2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）

2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）（2016秋•黄山期末）已知椭圆C：胃+，=l（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2=

4Kx的焦点重合，长轴长等于圆15=0的半径，则椭圆C的方程为（）

x2y2x2y2

A.-4--=1B.—+—=1

431612

x2x2y2

C.—+y2?=iD.—+—=1

4,164

2.（5分）（2016•新课标I）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知〃=聪,

c=2,cosA=可则b=（）

A.V2B.V3C.2D.3

3（5分）（2017•新课标I）记S〃为等差数列｛斯｝的前〃项和.若44+〃5=24,56=48,则

｛如｝的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

4.（5分）（2016秋•安徽期末）已知命题p：VJIG（0,+8）,3x-cosx>0,则下列叙述正

确的是（）

A.「p：VxG（0,+8）,3*-cosxWO

B.「p：BxE（0,+8）,3%-cosx<0

C.3x6（-8,0],3X-cosx^O

D.「〃是假命题

219

5.（5分）（2012春•黄冈期末）函数）=r法（x>l）的最小值是（）

A.2V3+2B.2V3-2C.273D.2

6.（5分）（2017秋•金安区校级期末）“双曲线渐近线方程为y=±2r”是"双曲线方程为

/一?=入（入为常数且入W0）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（5分）（2017秋•金安区校级期末）已知点0、A、B、C为空间不共面的四点，且向量

a=OA+OB+OC,向量]=OA+OB-OC,则与2、己不能构成空间基底的向量是（）

&或兀

A.OAB.OBc.ocD.

8.（5分）（2016秋•桐城市期末）已知抛物线C：7=2），的焦点为F,A（x（）,>>（））是C上

一点，|A/n=|yo，则即=（）

A.1B.-1或1C.2D.-2或2

%2y2

9.（5分）（2010•江苏模拟）椭圆一+—=1上的点到直线x+2y-&=0的最大距离是

164

（）

A.3B.VTTC.2V2D.V10

10.（5分）（2017秋•金安区校级期末）在三棱锥P-A8C中,ABL8C,48=BC=PA=&,

点O,D分别是AC,PC的中点，OP_L平面ABC,则直线0D与平面PBC所成角的正

弦值为（）

11.（5分）（2017秋•金安区校级期末）过抛物线『=2px（p>0）的焦点F作不与坐标轴

垂直的直线，交抛物线于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点4,若明川=20,

则尸（）

A.10B.8C.6D.4

x2y2

12.（5分）（2018•衡阳二模）设双曲线"-三=l（a>0,b>0）的右顶点为A,右焦点为

F（c,0）,弦尸。的过尸且垂直于x轴，过点P,。分别作直线AP,AQ的垂线，两垂

线交于点3,若8到直线PQ的距离小于2（a+c）,则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,V3）B.（V3,+8）C.（0,V3）D.（2,V3）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

0%2

13.（5分）（2017秋•金安区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x=5与双曲线工•-

/3

y2=1的两条渐近线分别交于点P,Q，双曲线的左，右焦点分别是Fi，Fi，则四边形

FiPFiQ的面积是.

14.（5分）（2017秋•金安区校级期末）正方体A8C£>-AIBICQI的棱长为1,E,F分别为

BB\,C£>的中点，则点尸到平面A1QE的距离为.

15.（5分）（2017秋•金安区校级期末）若对任意xWR,不等式（a2-1）?-（a-1）x-1

<0恒成立，则实数“值范围是.

x2y2

16.（5分）（2017秋•金安区校级期末）设户为椭圆一+—=1的右焦点，且椭圆上至少

16988

有10个不同的点Pi（i=l,2,3……）,使尸尸i|,IFP2I，m，……组成公差为d的等

差数列，则d的取值范围是.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

x2y2

17.（10分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆=1的长轴两端点为双曲线E的

94

3

焦点，且双曲线E的离心率为一.

2

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）若斜率为1的直线/交双曲线E于A,8两点，线段AB的中点的横坐标为4vL求

直线/的方程.

18.（12分）（2017秋•金安区校级期末）直三棱柱ABC-ASC中，底面ABC是边长为2

的正三角形，。'是棱4。的中点，且44'=2V2.

（1）若点M为棱CC的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若点M在棱CC上，且平面A8D,求线段CM的长.

Xv

19.（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆于+卷=1（a>b>0）的左、右焦点分

a2b2

别为Q（-3,0）,Fi（3,0）,直线y=丘与椭圆交于4、B两点.

