高考数学总复习第六章不等式、推理与证明教案

第六章不等式、推理与证明

览全局・网络构建I观网络一览无余

‘一元二次不等式及其解法、

简单的线性二元一次不等式（组）（----------------（----------------（-------------------------

规划问题与平面区域H不等关系与不等式J―［基本不等—［最大（小）值问题

「■（直接证明）~

U分析法）

-（间接证明］—（反证

Y数学归纳法）

备高考・策略指导I明方向有的放矢

J重点关注自导学心语

工是高中数学的重要内容之一，具有很强的工具性，应用十分广1.加强不等式基础知识的复习.不等式的基础知识是进行推理

与证明贯穿于每一个章节，因此，本章内容是高考考查的重点与式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不甯

热点，分值占总分的12%左右.不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性等，

!近两年高考命题，涉及本章知识的有2〜3道小题或1道大题和解一元二次不等式.

从题型上看，选择题、填空题主要涉及不等式的性质、解法、2.强化推理证明和不等式的应用意识.从近几年命题看，试题:

空规划、基本不等式及应用、合情推理等知识，解答题主要涉及函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高.

二等式的解法，范围与最值型综合题、不等式的推理与证明等.论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键.

命题蕴含的主要数学思想有数形结合的思想、分类讨论的思想、3.重视数学思想方法的复习.明确不等式的求解和推理证明融

室的思想，随着新课程标准的全面实施，命题会更注重基本知识条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应注

卷力的考查.等式、函数与方程三者密不可分，相互转化.

第一节不等关系与不等式

［考纲传真］

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式（组）的实际背景.

固基础・自主落实I理教材双基自测

隹点主干梳理

1.两个实数比较大小的法则

（l）a>b<=>a—b>0；（2）a=boa—b=0；（3）a〈boa—b<0.

2.不等式的性质

（1）对称性：a〉bo位（双向性）

（2）传递性:a>b,b〉c今a〉c（单向性）

（3）可加性：a>boa+c»+c（双向性）

a>b,c>d3a+c>b+d（单向性）

⑷可乘性：a>b,c>0^ac>bc；

a>b,c<0=>ac<bc.

a>b>0,c>d>0今ac2bd.（单向性）

（5）乘方法则：a>b>O^an>br,（nGN,〃22）（单向性）

⑹开方法则：公力0今缶2抵（刀金N,刀22）（单向性）

（7）倒数性质：设ab>0,则（双向性）

ab

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)->1=>a>b.()

(2)ac2>bc2<^a>b.()

(3)a>b<=>a3>b3.()

(4)a>b()

ab

［答案］⑴X⑵X⑶V(4)X

2.（教材改编）若a>l>b,下列不等式中不一定成立的是（）

A.a——b>l——bB.a-l>b—1

C.a-l>l-bD.1—a>b—a

［解析］由a>l知a—b〉l—b,故力正确；由a>b知a—l>b—1,故4正确；由Db知

1—a>b—a,故〃正确；C项错误，如当a=3,b=-3时不成立.

［答案］C

3.（2013•北京高考）设a,b,c£R,且㈤>6,则（）

B七

A.acybc

c.3>SD.

［解析］当cWO时，ac〉be不成立，故A不正确；当a=l,6=-3时，B>C均不正确.

5.（2015•潍坊一中质检）已知a<0,-l<b<0,那么a,ab,ab?的大小关系是—

-l<b<0^0<b2<l

［解析］=>a<ab<0,

a<0

又ab>0,/.ab>ab2>a.

［答案］ab>ab2>a

提知能・典例探究I析典例探求规律

考向/用不等式（组）表示不等关系

【典例1】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100

件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，

销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300

元的不等关系为

x—10

［解析］若提价后商品的售价为X元，则销售量减少10件，因此，每天的利润

为(x-8)［100—10(x-10)］元.

则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x—8)•［100-10(x-10)］^300.

则X2—28X+190W0,且10WXW20.

