不等式的性质教案1 人教课标版

《不等式的性质》教案

课题：不等式的楼层（）

教学目的：

.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；

.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小.

教学重点：比较两实数大小.

教学难点：差值比较法：作差一变形一判断差值的符号.

授课类型：新授课

课时安排：课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引入：

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表

现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相

对的.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小

的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因

此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系.

生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢？

转化为数学问题：克糖水中含有克糖（>>）,若再加（力克糖，则糖水更甜了，为什么？

分析：起初的糖水浓度为yh,加入克糖后的糖水浓度为h^—+in只要证b匕+m一b即可.怎

aa+ma+ma

么证呢？引人课题.

二、讲解新课：

.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式.

说明：（）不等号的种类：>、<、》（在）、W（左）、W.

（）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）

（）不等式研究的范围是实数集.

.判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数、，在〈三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充

要条件是：

a>boa-b>（）

a=b=a—b=0

a<b<^>a-b<0

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同

一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了.

三、讲解范例：

例比较（+）（—5）与（+）（-）的大小.

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展

开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无

关紧要）.并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.把比较两个实数大小的问题转

化为实数运算符号问题.

本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项.

解：由题意可知：

(+)(-5)-(+)(-)

=(——5)-(——8)

=一7<

(+)(-5)<(+)(-)

例已知W,比较(+)与++的大小.

分析：此题与例基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的有一定的限制，应

该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.

本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.

解：由题意可知：

(+)-(++)

=(++)-(++)

=+-|---------

,/丰：.>

(+)—(++)>

(+)>++.

例引伸：在例中，如果没有#这个条件，那么两式的大小关系如何？

在例中，如果没有W这个条件，那么意味着可以全取实数，在解决问题时，应分=和会

两种情况进行讨论，即：

当=时，(+)=++

当#时，(+)>++

此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记

代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写.

得出结论：例，例是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差一一变

形一一判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，

在此无关紧要.

h+nih

例已知>>,>,试比较仁丝与匕的大小.

a+ma

b+mbab+am-ab-bmm(a-b)

解：---------=------------------=---------

a+maa(a+m)a(a+m)

V»,>,>

.m(a—b)b+mb

：.----------->0n..-------->—.

a(a+ni)a+ma

从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵.

例比较与0的大小.

解：()

()0()0

0()

=()[()()()]

0()

2

<0(当且仅当=时取等号)

•••>().

说明：“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”

的常用方法.

例已知〉，且不,比较上X与的大小.

y

解：2_i=q

yy

,/>,/.>

当〈时，二二2<,即土<

yy

当〉时，'二上>,即日>.

yy

说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论.

四、课堂练习：

.在以下各题的横线处适当的不等号：

()(V3+V2)6+V6；

()(V3-V2)(V6-)；

()------...——•

V5-2V6-V5，

。当>>时，।]

22

答案：()<()<()<()<

.选择题

若V,一<<,则有()

.>>.>>.>>.>>

分析：利用作差比较法判断，，的大小即可.

,/<,-<<

,—V,—>><<,一>

(-)>=>>

一=(―)>=>

—=(—)<=><

故>>•

答案：

.比较大小：

()(+5)(+7)与(+6)；

解：()(+5)(+7)-(+6)

=(++5)-(++6)

=-<

A(+5)(+7)<(+6)

()解法一：(作差法)

,1,1

§g22

1_1_32=lg3lg2=lg3-lg2

”j111-lg2lg3-1g21g3

23

_(lg3+lg2)(lg3-lg2)>

lg21g3

12，313/2

解法二：(中介法，常以“一,,”作中介)

•函数=]和=]在(，+8)上是减函数且

II23

1111

・・[—>[-=，1-V]—=

1223-23-2-33

•如果〉，比较(五一)与(J7+)的大小.

解：(y/x—)—(y[~X+)

=[(y[x—)+(Vx+)][(>!~X—)—(Vx+)

或[(—«+)—(+4+)]=—Vx

>:.网>：.-4x<

/.(Vx—)V(y/~X+)

•已知工,比较(+J5+)(—+)与(++)•(—F)的大小.

解：(++)(—V2+)—(++)(—F)

=[(+)-(V2)]-[(+)-]=—

■:丰,：.>：.-<

故（+/+）（-V2+）<（++）（-+）.

五、小结：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了

如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式.

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论.

第三步：得出结论.

在某些特殊情况下（如两数均为正，且作商后易于化简）还可考虑运用作商法比较大小.它与作差

法的区别在于第二步，作商法是判断商值与的大小关系.

六、课后作业：

2x+4y=l,比较％2+卜2与_!_的大小

解：x=^yx^+f-±……

.比较。与0的大小（<。<兀）

解:0-00（-0）

当Oe（K）时。（一。）20》。

当0e（7ui）时o（-o）<e<e

.设”>0且awl,Z>0,比较glog“f与log“的大小

解：山一〃=正以0...U"

222

当a>1时glogJWlog„合；当0<a<1时Jog,/》log。?