（I）若三角形AB尸2的周长为4百+6,求椭圆的标准方程;

（1【）若因〉辛，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围.

20.（12分）（2017秋•金安区校级期末）如图，在三棱台OEF-ABC中，AB=2DE,CF1.

平面ABC,AB1BC,/BAC=45°,CF=DE,G,"分别为4C,8c的中点.

（1）求证：B£>〃平面尸GH；

（2）求平面尸GH与平面ACFD所成角（锐角）的大小.

21.（12分）（2017秋•金安区校级期末）平面内一动圆P（P在〉轴右侧）与圆（x-1）2+/

=1外切，且与y轴相切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；

（2）已知动直线/过点例（4,0）,交轨迹C于A,8两点，坐标原点。为的中点，

求证：/ANM=/BNM.

22.（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆C：y+^=1,上顶点为M,焦点为

F\,尸2,点A,8是椭圆C上异于点M的不同的两点，且满足直线MA与直线MB斜率

1

之积为二.

（1）若P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PFIF'2面积的最大值；

（2）试判断直线A8是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）（2016秋•黄山期末）已知椭圆C：盘+'=l（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2=

4gx的焦点重合，长轴长等于圆/+/-2%-15=0的半径，则椭圆C的方程为（）

x2y2x2y2

A.—+-=1B.—+—=1

431612

x2x2y2

C.—+y?=1D.—+—=1

4,164

【考点】K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质.

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方

程.

【分析】求出抛物线的焦点坐标，圆的半径，然后求解椭圆的小b,即可得到椭圆方程.

【解答】解：椭圆C：盘+，=l（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2=4信的焦点重合，

可得c=V3,

长轴长等于圆/+/-2冗-15=0的半径，。=2,则6=1,

%2

所求椭圆方程为：一+y2=1.

4

故选：C.

【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查

计算能力.

2.（5分）（2016•新课标1）ZXABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c.已知”=遍,

c=2,cosA=于则b=（）

A.V2B.V3C.2D.3

【考点】HR：余弦定理.

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形.

【分析】由余弦定理可得cosA="室利用已知整理可得3层-防-3=0,从而解

得。的值.

【解答】解：。=遍，c=2,cosA=I，

・,・由余弦定理可得：cosA=看=史隽©=爱芳，整理可得：3/-8〃-3=0,

«5£1uCZXDXZ

解得：6=3或一/（舍去）.

故选：D.

【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了

计算能力和转化思想，属于基础题.

3.（5分）（2017•新课标I）记S”为等差数列｛为｝的前〃项和.若04+。5=24,S6=48,则

｛斯｝的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和.

【专题】11：计算题；34：方程思想；40：定义法；54：等差数列与等比数列.

【分析】利用等差数列通项公式及前〃项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能

求出｛斯｝的公差.

【解答】解：为等差数列｛斯｝的前〃项和，“4+45=24,56=48,

+3d+a1+4d=24

••',6x5」dc，

6alH—2-d=48

解得a\=-2,d=4,

二｛斯｝的公差为4.

故选：C.

【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等

差数列的性质的合理运用.

4.（5分）（2016秋•安徽期末）已知命题p：VxG（0,+8）,3X-cosx>0,则下列叙述正

确的是（）

A.「p：VxG（0>+8）,3*-cosxWO

B.—'p：3x6（0,+8）,2>x-cosx<0

C.~~'/?：SAG（-°°,0],3'-cosxWO

D.-'p是假命题

【考点】2J：命题的否定；2K：命题的真假判断与应用.

【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑.

【分析】根据已知中原命题，写出命题的否定，并判断其真假，可得答案.

【解答】解：•.,命题p：Vxe（0,+8）,3X-cosx>0,

二命题p为:3.rG（0,+<»）,3*-cosxW0；

当x>0时，3X>1,-iWcosxWl,

3X-cosx>0.

故P是真命题，即Y是假命题.

故选：D.

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，分类讨论

思想，难度中档.

5.（5分）（2012春•黄冈期末）函数），=《¥（x>l）的最小值是（）

J%—1

A.2V3+2B.273-2C.2A/3D.2

【考点】3H：函数的最值及其几何意义.

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用.

【分析】先将函数变形可得>=署=5-1）+等+2,再利用基本不等式可得结论.

【解答】解：产学牛=（x-1）+分+2

Jx—1x-1

Vx>l,Z.x-1>0

（x-1）+^->273（当且仅当X=V5+1时，取等号）

%2+2।-

二尸注>2V3+2

故选：A.

【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题.

