近十年高考数学全国卷2试题及解析

普通高等学校招生全国统一考试T

数学(理工农医类)

第I卷(选择题共60分)

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科•目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡--并收回.

参考公式：

三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式

sinacos/?=g[sin(a+〃)+sin(a-⑶]S台侧=L(c'+c)/

2

cosasin(3=—[sin(6Z+夕)-sin(a一夕)]其中c'、c分别表示上、下底面周

2长，/表示斜高或母线长

cosacos/?=g[cos(a+/?)+cos(a-〃)]台体的体积公式

/台休=2(5'+折§+5)/?

sin«sin/?=[cos(cif+/?)-cos(6Z-/?)]3

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

⑴若sini6tos6»>0,则6在()

(A)第一、二象限(B)第一、二象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限

(2)过点力(1,-1)、2?(-1,1)且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()

(A)(x-3)2+(y+l)2=4(B)(x+3)2+(y-l)2=4

(C)(x-1)2+(y-1)2=4(D)(x+1)2+(y+1)2=4

(3)设｛aj是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()

(A)1(B)2(C)4(D)6

(4)若定义在区间(-1,0)的函数/(X)=10g2a(x+1)满足/(x)>0,则a的取值范围是

(C)(L+8)

(A)(0,-)(D)(0,+8)

22

(6)函数y-cosx+1(-后x40)的反函数是)

(A)y=-arccos(x-1A0KH2)(B)y=it-arccos(x-1)(0«/2)

(C)y=arccos(x-l)(0^x^2)(D)y=乃+arccos(x-l)(0«H2)

(7)若椭圆经过原点，El焦点为Fi(l,0)F2(3,0),则其离心率为)

3211

(A)-(B)-(C)-(D)-

4324

(8)若0VQV£V—,sina+cosa=a,sin尸+cos住A,则)

4

(A)a<b(B)a>b(C)ab<1(D)ab>2

(9)在正三棱柱ABC-AxByCx中，若AB=6BB、,则ABX与GB所成的角的大小为

()

(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°

(10)设/(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若“X)单调递增，g(x)单调递增,则/(x)—g(x)单调递增；

②若f(x)单调递增，g(x)单调递减,则f(x)—g(x)单调递增；

③若f(x)单调递减，g(x)单调递增,则/(x)-g(x)单调递减；

④若f(x)单调递减，g(x)单调递减,则f(x)—g(x)单调递减.

其中，正确的命题是)

(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④

(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记

三种盖法屋顶面积分别为丹、P?、P-3.

若屋顶斜面与水平面所成的角都是a,则)

乌)乃=Q公乌=

(A)P3>P2>Pi(B)(C)a=4>(D)E=Q

(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它

们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通

过的最大信息品:.现从结点力向结点6传递信息，信息可以分开

沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为

(A)26(B)24(C)20(D)19

第n卷(非选择题共90分)

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

(13)若一个圆锥的轴截面是等边二角形，其面积为则这个圆锥的侧面积是.

22

(14)双曲线L-±=l的两个焦点为长、3点尸在双曲线上.若PF~PF2,则点。

916

到x轴的距离为

(15)设｛为｝是公比为q的等比数列，S”是它的前〃项和.若｛$｝是等差数列，则

Q=

(16)圆周上有2〃个等分点5>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.

三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，LABC=90°,S4J.面

SA=AB=BC=1,A£>=-

2

(I)求四棱锥A433的体积；

(U)求面SCO与面SBA所成的二面角的正切值.

(18)(本小题满分12分)

已知复数21=1(1-1)印

(I)求arg©及|zj；

(U)当复数z满足|zj=l,求|z-zj的最大值.

(19)(本小题满分12分)

设抛物线炉=2px(0>0)的焦点为F,经过点b的直线交抛物线于A.8两点，点C

在抛物线的准线上，且BCllx轴.证明直线力。经过原点0.

(20)(本小题满分12分)

已知/；277,〃是正整数，且

(I)证明"'月<加.；

(11)证明(1+加)”>(1+/7)m.

(21)(木小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产

业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少工.本年度当地旅游业收入

估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增

1

加一.

4

(I)设〃年内(本年度为第一年)总投入为斯万元，旅游业总收入为九万元.写出叁，

力的表达式；

(n)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

(22)(本小题满分14分)

设ZU)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称.对任意xi,[0,

L]都有/(xi+X2)=f(xi),/'(X2).且/'(l)=a>0.