［答案］X?—28x+190W0(10WxW20)

【规律方法】

1.用不等式(组)表示不等关系的解题策略

(1)分析题目中有哪些未知量；

(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x,再用x来表示其他未知量；

(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组).

提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解.

2.文字语言与符号语言的转化

一定要准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别要注意“不超

过”“至少”“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义.

【变式训练1】某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产

品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2100力；预计此产品明年的销售量至

少为80000袋；生产每袋产品需用4分；生产每袋产品需用原料20例；年底库存原料600

t,明年可补充1200t.试根据这些数据预测明年的产量.

4x^200X2100,

［解］设明年的产量为x袋，则，x280000,

.0.02x<600+1200,

解得80000WxW90000.

预计明年的产量在80000袋到90000袋之间.

考向2比较大小

3

【典例2】(1)若实数ari,比较2+2与1—的大小；

1-a

(2)比较a%。与abba(a>0且b>0且bWl)的大小.

r&Ri/\I3—(a2+a+1)

［解］⑴a+2-;—=--------------,

1—a1—a

*/a2+a+1=

—(a2+a+1)<0>

2

_(aJ_a_|_J)3

・・・当l—a>0,即aG时，-----:--------<0,贝lj有a+2<^—；

1—a1—a

_(分2_|_+1\o

当l-a<0即a>l时，-----:-------->0,则有a+2>--.

1—a1—a

33

综上，当a<l时，a+2<--；当a>l时，a+2>--.

1—a1—a

<>akb

aU_a-bib-a

⑵b4—ab

当a>b>0时，卜>1,a-b>0,则(力>1,

.・.aabib>xabbia；

则出a-b

当b>a>0时,0*1,a-b<0,>1,

.・.aaib>abbiit；

za\a—b

当a=b>0时，I-I=1,.\a"b"=allb",

综上知（当且仅当a=b时取等号）.

【规律方法】

1.比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，

每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据.

2.（1）用作商法比较代数式的大小•般适用于单项式、指数式.作商只是思路，关键是

化简变形，从而使结果能够与1比较大小.（2）比差法多用于多项式、分式、对数式大小的

比较.常采用通分、因式分解、配方、有理化等变形方法、进而判定差的正负.

【变式训练2】⑴（2015•郑州模拟）已知0〈a〈l,x=1og蛆+1og4,y=》o&5,

z=Jog^\[21—log币，贝II（）

A.x>y>zB.z>y>x

C.z>x>yD.y>x>z

（2）（2015•日照模拟）已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3ac-b=4-4a+a2,则

a,b,c的大小关系是

［解析］⑴因为x=log,^2+log#=log,乖,

y=权。&5—Iogg,z=］og^2A—log邓=Jog,^7,

木〉乖〉乖,又0<a<l,

所以］og^l^>］og；乖〉］0gm，即y>x>z.

(2)c-b=4-4a+a2=(2-a)2>0,

Ac>b.将题中两式作差得2b=2+2/,即b=l+a2.

2

2+$0,2

Vl+a-a=a-2l+a>a,

/.b=l+aJ>a./.c^b>a.

［答案］⑴〃(2)c2b〉a

考向3不等式性质及其应用(高频考点)

命题视角不等式的性质及其应用是高考命题的热点，其主要命题角度：①不等式成立

与否的判断；②充要条件的判断；③求变量的取值范围.

【典例3】⑴(2014•四川高考)若a>b>0,c<d<0,则一定有()

abab

AT>-B.-<-

dcdc

abab

C._>3D._<~7

cdcd

⑵已知函数函x)=ax?+bx,且lWf(—DW2,2Wf(l)W4.求f(-2)的取值范围.

［思路点拨］(I)方法一：先得到一»一工>0,再利用不等式的性质求解.

dc

方法二：根据给出的字母的取值范围，取特殊值验证.

(2)先把f(—2)用f(—1)和f(l)表示，然后再用不等式的性质求解.