6.（5分）（2017秋•金安区校级期末）“双曲线渐近线方程为y=±2x”是"双曲线方程为

/一?=入（入为常数且入W0）”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑.

【分析】根据双曲线渐近线方程求出m人的关系，得到双曲线的方程即可.

【解答】解：双曲线渐近线方程为y=±2x,

即Z?=2a,或a=2。,

故双曲线方程为一-9=入（入为常数且入W0）,

是充要条件，

故选：C.

【点评】本题考查了双曲线的方程问题，考查渐近线方程，是一道基础题.

7.（5分）（2017秋•金安区校级期末）己知点。、A、B、C为空间不共面的四点，且向量

a=0A+0B+0C,向量I=0A+0B-0C,则与2%不能构成空间基底的向量是（）

A.0AB.OBC.0CD.（£1或防

【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】5H：空间向量及应用.

【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.

【解答】解："/0C=1（a-b）=1（0A+0B+0C）（OA+OB-OC）,

.•.民与入1不能构成空间基底；

故选：C.

【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题

的关键.

8.（5分）（2016秋•桐城市期末）已知抛物线C：/=2y的焦点为尸，4（xo,yo）是C上

一点，|AF|=*yo，则x（）=（）

A.1B.-1或1C.2D.-2或2

【考点】K8：抛物线的性质.

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定

义、性质与方程.

【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用A（xo,yo）是C上一点，\AF]=ly0,列出方程

化简求解即可.

【解答】解：抛物线C：/=2y的焦点为尸（0,1）,A（刈，和）是C上一点，|AF]=*yo，

22

可得：J（x0-0）+（y0-1）=|y0>

22

可得与2+y0-y（）+1=||y0-

即y02+yo+/=会Vo）,解得和=2,

可得xo=±2.

故选：D.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

-V

9.（5分）（2010•江苏模拟）椭圆区+\=1上的点到直线x+2y—&=0的最大距离是

（）

A.3B.VilC.2^2D.V10

【考点】IT：点到直线的距离公式；KH：直线与圆锥曲线的综合.

【专题】11：计算题.

比2y2

【分析】设椭圆暮+7=1上的点尸（4cos。，2sin0）,由点到直线x+2y-娥=0的距

离公式，计算可得答案.

X2V2

【解答】解：设椭圆77+—=1上的点P（4COS0,2sin0）

164

则点P到直线x+2y-V2=0的距离

|4cos0+4sin。-四_|4>/2stn（0+^）—/2|j_|-4-/2-/2|_寸

仁店二75max=-75-=V；

故选：D.

【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解.

10.（5分）（2017秋•金安区校级期末）在三棱锥P-ABC中_LBC,AB=BC=PA=g

点0,D分别是AC,PC的中点,。尸_L平面ABC,则直线OD与平面P8C所成角的正

弦值为（）

B

【考点】MI：直线与平面所成的角.

【专题】38：对应思想；44：数形结合法；5G：空间角.

【分析】取8c中点E,连接PE,则平面POE,作OFLPE于F,连接DF,得到

OFJ_平面尸8C,可得/0Z）尸是0D与平面PBC所成的角.然后求解三角形得答案.

【解答】解：'."ABA-BC,OA=OC,：.OA=OB=OC,

又,。尸"L平面ABC

:.PA=PB=PC.

取8c中点E,连接PE,贝I8C_L平面POE,

作OFLPE于F,连接DF,则OFJL平面PBC.

：.NODF是OD与平面PBC所成的角.

'：AB=BC=PA=V2,，PO=1,

在RtZsPOC中，。是PC的中点，PC=V2,：.0D二号,

J2

在RtZ\POE中，0E=号,PE=4,0F=

Z乙ICVo□

T

O,旦q

在Rt^OO尸中，sinZODF=^=^-=^.

T

直线OD与平面PBC所成角的正弦值为彳V6■.

故选：C.

【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题.

11.（5分）（2017秋•金安区校级期末）过抛物线）2=2px（p>0）的焦点/作不与坐标轴

垂直的直线，交抛物线于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H,若IMM=20,

则|尸”|=()

A.10B.8C.6D.4

【考点】K8：抛物线的性质.

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】设M（xi，“），N（冷，”），代入抛物线的方程，作差，结合直线的斜率公式

和中点坐标公式，求得MN的斜率，求MN的垂直平分线方程，求出MN的垂直平分线

交x轴于4的坐标，进而求得即可得出结论.

