第节矩阵的运算

矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法第二节矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式矩阵矩阵乘积的意义伴随矩阵1.定义

设A＝(aij)m×n与B＝(bij)m×n是

A-B=A+(-B).阵.显然有A+(-A)=O.由此可定义矩阵的差为

若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩矩阵A

与矩阵B

的和，记为A＋B．两个同型矩阵，称m×n矩阵C＝(aij+bij)m×n

为

一、矩阵的加法例1设(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.(1)

A与B能进行加法运算;阵,A和B都是3×2矩阵,C是2×2矩阵.B与C不能进行加法运算,因为它们不是同型矩而A与C,解(2)C的负矩阵为:

2.运算规律

设A,B,C为同型矩阵,则

(1)

A+B=B+A(加法交换律);

(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)

A+O=O+A=A,

(4)

A+(-A)=O.其中O是与A同型矩阵;

1.定义设A=(aij)m×n

,

k是一个数,则为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为kA.称矩阵

二、数与矩阵相乘例2设且在求矩阵X.两端同加上得解两端乘以得

2.运算规律设A,B为同类型矩阵,k,l为常数，则(1)

1A=A;(2)

k(lA)=(kl)A;(3)

k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.设某地区有甲、乙、丙三个工厂,每个工厂都产品工厂ⅠⅡⅢⅣ甲乙丙203010451510702020153525产量(单位:个)如下表所示:生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4种产品.已知每个工厂的年引例总收入与总利润

三、矩阵的乘法已知每种产品的单价(元/个)和单位利润(元/个)项目产品单价单位利润ⅠⅡⅢⅣ100201504530012020060求各工厂的总收入与总利润.如下表所示:

解容易算出各工厂的总收入与总利润,也项目工厂总收入总利润甲乙丙1550056502800010350197506775本例中的三个表格可用三个矩阵表示,设可以列表如下:易见矩阵A的列数=矩阵B的行数,矩阵C的行数=矩阵A的行数,矩阵C的列数=矩阵B的列数.如果记

A=(aij)3×4,B=(bij)4×2,C=(cij)3×2,则

cij=ai1b1j+ai2b2j

+ai3b3j,i=1,2,3,j=1,2,我们把矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积.注意:

只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.

1.定义

设矩阵A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,记作C=AB.

cij=ai1b1j+ai2b2j

+…+aipbpj

C=(cij)m×n,其中

例3已知求AB.因为A是2×4矩阵,B是4×3矩阵,定义有其乘积AB=C是一个2×3矩阵,由矩阵乘积的

解9-2-19911左i行右

j列对应元素相乘再求和等于乘积的(i,j)元素对于线性方程组若令则上述线性方程组可写成矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:

(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.

(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.

(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果AB=CB,B0,不一定能推出A=C.

但A

C.例如定义对矩阵A与B，若有

则称A与B是可交换的。例4设，

计算AB与BA解该例题还表明，矩阵乘法没有交换律；且但例如，n阶单位矩阵E和n阶方阵A是可交换的两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.

例5设求与A可交换的所有矩阵。

解设B与A可交换，则B应是2阶方阵，不妨记

由，即

得

所以解得

故与A可交换的所有矩阵为

其中a、c为任意常数。

2.运算规律

(1)

Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)

设A

是m×n

矩阵,Em是m阶的单位矩(5)

k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)

A(B+C)=AB+AC,

EmA=A,AEn=A;阵,En是n阶的单位矩阵,则

四、方阵的幂另外还规定，

Ａ0=E.Ａ相乘称为

Ａ的m次幂，记为Ａm,即

1.定义

设A是n阶矩阵,m是正整数,m个

2.运算规律设A

为方阵,k,l

为正整数,则阶方阵A与B,一般来说(AB)k

AkBk.又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个n

AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.

由数的乘法运算规律推出的一些公式未必完全适合矩阵：

例如

设f(x)=a0+a1x+…+amxm为x的m次多项式，A为n阶，记f(A)=a0E+a1A+…+amAm

，f(A)称为矩阵A的m次多项式.3.矩阵多项式定义f(A)并且应为和A同阶

的方阵.设A

为方阵,可定义矩阵A多项式：

五、矩阵的转置1.定义把矩阵A的行换成同序数的列得到例如矩阵的转置矩阵为一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT或A′.

2.运算规律设A，B，C，A1，A2，…，Ak是矩阵，且(A1A2…Ak)T=AkT…A2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;则它们的行数与列数使相应的运算有定义，k是数，(5)

若A

为n

阶矩阵,则(Am)T=(AT)m,A

为反对称矩阵的充要条件是AT=-A.

(6)

A

为对称矩阵的充要条件是AT=A;m

为正整数;例5已知例6设A为n×1矩阵,且ATA=En,En为n阶单位矩阵,B=En-2AAT,证明:B为对称矩阵,且B2=En.由于:BT=(En

-2AAT)T=En-(2AAT)T=En-2(AT)TAT=En

-2AAT=B,因而矩阵B为对称矩阵.B2=(En-2AAT)(En-2AAT)=En-2AAT-2AAT+4AATAAT=En-2AAT-2AAT+4A(ATA)AT=En.证明又证毕例7

证明任一

n阶矩阵A

都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.

六、方阵的行列式1.定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.

2.运算规律设A,B为n阶方阵,

为数,则有(1)|AT|=|A|;(2)|A|=

n|A|;(3)|AB|=|A|