2

(I)求f(L)及f(')；

24

(H)证明fix)是周期函数；

(HI)记3=f(2X+—),求

n2n‘is

普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案-2

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

回

1.圆（x—+:/=1的圆心到直线/=号》的距离是

A.-B.—C.1D.V3

22

2.复数'『I的值是

A.-zB.iC.-1D.1

3.不等式（l+x）（l—|x|）＞0的解集是

A.{x|O<x<l}B.{%|不<0且”一1}

C.{x|-1<x<1}D.{x|%vl且xw-l}

4.在（0,2〃）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是

,TC7TI।5"、7C、

A.）xU（z^r,--）B.（z—,^r）

4244

c,弓,苧）D.（1,万）1）¥者）

44442

k|t1

5.设集合M={X|X=5+1,ZWZ},N={x\x=-+-,k&Z],则

A.M=NB.MuNC.MnND.MC\N^0

lx—产

6.点尸（1,0）到曲线《（其中参数[£/?）上的点的最短距离为

y=2t

A.0B.1C.V2D.2

7.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥

轴截面顶角的余弦值是

3433

A.-B.-C.-D.-----

4555

8.正六棱柱48。。£犷-4玛。]。|£1片的底面边长为1，侧棱长为后，则这个棱柱侧面对

角线4。与BG所成的角是

A.90°B.60°C.45°D.30°

9.函数>=，+治；+。（G[0,+OO））是单调函数的充要条件是

A.b>0B.b<0C.b>0D.b<0

10.函数y=l——彳的图象是

11.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种B.12种C.16种D.20种

12.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到

95933亿元，比上年增长7.3%",如果“十•五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产

总值都按此年增长率增长，那么到“十♦五”末我国国内年生产总值约为

A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线.

13.函数y="在［0,1］上的最大值与最小值这和为3,则。=

14.椭圆5炉+竹2=5的一个焦点是(0,2),那么z=

15.(x2+l)(x-2)7展开式中/的系数是

16.已知/(幻=事，f(l)+f(2)+/(I)+f(3)+/(I)+/(4)+/(I)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

冗

17,已知sin之"+sin2ccose-cos2zz=1.aG(0,—),求sine、吆。的值.

18.如图，正方形ABC。、A8E了的边长都是1,而且平面ABC。、ABEF

互相垂直.点”在AC上移动，点N在BE上移动，若CM=BN=a

(0<<7<V2)

(1)求MN的长；

(2)。为何值时，的长最小；

(3)当MN的长最小时，求面"ML与面MNB所成二面角。的大小.

19.设点P到点（一1,0）、（1,0）距离之差为2根，到％、y轴的距离之比为2,求”的取值范

围.

20.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上“年末汽车保有量的6%,

并且每年新增汽车数昂:相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每

年新增汽车数量不应超过多少辆？

21.设a为实数，函数/（幻=，+|》一4|+1,xeR

（1）讨论/（无）的奇偶性；

⑵求/（无）的最小值.

2

22.设数列｛6｝满足：a„+i=a,,-na„+l.〃=1,2,3,•••

(I)当q=2时，求。2，〃3，〃4并由此猜测4〃的一个通项公式；

(II)当q23时，证明对所的〃之1,有

(i)an>n+2

…、1111/1

1+q1+?1+%1+2

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）

参考公式：

三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式

sina-cos/?=—[sin(a+/7)+sin(a-/?)]S价倘=g（c'+c）/其中c'、C分别表示

cosasinp=^[sin(cr+/7)-sin(«-/7)]上、下底面周长，/表示斜高或母线长.

COS6Tcos^=—[cos^+^)+cos^z-/7)]球体的体积公式：/,其中R

sinasin[5=-—[cos0r+^)-cos^->0)]表示球的半径.

本试卷分第I卷（选择题）和第口卷（非选择题）两部分.