【解答】解：设M（xi,yi）,N（必）2）,

抛物线f=2px（p>0）的焦点F（p0）,

弦MN的中点为K（xo,加），

y\=2px\,yi=2px2，

相减可得（yi-”）（yi+”）=2p（xi-&），

可得则kMN=-?=S，

xi-x2力+丫2y。

的垂直平分线为y-y（）=-意（x-x（））f

令y=0,则助=即+〃，

/.\HF\=XQ-\-}

*?\MN\=xi+x2+p=2xo+p,

：.\HF\=3MM=10,

故选：A.

【点评】本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，注意点差法的运用，考查学生

的计算能力，属于中档题..

x2y2

12.（5分）（2018•衡阳二模）设双曲线丁-77=l（a>0,b>0）的右顶点为A,右焦点为

F（c,0）,弦PQ的过尸且垂直于x轴，过点尸，。分别作直线AP,A。的垂线，两垂

线交于点B,若B到直线PQ的距离小于2（a+c）,则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,V3）B.（V3,+8）C.（0,V3）D.（2,V3）

【考点】KM：直线与双曲线的综合.

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求出直线BQ的方程，令y=0,可得8的坐标，利用B到直线PQ的距离小于

2（a+c）,得出a,c•的关系，即可求出该双曲线离心率的取值范围.

22

bb仁

【解答】解：由题意，B在x轴上，P（c,—）,Q（a*,•

aaa~c

..a2-ac

••KQP=7>

直线BP的方程为），一（=—今井（x-c）,

,4

令产°,可得x=在3+C,

・・・8到直线PQ的距离小于2（a+c）,

,4

•••—n-----<^2（q+c）,

Q气a-c）

.*./?<V2a,

**.c<V3a,

：.e<y/3f

Ve>l,

AlVe<V3,

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程的求解，考查学生分析解决问题

的能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）（2017秋•金安区校级期末）在平面直角坐标系xQy中，直线x=*与双曲线三■-

y2=1的两条渐近线分别交于点P,Q,双曲线的左，右焦点分别是Fi，F2,则四边形

F\PFzQ的面积是，遮

【考点】KC：双曲线的性质.

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求出双曲线的渐近线方程，得到P,Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形

的面积.

%2______

【解答】解：双曲线三一、2=1的〃=百，b=l,C=V3+1=2,

直线％=3与双曲线77-y2=1的两条渐近线>=土不联立，

/33

3V33、尺

解得P（5,Q（5，一詈），F1（-2,0）.F1（2,0）,

1

则四边形F1PF2Q的面积是5x4xV3=2V3.

故答案为：2

【点评】本题考查双曲线的简单性质，主要是渐近线方程，考查计算能力，属于基础题.

14.（5分）（2017秋•金安区校级期末）正方体A8CO-481C1O1的棱长为1,E,F分别为

V5

BB\,CO的中点，则点尸到平面的距离为二；.

【考点】MK：点、线、面间的距离计算.

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法：5F：空间位置关系与距离.

【分析】以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角系，利用向

量法能求出点F到平面A\D\E的距离.

【解答】解：以。为原点，D4为x轴，DC为），轴，。。为z轴，建立空间直角系，

1

1-O

A](1,0,1),D\(0,0,1),E(1,1,-),F(0,2

2

TT1T11

。送1=(1,0,0),DrE=(I,I,-p,EF=(-1,一分

设平面4。班的法向量九=(x,y,z),

71,D-yy4i—X—0—>

.±1，取y=l,得九=(0,1,2),

n•DE=%+y-]Z=0

(r

t—1r~

点F到平面A\D\E的距离为d=且型=诰=祭

【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法

的合理运用.

15.（5分）（2017秋•金安区校级期末）若对任意X6R,不等式（/_|）/-（«-1）x-1

V0恒成立，则实数。成范围是（一|，1]..

【考点】3R：函数恒成立问题.

【专题】II：计算题：33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及

应用.

【分析】根据二次函数的性质，通过a是否为1,可得不等式id-1）7-（a-1）x-

1<0恒成立时，a的取值范围.

【解答】解对于任意的X6R,不等式（J-1）（a-1）x-1<0恒成立

当”=1时，-ICO恒成立；

当仔一1VO2

时=尤（—百，I）。

[△=(a-I)2+4(a2-1)<0

综上：实数。值范围是（一|,1].

给答案为：（一。，1].

【点评】本题考查二次函数的图象和性质的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想

的应用.

x2y2

16.（5分）（2017秋•金安区校级期末）设F为椭圆——+—=1的右焦点，且椭圆上至少

16988

有10个不同的点点册=1,2,3……）,使下Pi|,\FP2\,\FP3\,……组成公差为“的等

差数列，则4的取值范围是1-2,0）U（0,21.