［解析］⑴法一：因为c〈d〈0,所以一c>—d>0,所以」

又a〉b>0,所以‘一匕，所以永上

-d-cdc

法二：令a=3,b=2,c=—3,d=—2,

则3Q=-h1,7=-l,排除选项C,〃；

cd

Q3h9ok

又：=-J,-=一曰所以不一，所以选项/错误，选项夕正确.

d2c3dc

［答案］B

(2)f(-l)=a-b,f(l)=a+b.f(-2)=4a—2b.

设m(a+b)+n(a—b)=4a—2b.

m+n=4,|m=l,

则.解得

m—n=—2,［n=3.

Af(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1).

•.TWf(-l)W2,2Wf⑴W4,

，5Wf(-2)W10.

因此f（-2）的取值范围为［5,10］.

【通关锦囊】

1.判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明，常用的推理判断需

要利用不等式的性质.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导

致推理判定失误.

2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用

不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径

是先建立所求范围的整体与」知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运

算求解范围.

【变式训练3］（1）（2013•天津高考）设a,b£R,则“避一力•a2<0w是ua<bn

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

n

⑵若角。，£满足一万〈。<£<口，则。一£的取值范围是（

［解析］⑴由不等式的性质知（a—份•才V0成立，则aV6成立;当a=0,成立

时，（a—8）•才V0不成立.所以（a—b）•才V0是a<6的充分而不必要条件.

/、31c八五3n八3兀

（21・•一万<£<五，J一元〈一£〈万，・'・一~—<cz-J3<—

又・.・。<£,一£<0,

,,3n

从而一十<a—B<0.

［答案］(DA(2)B

I名师微博I

勿忘2点注意1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件.

2.求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的

整体的等量关系，避免扩大变量范围.

熟记2种方法作差比较法与作商比较法是判定两个数或式子大小的两种基本方法，其

中变形是关键.

理解3条性质1.倒数性质，若ab>0,则a>bo,<32.真分数的性质，若m>0,

ab

启智慧・高考研析I探规律专项培优

巧思妙解之4巧用特殊值判断不等式问题

由例点（2015・烟台模拟）■｝（）,则下列不等式：

ab

②la|+b>0；（3）a—~>b—p④/〃aM4b'中，正确的不等式是（）

A.①④B.@@C,①③D.②④

［常规解法］由f0,可知b〈a〈0.①中，a+b<0,ab>0,所以一上<0,故有—T

aba+baba+b

<1，故①正确，排除反D；③中，因为b<a<0,又因为所以a」>b—（，故③正确，

ababab

排除4选徐

［答案］C

［巧妙解法］因为:<9<0,故可取a=—1,b=-2,显然一今=-故①对，

aba+b3ab2

排除反D.

a—JV=0,且b_(=_2—±=—|,

11

故

却

除

立

选

a-->b-成•

abI=nJ,

［答案］c

【智慧心语】

妙解点拨：(1)采用边选边排除的思想.

(2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率.

反思启迪：(1)当选择题中包含不止一个结论时，易采用边选边排除的方法.

(2)在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可

采用多次赋值法验证结论是否成立.

【类题通关】设a>b>l,c<0,给出下列三个结论：

若②a<b'；③Jo与(a—c)>/o4(b-c).

其中所有的正确结论的序号是()

A.①B.①②C.②③D.①②③

［解析］Va>b>l,

,K又

•,**‘故①正确.

当c<0时，y=x，在(0,+8)上是减函数，

又a>b>l,

/.a<bv,故②正确.

Va>b>l,一c〉0,

Aa-c>b—c>l.

Va>b>L

，logi,(a—c)>logn(a—c)>log&(b—c),

即/og/a-c)>/og(b—c),故③正确.

［答案］〃

课后限时自测

［A级基础达标练］

一、选择题

1.（2015・潍坊联考）若a<b<0,则下列不等式不能成立的是（)

1

C.|a|>|b|D.a>b2

［解析］取a=-2,b=-1,则六"成立•

［答案］A

2.设a,b是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是（)

A.a2<b2B.ab2<a2b

借<3

［解析］由a<b<0得a%?,知4不成立;

由a〈b,若ab<0,贝!］a'b>ab’，知6不成立;

若a=Lb=2,贝e=2,沁此时普〃不成立;

对于：亲一表=芋（°'；

3.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是（)

A.a>b+lB.a>b-l

C.a2>b2D.a>b3

［解析］若a>b成立，则a>b-l与a,b，都成立，故排除B、I）.若a%'成立，贝ija>b

不一定成立,故排除4选4

［答案］A

4.已知a,b,c,d均为实数，有下列命题:

c

则-

①若ab>0,be—ad>0,a40

②若ab>0>->0,则be—ad>0；

③若be—ad>0,^>0,则ab>0.

