

2

故选：B.

由直观图和原图形的关系易知AAOB的底边0B以及。B上的高线，计算它的面积即可.

本题考查了斜二测画法的直观图应用问题，是基础题.

8.答案：C

解析：解：由3尤+£=k7r+，得久=竺学，即对称轴方程为％=竺兰，k&Z,

。N30）

当k=o时，第一条对称轴为x=F，

当k=l时，第2条对称轴为龙=9，

3（0

k—2时，第3条对称轴为第=箸，

若在（0,3］恰有两条对称轴方程，

f±L<3（a）>-

贝电厂Q，得一7〉即”3〈季

—>3（1）<一

13coI9

即3的取值范围是年,音）.

故选：C.

根据三角函数的对称性求出对称轴方程，结合在（0,3］恰有两条对称轴方程，建立不等式关系进行求

解即可.

本题主要考查三角函数对称性的应用，求出函数的对称轴，建立不等式关系是解决本题的关键.

9.答案：A

解析：解：设正方体的棱长为6,距离如图所示的空间直角坐标

系,

x

可得：设P(x,y,z),G(0,36),则M(0,3,4),心(0,—3,6),£)(0,-3,0),C(0,3,0),

r)PCP

在底面力内运动，且满足至定，

PBCD"17r=Ivlr

可得.Jx2+(y+3)2=J/+°-3)2

守*jN+(y+3)2+62Jx2+(y―3)2+42,

化简可得：5x2+5y2-78y+57=0,x>0.

故选：A.

距离空间直角坐标系，利用空间距离公式，转化求解即可.

本题考查轨迹方程的求法，科技直角坐标系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

10.答案：B

解析：解：由题意可知几何体是圆锥，底面半径为「=2,圆锥的高为％,

轴截面的面积为：jx4h=8,可得八=4,(/''、、，)

设圆锥的外接球的半径为R.则(h-R)2+r2=R2,弋三三才

解得R=|,所以外接球的表面积为：4兀胆=25兀.

故选：B.

判断几何体的形状，求出外接球的半径，然后求解该几何体的外接球的表面积.

本题考查了圆锥的三视图及外接球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.答案：B

解析：

本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于简单题.

圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可求解.

解：圆方程变形得：0+1)2+0+2)2=8,即圆心(一1,一2),半径r=2a,

圆心到直线久+y+1=0的距离d=।=V2,

r—d-V2<V3>r+d=3&>V3>

则圆上到直线x+y+1=0的距离为百的点的个数为2,

故选8.

12.答案：C

解析：

本题考查异面直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征

的合理运用.

正方体的表面展开图还原成正方体，能求出异面直线48和。。的夹角的余弦值.

解：正方体的表面展开图还原成正方体，如图，

则异面直线4B和CD所成角为NEFG,

设正方体棱长为2,

在AEFG中，EF=DC=逐,EG=V5,FG=2&,

•••cosZ-EFG=汇=窄=逗.

EFV55

••・异面直线和CD的夹角的余弦值为誓.

故选：C.

13.答案：②③

解析：解：由I,n为两条不重合的直线，a,0,y为三个互不重合的平面，知：

在①中，由aly,£ly，得a与£相交或平行，故①错误；

在②中，由aly,P//Y，则由面面垂直的判定定理得a_L0,故②正确；

在③中，由Z〃a,则由面面垂直的判定定理得a1故③正确；

在④中，若〃/a,则I与a内的所有直线平行或异面，故④错误；

在⑤中，若〃/a,n//a,贝股与n相交、平行或异面，故⑤错误.

故答案为：②③.

在①中，a与/?相交或平行；在②中，由面面垂直的判定定理得al色在③中，由面面垂直的判定

定理得a10；在④中，2与a内的所有直线平行或异面；在⑤中，1与n相交、平行或异面.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算

求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

14.答案:(-V2-1,-2]

解析：

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，利用数形结合以及直线和圆相切的条件

是解决本题的关键.根据题意画出曲线X-1="=于的图象，结合圆与直线的位置关系的判定进

而得到答案.

解：由x-l=平方得0-1)2=l-y2,

即(*-1)2+y2=1,(-1<y<1,X>1)

方程x-1=三7对应的曲线是以(1，°)为圆心，半径为1的右

半圆，

当直线y=x+t经过点4(1,-1)时，直线和曲线有两个不同的交

点，

此时—1=1+3得t=-2,

当直线y=x+t在第四象限与圆相切时，有一个交点，

此时圆心到直线的距离d=等=1，

得+1|=V2>得t=V2一1(舍)或t=-V2一1>

要使直线和曲线有两个不同的交点，

则直线位于切线y=x-V2-1和直线y=x-2之间,

则t7两足—V2—1<t<—2>

即实数t的取值范围是(-鱼-1,-2],

故答案为：(―鱼―1,-2].