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等

比数列.

【分析】若这个等差数列是增数列，ai2|FPi|=4,aioW|FPio|=22；若这个等差数列是

减数列，则aW|FPi|=22,aio>|FPio|=4,由此可求出d的取值范围.

【解答】解：若这个等差数列是增数列,则ai冽产解|=13-9=4,aioW|FPio|=13+9=

22,

'.a\Q=a\+\Od,/.O<tzio_a\(13+9)-(13-9)=2,

解得0<d<2

若这个等差数列是减数列，则aiW|FPi|=13+9=22,aio>|FPio|=13-9=4,

：.aio^ai+9d,；.0>«10-ai(13-9)-(13+9)=-2,

解得-2Wd<0.

二”的取值范围为L2,0)U(0,2].

故答案为：[-2,0)U(0,2].

【点评】本题以椭圆知识为载体考查数列知识，考查发现问题解决问题的能力.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

x2y2

17.(10分)(2017秋•金安区校级期末)已知椭圆一+-=1的长轴两端点为双曲线后的

94

3

焦点，且双曲线E的离心率为3

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若斜率为1的直线/交双曲线E于A,B两点，线段48的中点的横坐标为4vL求

直线/的方程.

【考点】K4：椭圆的性质；KM：直线与双曲线的综合.

【专题】11：计算题：35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(1)利用椭圆的顶点坐标求出双曲线E的焦点坐标，然后求解双曲线标准方程；

(2)设出斜率为1的直线/的方程与双曲线E联立，利用韦达定理结合线段AB的中点

的横坐标为4vL即可求直线/的方程.

【解答】解：(1)椭圆町+乙二1的长轴两端点为(±3,0),得c=3,

94

&%2y2

又e=J=看得a=2,.•.y=c2-J=5..•.双曲线后的方程为一一2=i.

仅2y2

(2)设直线/的方程为y=x+f,由次一至=1得/-8fx-4(r+5)=0,

(y=x+1

.,.△=80(Al)>0,Xi+x2=8t=8V2,At=V2.直线方程为x-y+鱼=0.

【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，

考查转化思想以及计算能力.

18.(12分)(2017秋•金安区校级期末)直三棱柱中，底面ABC是边长为2

的正三角形，。'是棱4c的中点，且44'=271

(1)若点M为棱CC的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

(2)若点M在棱CC上，且平面A8D,求线段CM的长.

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直.

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5H：

空间向量及应用.

【分析】(1)取AC边中点为0,由题意可得OO」AC,OD'lOB,以。为坐标原点，

为x轴，0C为)，轴，为z轴建立空间直角坐标系，若M为CC的中点，则可求

—>

M(0,1,V2),BM=(-V3,1,V2),AB/=(遮，1,2或)，设异面直线A?与BM

所成的角为e,利用向量数量积的运行即可计算得解.

(2)设M(0,1,t),则由_LA。，A'M±AB,,可得

"M•y=0+2+(t-2近)•2也=0,进而解得AM,平面AB。时CM的值.

4M-AB'=0+2+(<t-2V2)-2V2=0

【解答】解：取4C边中点为O,

；底面ABC是边长为2的正三角形，

.•.OBLAC连接OD',

•.,。是边AC的中点，

：.OD'±AC,0D'±0B,

以0为坐标原点，02为x轴，OC为y轴，0。为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则0(0,0,0),A(0,-1,0),5(V3,0,0),C(0,1,0),B/(遮，0,2V2),A

(0,-1,2A/2),D'(0,0,2V2),Cz(0,1,2V2),

(1)若M为CC的中点，则M(0,1,V2),BM=(-V3,1,%AB'=(6，1,2夜),

2

设异面直线49与8M所成的角为6,贝ijcos。=\cos<AB',BM>\

区2遮一飞'

所以异面直线与8例所成的角得余弦值为座,

6

(2)设例(0,1,/),则力'M=(0,2,C-2V2),AD'=(0,1,2鱼)，ABz=

(遮，1,2A/2),

若A'M_L平面ABTX,则由4M_LAD,A'M±AB',

(TT

.“M•m=0+2+(t-2A/2)-2V2=0

,•]-»，

4M•49=0+2+(t-2V2)-2^2=0

可-r妨得：t=g3A/-2，

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直，异面直线及其所成的角，解题的关键是建立

空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决问题，考查了数形结合思想的应用，属于中

档题.