第I卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的

1.已知X£(---,0),cosx=—,则fg2x=()

25

(A)L(B)_2_(C)*(D)

242477

2.圆锥曲线。=登吧的准线方程是

()

cos20

(A)pcos^=-2(B)pcosO=2(C)psin^=2(D)psin^=-2

2r-1r<0

3.设函数/（x）=l1若则/的取值范围是（）

/X>0

(A)(-1,1)(B)(-1,+oo)

(C)(-00,-2)U(0,4-00)(D)(-00,-1)u(1,4-00)

4.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为()

(A)1+V2(B)V2-I(C)y[2(D)2

5.已知圆C：(x-a)2+(y-2『=4(a>0)及直线/：x—y+3=0,当直线/被C截得

的弦长为2百时，则a()

(A)V2(B)2-V2(C)V2-1(D)V2+1

6.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是()

(A)2兀R?(B)2成2(C)§成2(D)』成2

432

7.已知方程(/一2彳+〃?)(——2x+〃)=0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则

4

\m-n\=()

(A)1(B)2(C)1(D)3

428

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(V7,0),直线y=x-l与其相交于M、N两

点，MN中点的横坐标为-2,则此双曲线的方程是()

3

(A)E上=1(B)二一片=1(C)—-21=i(D)片―q=1

34435225

9.函数/(x)=sinx,xe四，包]的反函数/T(X)=()

22

(A)-arcsinxxe[-1,1](B)一4一arcsinxxe[-l,1]

(C)乃+arcsinxxe[—1,1](D)^--arcsinxxe[-l,1]

10.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从

AB的中点心沿与AB的夹角8的方向射到BC上的点片后，依次反射到CD、DA和AB

上的点舄、△和生(入射角等于反射角)，设名的坐标为(乙，0),若

则tg。的取值范围是()

21

(A)(1,1)(B)(L2)(C)(-,-)(D)(2,-)

3335253

1C；+C；+C：+…+C；

11.1m()

—〃(c；+c；+C+…+c：)

(A)3(B)1(C)-(D)6

36

12.一个四面体的所有棱长都为JI,四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为()

(A)3〃(B)4〃(C)3岛(D)6兀

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）

第n卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.o2__L）9的展开式中x9系数是

2x

14.ftlog2（-x）<x+1成立的X的取值范围是

15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图

着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有

4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有<（1

种.（以数字作答）-------

16.下列5个正方体图形中，/是正方体的一条对'一------

角线，点M、N.P分别为其所在棱的中点，

能得出/1面MNP的图形的序号是_________（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60。，且|z-l|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-中，底面是等腰直角三角形，

/4。5=9",侧棱441=2,D、E分别是CQ与人8的中点,

点E在平面ABD上的射影是4ABD的重心G

（I）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数

值表示）

（II）求点A到平面AED的距离

19.（本小题满分12分）已知c>0,设

P：函数y=c*在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>l的解集为R

如果P和Q有旦仅有一个正确，求。的取值范围

20.（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城

市0（如图）的东偏南0（e=arccos』2）方向300km的海面P

处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围

为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，

问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21.（本小题满分14分）

已知常数a>0,在矩形ABCD中，A6=4,BC=4a,。为AB的中点，点E、F、G

分别在BC、CD、DA上移动，且些="=凶,P为GE与OF的交

BCCDDA

点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若

存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

22.(本小题满分12分，附加题4分)

(I)设｛%｝是集合｛2'+2'|OWs<，且eZ｝中所有的数从小到大排列成的数列，即

=3,%=5,%=6,%=9,a5=10,4=12,…

将数列｛〃“｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

56

91012

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求a］。。

(II)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)

设｛bfl｝是集合｛2,+2,+2,10V<s<f,且几s,/£Z｝中所有的数从小到大排列成的数

列，已知a=1160,求k.

2004年高考试题全国卷2

理科数学(必修+选修n)

(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

(1)已知集合"={xl景＜4},N={x|A2-2x-3v。},则集合ATlN=

(A){x\xv-2}(B){x\x>3]