15.答案：(|+f)7T

解析：解：设四个实心铁球的球心为01，02,。3,。4,其中。1，。2为

下层两球的球心，4B,C,。分别为四个球心在底面的射影，贝IMBCD

是一个边长为返的正方形.

2

所以注水高为1+四.

2

故应注水兀(1+—4x=(1+/)兀

故答案为：(|+f)7r.

先确定四个球心在底面的射影，构成一个正方形，从而求出注水高，利用柱体的体积减去4个实心铁

球的体积，即可求得结论.

本题考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

16.答案：2.

解析：试题分析：由题意，d怛/=翦.，即声覆=而，因此只要求出朋的最大值即可,

又由/书』/-翦.=融得，-驾屏=-/三蚓，.•』啊朋匕鼠即朋最大值为2,故西的最大值为

考点：约束条件下的最值问题.

17.答案：解：•••4(5,1),B(7,-3),C(2,-8),

.••2B的中点。(6,—1),

二直线4B的方程为；)=^―|,

—3—1/—5

化为一般式可得2%+y-11=0;

同理可得力B边上的中线CD的方程为唔=三f.

—l+oo—Z

化为一般式可得7x—4y—46=0.

解析：由中点坐标公式可得2B的中点D的坐标，由两点式可得直线的方程，化为一般式即可.

本题考查直线的一般式方程和中点坐标公式，属基础题.

18.答案：(1)证明：连结4的，交4C点。，连D。，

则。是4G的中点，

因为。是2B的中点，

所以。。是AABCi的中位线，

即OD〃BC「

因为。Du平面4停。，8。1,平面41。。，

所以BCi〃平面&CD.

(2)解：取4C的中点尸，连结E。，OF,FB,

因为。是4G的中点，

所以。尸是444道的中位线，。F〃441且。F=

显然BE〃叫，且BE="&,

所以。F〃BE且。F=BE,

则四边形BEOF是平行四边形，

所以E0〃8F,

因为4B=BC,

所以BF14C,

又"11平面ABC,BFu平面4BC,

所以8F1CQ,

又力cncCi=c,ACu平面acCia,cqu平面

所以直线BF，平面aCCiA，

因为EO〃BF,

所以直线E。，平面&CC14,

因为E。u平面&EC,

所以平面&EC1平面ACC1Al.

解析：本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平

行的判定定理的应用，属于中档题.

(1)连结4Q,交4C点。，连。。，推出。D〃BCi，即可证明BQ〃平面AiCD.

(2)取AC的中点F,连结EO,OF,FB,证明四边形BEOF是平行四边形，证明BF1CC1,

得到BF1平面4CC1&,然后证明平面4EC1平面4。6公.

19.答案：8

解析：解：/(|)=/(I—2x》=产=8.

故答案为：8.

直接利用函数的解析式，求解函数值即可.

本题考查函数的解析式的应用，函数的值的求法，考查计算能力.

20.答案：解：(1)设动点。为。,外，由题意可得心P/BP=W-W=-%

X+ZX—Z4

化为/+4y2=8,x±2,即为次+些=1,x±2；

/82

(口)由(I)设点P的坐标为(2&cosa

贝11PM=J(2A/2COS0)2+(V2sin0-I)2=yj-6sin26-242sin9+9=J-6(sin0-y)2+

当sin。=四时，|PM|=/^=—,

6v33

故点P到点M(O,1)距离的最大值第

解析：(I)根据斜率公式即可求出曲线C的方程，

(II)由(I)设点P的坐标为(2&cos8,&siM),根据斜两点间的距离公式和三角函数的性质即可求出.

本题考查了点的轨迹方程和两点间的距离公式和三角函数的性质，属于中档题

21.答案：(1)见解析(2)当

粤

解析：(1)•••PCJ_平面力BCD,ACu平面ABCD,AC1PC.；AB=2,AD=CD=1,：.AC=BC=

.：.AC2+BC2=AB2..-.ACIBC.

又BCCPC=C,AC_L平面PBC.

•••ACu平面瓦4C,；.平面E4C_L平面PBC.

(2)如图,

以点C为原点，‘亚I：,遢'，源分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标