X2y2

19.（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆丁+77=1的左、右焦点分

a2b2

别为Fl（-3,0）,F2（3,0）,直线y=去与椭圆交于A、B两点.

（I）若三角形4F|F2的周长为4百+6,求椭圆的标准方程；

（II）若因〉乎，且以4B为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围.

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】34：方程思想；35：转化思想；44：数形结合法；5E：圆锥曲线中的最值与范

围问题.

c=3

【分析】（1）由题意得2a+2c=6+48，解出即可得出.

（a2=b2+c2

222

（II）由,Q2J2，化为（U+JF）x-cib=0.设A（xi，yi）,B（%2»”）.由

（y=kx

AF2±BF2,可得&・F；8=0,再利用根与系数的关系化简整理即可得出.

c=3

【解答】解：(I)由题意得2Q+2c=6+4k，解得〃2=12,力2=3.

a2=b2+c2

x2y2

・・・椭圆的方程为二；+—=1-

123

(乃比=

(II)由1次后,化为(序+a2b/-〃2b2=0.

(y=kx

设A(xi，yi),B(X2，”).

—a2b2

**.X|+X2=0,X\X2=

b2+a2k2'

易知，AF2LBF2,

F2A=(xi-3,y\),F2B=(X2-3,”)，

T—»

C.F2A*F2B=(xi-3)(X2-3)+yi”

=(1+必)XIX2-3(X1+X2)+9=(1+F)X1X2+9=O.

-a2(a2-9)(l+Zc2)

+9=0,

(a2-9)+a2/c2

将其整理为左二笔需181

a4—18a2,

；1川>3，，12<。2<18,

解得2b<a<3V2,

••禺心率—<eV—.

22

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的

关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

20.（12分）（2017秋•金安区校级期末）如图，在三棱台。EF-A8C中，AB=2DE,CF1.

平面ABC,ABYBC,ZBAC=45°,CF=DE,G,”分别为AC,BC的中点.

（1）求证：8D//平面FGH；

（2）求平面FGH与平面4CFD所成角（锐角）的大小.

【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法.

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空

间角.

【分析】(1)连接OG,DC,设。C与G尸交于点T.证明四边形。GCF是平行四边形，

DG//FC.TH//DB,然后证明BO〃平面FG”

(2)以点G为坐标原点，GA,GB,GC所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，设A8=2,求出相关点的坐标；求出平面ACF。的一个法向量，平面FGH的法向

量，然后求解平面FGH与平面AC7T)所成角(锐角)的大小.

【解答】解：(1)证明：连接£>G,DC,设0c与G尸交于点7.在三棱台。EF-A8C

中，AB=2DE,则AC=2OF,

而G是AC的中点，DF//AC,则DFIIGC,所以四边形。GCF是平行四边形，T是。C

的中点，DG//FC.

又在△BOC中，，是8c的中点，则77/〃08,

又BOC平面FGH,THu平面FGH,

故80〃平面FGH

(2)解：由CF_L平面ABC,可得。G_L平面ABC,

又4B_L8C,ZBAC=45°,则G8_LAC,于是GB,GA,GC两两垂直，

以点G为坐标原点，GA,GB,GC所在的直线分别为x,»z轴建立空间直角坐标系，

设48=2,则OE=CF=1,AC=272,AG=V2,B(&,0,0),C(0,VL0),D(0,

0,1),F(0,V2,1),H(孝，孝，0)

平面AC/7)的一个法向量为元=(0,1,0),

设平面FGH的法向量为信(%2,32,Z2)，则卜29=°,即倍亚+历2=0,

,n2-GF=0VV2y2+z2=0

取X2=l，则”=-l,Z2=&,信=(1,-1,V2),cos有，n2)=\

Jl+1+2/

故平面FG"与平面ACFZ)所成角(锐角)的大小为60°.

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力以及计算能力.

21.(12分)(2017秋•金安区校级期末)平面内一动圆P(P在)，轴右侧)与圆(x-I)2+)?

=1外切，且与y轴相切.

(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；

(2)已知动直线/过点M(4,0),交轨迹C于A,8两点，坐标原点。为MN的中点，

求证：NANM=NBNM.

【考点】J3：轨迹方程.

【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(1)设圆心P,根据动圆P与圆(x-1)2+/=1外切，且与)，轴相切.建立关

系可得轨迹C的方程

(2)设而不求的思想，结合韦达定理即可证明.

【解答】解：(1)设尸(x,y)(x>0),则—I]+y2=%+i,y2—4x