其中正确命题的个数是（）

40A1U23

[解析]Vab>0,be—ad>0,

.cdbe—ad

>0,・•.①正确;

**abab

.CdErbe-ad

•••ab>0,又&F>。，即匚1>0,

/.bc-ad>0,工②正确;

*/bc—ad>0,

又乙凯，即—>0,

abab

，ab>0,...③正确.

[答案]D

5.（2013•陕西高考）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有（）

A.[―x]=—[x]B.[2x]=2[x]

C.[x+y]W[x]+[y]D.[x—y]W[x]—[y]

[解析]对于4取x=1.5,

贝lj[—x]=[—L5]=—2,—[x]=—[1.5]=—1,

显然[—x]W—[x]；

对于5取x=1.5,则[2x]=[3]=3,

2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]#2[x]；

对于G取x=y=1.6,则[x+y]=[3.2]=3,

[x]+[y]=[1.6]+[1.6]=2,显然[x+y]>[x]+[y].

排除4B,C,只有选项〃满足.

[答案]D

二、填空题

Y

6.若60<x<84,28〈y<33,则x—y的取值范围是,，的取值范围是.

[解析]V-33<-y<-28,；.27<x-y<56,

..111.20x

.〈为〈一〈3.

33y2811y

[答案]（27,56）借，3）

7.（2015•德州模拟）若x>y,a>b,则在①a—x>b—y,②a+x>b+y,③ax>by,④x—

b＞y—a这四个式子中，恒成立的所有不等式的序号是

［解析］(特值法)令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件x>y,a>b.

Va-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,

Aa—x=b—y,因此①不成立.

XVax=­6,by=-6,

/.ax=by,因此③也不成立.

由不等式的性质可推出②④成立.

［答案］②④

8.已知a+b＞0,则的大小关系是------

［解析］汽＞衰

,,/I1、（a+b）（a-b）2

=-b）卜才-------花--------

Va+b>0,(a-b)2>0,

(a+b)(a—b)

20,

［答案］＞黑湾

三、解答题

9.（2015•山东省实验中学质检）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一

半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判

断谁先到教室？

［解］设从寝室到教室的路程为S,甲、乙两人的步行速率为V”跑步速率为V2,且V〈V"

甲所用的时间t川乙所用的时间t乙=二^，

2Vl2V22v1V2Vi十V2

・t甲S（V1+V2）xVl+v2（V1+V2）.V『+V22+2VN2〉4VN2］

•'t乙2VIV22S4VIV24VIV24VIV2,

•・・t甲＞0,t乙＞0,,・.t甲＞t乙，即乙先到教室.

10.若二次函数f（x）的图象关于y轴对称且IWf⑴W2,3Wf⑵W4,求f⑶的范围.

［解］设f（x）=ax"+c（aWO），

ff(2)-f(1)

f(1)=a+c,Ia3

f(2)=4a+c|4f(1)-f(2)

c=----------------

4f(1)-f(2)8f(2)-5f(1)

f(3)=9a+c=3f(2)-3f(l)-+

33

因为IWf⑴W2,3Wf(2)W4,

所以5W5f⑴W10,24W8f(2)W32,14W8f(2)—5f(1)W27,所以

o

8f(2)—5f(1)

W9,即?Wf(3)W9.

3o

［B级能力提升练］

1.若a>b>O,且**，则实数m的取值范围是

［解析］由条件知

ab+bm—ab-am(b—a)m、c

即>0,b(b+m)>0

b(b+m)

又"。，"a<。，.••扁四

解得一b〈m〈O.