(C){x\-l<x<2}(D){x|2<x<3}

尢2+x—2

⑵lim

〃一>ix2+4x-5

(A)|(B)1

(C)|(D)g

4

(3)设复数。=一：+坐/；则1+。=

(A)-a)(B)於

(C)(D)--

a>①-

(4)已知圆。与圆(x—l)2+V=l关于直线"=一、对称，则圆。的方程为

(A)(x+l)2+卢=1(B)/+户=1

(C)素+(y+1>=1(D)/+(y-1/=1

7C

⑸已知函数"=1211(2*+。)的图象过点(一,0),则0可以是

12

(A).(B)气⑻H

(6)函数尸—eY的图象

(A)与旷=1的图象关于y轴对称(B)与旷="的图象关于坐标原点对称

(C)与尸er的图象关于y轴对称(D)与尸er的图象关于坐标原点对称

71

(7)已知球。的半径为L力、B、。三点都在球面上，且每两点间的球面距离为一，则球心

2

O到平面的距离为

(A)|(B)哥(C)|(D)乎

(8)在坐标平面内，与点力(1,2)距离为1,且与点7X3,1)距离为2的直线共有

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

43

(9)已知平面上直线/的方向向量o=(-1,7,点ao,o)和4i,-2)在/上的射影分别是a

和4,则。［4=4e,其中％=

(A)y(B)-y(C)2(D)-2

(10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数

yr37r37r、冗

(A)(-,—)(B)(不，2%)(C)(―,—)(D)(2乃，3万)

2222

(11)函数y=sin'x+cos'x的最小正周期为

(A)?(B)|(C)71(D)In

(12)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没肩重复数字的5位数中，大于23145且小于

43521的数共有

(A)56个(B)57个(C)58个(D)60个

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

(13)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有J个红球，则随机变曷，

的概率分布为

012

P

(14)设X,y满足约束条件

x>0,

,y,

2x-y<1,

则z=3x+2y的最大值是.

(15)设中心在原点的椭圆与双曲线2*-2/=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数,

则该椭圆的方程是.

(16)下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是(写出所有真命题的编号).

三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

31

已知锐角三角形力比1中，sinC4+3)=W，sinC4-0=g.

(I)求证:tan/=2tan5；

(11)设力3=3,求43边上的高.

(18)(本小题满分12分)

已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为/、B两组，每组4个.求

(DA8两组中有一组恰有两个弱队的概率；

(D)A组中至少有两个弱队的概率.

(19)(本小题满分12分)

〃+2

数列｛劣｝的前/?项利记为已知仇=1,a+\=----S(/?=1,2,3,…).证明：

nnn

S

(1)数列｛」^｝是等比数列；

n

(n)S?+i=4a〃.

(20)(本小题满分12分).

如图，直三棱柱45C-4BC1中，LACB=90°,AC=1,CZ?=应，侧棱4%=

1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为〃，5a的中点为何

(I)求证：平面BDM\

(口)求面为8。与面所成二面角的大小.

(21)(本小题满分12分)

给定抛物线。：7=4x,厂是。的焦点，过点尸的直线/与。相交于力、8两点.

(I)设/的斜率为1,求0A与0B夹角的大小；

(n)设丽=4薄，若见三[4,9],求/在y轴上截距的变化范围.

(22)(本小题满分14分)

已知函数Kx)=ln(l+x)-x,/x)=Nnx.

(1)求函数Ax)的最大值；

(2)设0〈av6,证明：。〈江a)+鼠5)-2以”2)〈(力—a)ln2.

2

2005年高考理科数学全国卷(二)

(必修+选修H)

第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)S=4成2

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

P(A-B)=P(A)-P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式

P,那么n次独立重复试验中恰好发生AV=-7TRi

3

次的概率£(Q=C：P*(1-P)i其中R表示球的半径

一、选择题：

1.函数Kx)=lsinx+cosxl的最小正周期是()

A.-B.-C.itD.

42

2K

2.正方体ABCD—AiBCiDi中，P、Q、R分别是AB、AD、BiCi的中点.

那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()

A.三角形B,四边形C,五边形

D.六边形

3.函数y=正二1(x40)的反函数是()

A.y--J(x+1)3(x>-1)B.y=-yj(x+1)3(%>-1)

C.y-J(x+1-(x>0)D.y=-1(x+l/(x>0)

4.已知函数y=tan©%在(-乙二)内是减函数，贝|()