・设。>0且aHl,比较10g（/+1）与log^Y+l）的大小

解：（a3+i）_（a2+］）=a2（a_D

2

当0<a<1时/+1</+1log,4/+l)>logfl(a+1)

32

当。>1时a，+1>a?+1iog“(a+1)>logu(o+1)

3

总有log(((a+1)>log“(a2+1)

七、板书设计(略)

八、课后记：

课题：不等式的佟星()

教学目的:

.理解同向不等式，异向不等式概念；

.理解不等式的性质定理一及其证明；

.理解证明不等式的逻辑推理方法.

.通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯.

教学重点：掌握不等式性质定理、、及推论，注意每个定理的条件.

教学难点：.理解定理、定理的证明，即“>o<和>,>=>”的证明.这两个定理证明的

依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则.

.定理的推论，即“>,>n+>+”是同向不等式相加法则的依据.但两个同向不等式的

两边分别相减时，就不能得出一般结论.

授课类型：新授课

课时安排：课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学方法：

引导启发结合法一一即在教师引导下，由学生利用己学过的有关知识，顺利完成定理的

证明过程及定理的简单应用.

教学过程：

一、复习引入：

.判断两个实数大小的充要条件是：

a>hoa-h>0

a=h<^>a—b=0

a<ba-b<0

.()如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么？

()如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么？

从而引出不等式的性质及其证明方法.

二、讲解新课：

.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：>,>,是同向不等式.异向不等式:

两个不等号方向相反的不等式.例如：>,<,是异向不等式.

.不等式的性质：

定理：如果〉，那么<,如果<,那么>.(对称性)

即：>=<；<=>

证明：

由正数的相反数是负数，得()<

即</.<(定理的后半部分略).

点评：可能个别学生认为定理没有必要证明，那么问题：若〉，则上和‘谁大？根据

ab

学生的错误来说明证明的必要性.”实数、的大小”与“与零的关系”是证明不等式性质

的基础，本定理也称不等式的对称性.

定理：如果〉，且〉，那么>.(传递性)

即>，>=>

证明：：>,>.*.>>>

根据两个正数的和仍是正数，得

()()>即>

/.>

根据定理，定理还可以表示为：<,<=><

点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到个的情形.

定理:如果〉，那么〉.

即〉=>>

证明：•••>,

.,.()()>即〉

点评：()定理的逆命题也成立；

()利用定理可以得出：如果〉，那么〉，也就是说，不等式中任何一项改变符号

后，可以把它从一边移到另一边.

推论：如果〉，且〉，那么>.(相加法则)

即〉，>=».

证法一：

a>b=>a+c>b+c

?=>>

c>d^>b+c>h+d

证法二：

a>b=>a-b>0]

>=>a—b+c—d>0=>>

c>d=>c-d>0

点评：()这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，BP：两个或者更多

个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

O两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；

三、讲解范例：

例已知〉，<,求证：>.(相减法则)

分析：思路一：证明“一>一"，实际是根据已知条件比较一与一的大小，所以以实数的

运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最

后达到证题目的.

证法一：V>,<

v->,->

(-)-(-)

=(-)+(-)>(两个正数的和仍为正数)

故一〉一.

思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理〜定理及推论，所以运用不等式的性质，加

以变形，最后达到证明目的.

证法二：—>一

又；〉

；.+(-)>+(-)

四、课堂练习：

.判断下列命题的真假，并说明理由：

()如果〉，那么一>一；

()如果〉，那么巴>2.

CC

分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真.

答案：0真.因为推理符号定理.

（）假.由不等式的基本性质，（初中）可知，当〈时，巴<2.即不等式两边同乘以一个数，

CC

必须明确这个数的正负.

.回答下列问题：

（）如果〉，>,能否断定+与+谁大谁小?举例说明；

（）如果>，〉,能否断定一与一谁大谁小?举例说明.

答案：（）不能断定•例如：>»v=+v+；而〉，-V—・8=—>一・8.异向不等式作

加法没定论.

（）不能断定.例如>，=>=—=—=—,+=—,其大小不定・=8>=时一=6>+=

•而=>=时一=<+=・

.求证：（）如果,，>,那么一>一；

（）如果〉，那么一V一・

a>b=>a-d>b-d

证明：6c>dn-c>=a-d>b-c.

=b—c<b—d

.已和>>>>,且@=£,求证：+>+.

bd

证明：=£

bd

.a-bc-d

..------=--------

bd

（一）—（一）.

又•.•>>>>

_b

—>,—>,>>且一>

d

—>一即+>+.

评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速.这道

题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，

也要重视比例定理的应用技巧.

五、小结：本节课我们学习了不等式的性质定理〜定理及其推论，理解不等式性质的反对称

性（>o<=、传递性（>,>=>）、可加性（>=>+>+）、加法法则（>,>=>+>+）,

并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途

及其证明的基本方法.

六、课后作业：

.如果求不等式同时成立的条件.

ab

—1__1—_b