［答案］(-b,0)

23

xx

2.(2015•日照调研)设x,y为实数，满足3Wxy?W8,4忘一49,则F的最大值是

yy

1l1

I342w8Ww

Xy8-3-

xy2

X2X4x3

•••4W-W9,，16WFW81,A2^-^27,

yyy

x3

故F的最大值是27.

y

［答案］27

c

3.已知函数f(x)=ax?+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求一的取值范围.

a

［解］］⑴=。，.*.a+b+c=O,

/.b=—(a+c).

|又a>b>c,

**.a>—(a+c)>c,即c>—2a且2c<-a,显然有a>0,c<0,

即i〉—i—£〉与

aaaa

-1,

Q1

解得_2勺〈一方

i>-2.

第二节一元二次不等式及其解法

［考纲传真］

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等

式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次

不等式，会设计求解的程序框图.

固基础・自主落实I理教材双基自测

1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

判别式△=b2—4ac△>0A=0

\)

AIxjL/

1数y=ax?+bx+c(a〉0)的图象T工4

Jxt=x2元

有两相等实根X1=X2=-J"

欠方程ax"+bx+c=O(a>0)的根有两相异实根Xi,X2(X1<X2)没有

/a

x2+bx+c>0(a>0)的解集{xX<Xi或X>X2){xxWxJ

ix+bx+c<0(a>0)的解集3〈尼｝0

2.用程序框图表示一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程

L(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打"X")

⑴若不等式ax^+bx+c”的解集为(x“X2),则必有a>0.()

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-8,xi)U3,+°°),则方程ax?+bx+c=O

的两个根是XI和X2.()

(3)若方程ax2+bx+c=0(aW0)没有实数根，则不等式ax'+bx+c〉。的解集为R.()

(4)不等式aV+bx+cWO在R上恒成立的条件是水0且4="一4acW0.()

［答案］⑴V(2)V(3)X(4)X

2.(教材改编)函数y=#-2x2+12x—18的定义域为()

A.0B.R

C.(-8,3］D.{3}

［解析］由-2^+12x782。得(矛一3)?W0,

所以x=3.

［答案］D

3.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(—8,—2)U(2,+°°)D.(—8,—1)u(1,+8)

［解析］由题意可得△=m?—4>0,

解得m>2,或m<—2.

［答案］C

4.设二次不等式ax'+bx+DO的解集为（一1,，，则ab的值为（）

A.-6B.-5C.6D,5

rbj

一—=-i+三，

1a3

［解析］由题意知，方程ax4bx+l=O的两根为-1,9贝惰〈解得

J11

『一叼

a=-3,

b=-2,

ab=6.

［答案］C

5.（2013•广东高考）不等式X2+X-2<0的解集为.

22

［解析］方程X+X-2=0的根为x,=-2,x2=l,故不等式X+X-2<0的解集为（一2,

1）.

［答案］（-2,1）

提知能・典例探究I析典例探求规律

考向］一元二次不等式的解法

fx'—1C0,

【典例1】（1）（2014•云南师范大学附属中学月考）不等式组z.八的解集是

X2-3X<0

()

A.{x|-1<X<1}B.{x|0<x<3}

C.{x10<x<l}D.{x|-Kx<3}

(2)解关于x的不等式ax'—(a+l)x+l<0(a>0).

x2<l,

［解析］（1）原不等式等价于

x(x—3)<0,

—Kx<l,

即，

0<x<3,

所以不等式的解集为0<x<l.

［答案］C

⑵当@=0时一，原不等式可化为一x+l<0,即x>l.

当a>0时，原不等式可化为(x—，k一1)<0,

①若0<水1,AKXA

②若a=L则;=1,.•.不等式无解.

③若a>l,1,

综上知，当。=0时;不等式的解集为｛x|x>l｝；

当0<a<l时，不等式的解集为］xKx<^；

当a=l时，不等式的解集为。；

当a〉l时，不等式的解集为卜［；

，【规律方法】

解含参数的一元二次不等式的步骤：

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一

次不等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式△与0的关系.