22

A.0<®<lB.-l<«<0

C.6>>1D.a)<-l

5.设a、b、c、deR,若丝以为实数，则（）

c+di

A.bc+ad主0B.be-

C.be-ad=OD.bc+ad=O

22

6.已知双曲线二-二=1的焦点为Fi、F2,点M在双曲线上且

63

轴，则F］到直线F2M的距离为（）

A3几口5屈6

A.-----b.-----rC.—

565

5

6

7.锐角三角形的内角A、B满足tanA-」一=tanB,则有（）

sin2A

A.sin2A-cosB=0B.sin2A+cosB=0

C.sin2A-sinB=OD.sin2A+sinB=0

8.已知点A（V3,1）,B（0,0）C（百，0）.设zBAC的平分线AE与

BC相交于E,那么有就'=/!近，其中2等于（）

A.2B,-C.-3

2

D.--

3

9,已知集合M=lxl第一3^-286便=｛旧A2—乂一6>0|,则MAN为

（）

A.1x1-4«x<-2或3〈三71

B.1x1-4<三—2或3Mxe71

C.Ixl2或x>31

D.Ixl*—2或x之31

10.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量片(4,-3)(即点P的运

动方向与V相同，且每秒移动的距离为IH个单位).设开始时点P的坐标为

(-10,10),则5秒后点P的坐标为()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

11.如果ai,a2,…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d手0,则

()

A.a】a8>a4a5B.aia8<a4a5

C.ai+as>a4+agD.aia8=a4a5

12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为()

A.6+2疾B.2+巫

33

C.4+—D,4.+2—

33

第II卷

注意事项：

1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

3.本卷共10小题，共90分.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线

上.)

13.圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为

14.设a为第四象限的角，若吧丝=土则tan2a____.

sina5

15.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能

被5整除的数共有个.

16.下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱

锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱

锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

设函数=217Hl，求便/⑶之2、泛的x取值范围。

18.（本小题满分12分）

已知｛4｝是各项均为正数的等差数列,1g一、1g4、尼4成等差数列,又

可=—=1,2,3,….

礴

（I）证明仍“｝为等比数列；

（D）如果无穷等比数列｛〃,｝各项的和S=；,求数列｛七｝的首项即和公

差d.

（注：无穷数列各项的和即当〃->8时数列前n项和的极限）

19.（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率

为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛

相互间没有影响.令J为本场比赛的局数，求J的概率分布和数学期望.（精确到

0.0001）

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PDJ_底面ABCD,

AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.

p

(I)求证：EF，平面PAB；

(n)设AB=0BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.

21.(本小题满分14分)

2

P、Q、M、N四点都在椭圆炉+”=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦

2

点.已知加与赵共线，房'与次线，且加•薪'=0.求四边形PMQN的面积的最

小值和最大值。

22.(本小题满分12分)

已知a>0,函数/'(X)=(x2-2ax)ex.

(I)当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

(D)设/(x)在［-1,1］上是单调函数，求a的取值范围.

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国n卷)

数学(理工农医类)

第I卷

参考公式

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P(A+8)=P(A)+P(B)

5=4万店

如果事件A、B相互独立，那么

P(A.B)=P(A).P(B)其中R表示球的半

径

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么球的体积公式

〃次独立重复试验中恰好发生k次的概率是

V=-7VR3

虫Q=C：尸(1一尸尸3

选择题

(1)已知集合M={x|x<3},N={x|log2K>1},则MC|N=()

(A)0(B){x|0<x<3}(C){x|l<x<3}(D){x|2<x<3}

(2)函数y=sin2xcos2M¥j最小正周期是()

7171

(A)2〃(B)4〃(C)-(D)-

42

3

⑶=()

(l-O2

33

(A)-i(B)——i(C)i(D)-i

22

(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比

为()

(5)已知AA6c的顶点B、C在椭圆±+)，2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的

3

另外一个焦点在BC边上，则AAgC的周长是()

(A)273(B)6(C)4百(D)12

(6)函数y=lnx+l(x>0)的反函数为()

(A)y=ex+\x&R)(B)y=ev-,(xe/?)

(C)y="+i(x>l)(D)y=e'T(x>l)

(7)如图，平面aL平面夕，力,A8与两平面。、夕所成

7171

的角分别为一和一。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、

46

8’,则AB：A'8'=()

(A)2:1(B)3:1(C)3:2(D)4:3

(8)函数y=/(x)的图像与函数8(为=10824》>0)的图像关于原点对称，则/*)的表

达式为()

(A)/(.«)=——(x>0)(B)fM=-_；-U<0)

log2xlog2(-x)

(C)/(x)=-log2x(x>0)(D)f(x)=-log2(-x)(x<0)

v-224

(9)已知双曲线-—=v=1的一条渐近线方程为y=-x,则双曲线的离心率为()

a-b~3

5453

(A)-(B)-(C)-(D)-

3342

(10)若/(sinx)=3-cos2x,则/(cosx)=()

(A)3—cos2xB)3-sin2x(C)3+cos2x(D)3+sin2x

「、S31s6

(11