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而

确定解集形式.

【变式训练1］(1)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是｛xx〈一2或x>一，，

则ax2-bx+c>0的解集为.

(2)解关于x的不等式x"—2ax+320(a£R).

ib5

［解析］(D由题意知，方程a^+bx+c=0的两根为一2和一5,且水0所以一二=一5,

za乙

£=L

a

cbc

不等式ax—bx+c>0可转化为f—―>+一<0.

aa

51

因此V—左+1<0,解得5<水2,

故原不等式的解集为卜层耳

［答案］..水2)

(2)4=4，-12=4(，-3).

①当4W0,即一时，不等式的解集为R.

②当4>0,即或a<一时，方程/-2ax+3=0的两根为小=@+4系卫，xi=a

—yfif—3,且为>质.

x》a+.a'_B或a—7a°—3

综上知，当aX/5或水一/时，不等式的解集为{x|x2a+W—3或后a—，笄W}

当一/WaW/时，不等式的解集为R.

考向2一元二次不等式恒成立问题(高频考点)

命题视角一元二次不等式恒成立问题是高考重点考查内容，其主要命题角度：①形如

f(x)》O(xGR)确定参数的范围；②形如f(x)》O(xG[a,3)确定参数范围；③形如

/1(x)NO(参数叫e[a,8)确定x的范围.

【典例2]⑴若aWR,且对一切实数x都有af+ax+a+3>0,那么a的取值范围是

()

A.(0,+8)B.[0,+°°)

C.(—8,—4)D.(—8,—

4]U(0,+8)

(2)(2015•济南模拟)若不等式x+ax+1^0对一切xG(0,g都成立，则a的最小值

是.

[思路点拨](1)分a=0与a#0两种情况求解.

(2)法一：分离参数求解；法二：转化为求最值问题.

[解析](1)当a=0时，不等式化为3>0,满足题意.

a>0,(a>0,

当aWO时,，需满足《,即「

I4=才一4日%+3)<0,图+4a>0,

解得苏0.综上可知wNO.

(2)法一：由于x>0,则山已知可得a2一x一；在xG(0,1上恒成立，而当xG(0,1时，

5

Mmax2f

55

*,•—5，故a的最小值为一万.

法二：设/U)=x2+a*+l,则其对称轴为矛=一*

①若一阳，即aW—l时，F(x)在(0,3上单调递减，此时应有/缶0,从而一|wa

W-1.

②若一•0,即a>0时，/U)在(0,1上单调递增，此时应有『(0)=1〉0恒成立，故a〉0.

alfa\aaa

③若即一“Wo时，则应有,一j=7—5+1=1—720恒成立，故一

乙乙\乙)s乙q

KaWO.

55

综上可知心一会故a的最小值为一宗

［答案］(DB(2)-1

【通关锦囊】

一元二次不等式恒成立问题的解题方法：

(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区

间上全部在不轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在X轴下方，

若限制在某个区间上恒成立，则先求出这个区间上的最值,再转化为关于最值的不等式问题.

(2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般

地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法时，常用到函

数单调性、基本不等式等.

【变式训练2】(1)(2014•东城区高三第二学期质量调研)设aGR,若x>0时均有［(a

—1)^—1］(x—ax—1)>0,则a=..

(2)对任意aC［-1,1］,函数/'(x)+(a—4)x+4—2a的值恒大于零，求x的取值

范围.

［解析］(1)由题意知函数K=(a—yz=x-ax—\的图象都过定点〃(0,—

1).函数%—(a—l)•x-l的图象过1，0)

，如图所示，要使不等式成立，需

并且函数必一岁一@矛—1的图象过点«夕7，。)，得0—J)a*1,化

y

简得2才-3a=0,

a=0或5・综上可知，<3=|.

［答案］楙

⑵由f(x)=/+(8一4)x+4—2a=(x—2)3+第一4x+4,令g(a)=(x—2)4x+

由题意知在［-1,1］上，g(a)的值恒大于零,

g(—1)=(x—2)