高中数学人教版必修1知识讲解讲义

高中数学必修1知识讲解讲义

目录

第一讲集合的概念............................................................................1

第二讲集合的关系与运算.....................................................................6

第三讲映射与函数...........................................................................11

第四讲函数的表示方法一一解析式法..........................................................16

第五讲函数单调性...........................................................................20

第六讲函数奇偶性...........................................................................27

第七讲指数与指数基的运算..................................................................36

第八讲指数函数.............................................................................42

第九讲对数函数.............................................................................50

第十讲对数与对数运算......................................................................56

第十一讲幕函数.............................................................................61

第十二讲方程的根与函数的零点..............................................................66

第十三讲用二分法求方程的近似解............................................................71

第十四讲几类不同增长的函数模型............................................................76

第十五讲函数的图像........................................................................85

第十六讲函数的综合应用....................................................................93

第十七讲二次函数性质与函数的图像.........................................................111

第一讲集合的概念

一.知识思维导图

二.知识要点解读

(-)集合的概念

1.含义：一般地，我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合

(set)(简称为集)。

(1)对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作

对象.

(2)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的

全体构成的集合.

(3)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大括号｛｝或大写的拉丁字母表示，如A、8、C、……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

2.元素与集合的关系

(1)属于：如果。是集合A的元素，就说。属于4记作adA

(2)不属于：如果。不是集合A的元素，就说。不属于A,记作醛4

要注意的方向，不能把A颠倒过来写.

3.集合中元素的三个特性：

1

(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者

是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对

象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一

样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

⑷集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

4.集合分类

根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：

(1)把不含任何元素的集合叫做空集O

(2)含有有限个元素的集合叫做有限集

(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集

【例1］考察下列每组对象能否构成集合？

⑴中国的直辖市：

⑵young中的字母；

⑶不超过20的质数；

⑷高一⑶班16岁以下的学生；

⑸高一⑶班所有个子高的学生.

【分析】

⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；

⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；

(3)“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；(质数又

称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。

与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。”如：49

1=4,4+2=2,4+4=1,很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2,

所以4是合数。)

⑷“高一⑶班16岁以下的学生”构成一个集合；

⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。

【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：

(1)所有绝对值等于6的数的集合A

2

（2）所有绝对值小于6的整数的集合B

【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否

确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.

【解】

（1）A={绝对值等于6的数};其元素为：一6,6

（2）B={绝对值小于6的整数};其元素为：-5,-4,-3,-2,~1,0,1,2,3,4,5

（二）集合的表示方法

1.常用数集的表示方法

常用数集简称记法

全体非负整数的集合非负整数集N

非负整数内排除0的集合正整数集N*或N+

全体整数的集合整数集Z

全体有理数的集合有理数集Q

全体实数的集合实数集R

【例3］判断正误:

⑴所有在N中的元素都在（中（X）

⑵所有在N中的元素都在Z中（J）

⑶所有不在N"中的数都不在Z中（X）

⑷所有不在Q中的实数都在R中（V）

⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0（X）

⑹不在N中的数不能使方程4x=8成立（V）

注：（1）自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样

表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

1）是有限集而元素个数较少

如:{1,2,3,4,5},{X2,3x+2,5y3-x}

2）是无限集且元素离散

所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,­••}

3

3)是有限集但元素个数较多

如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为口,2,3,4,•••,98,99,100｝

3.描述法：

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号科内表示集合的

方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。｛x|p(X)｝中X为代表元素，p(x)

指X具有的性质.

描述法的两种表述形式：

1)、数式形式:如由不等式x-5>4的所有解组成的集合，可以表示为仅卜-5>4｝；由抛物线

y=x2+l上所有点组成的集合，可以表示为｛(x,y)|y=x2+l｝。

2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为｛直角三角形｝;所有绝对值

小于6的整数的集合，可以表示为｛绝对值小于6的整数｝。

【例4】求不等式2x-3>5的解集

【答案】不等式的解集为｛x|x>4,xGR｝

【例5】下列各组对象不能形成集合的是()

A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数D.函数y=x图象上所有的点

【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集

合的是B.

【例6】集合A的元素由kx2-3x+2=0(kGR)的解构成，若A中的元素至多有一个，求k值

的范围.

【解】由题A中元素即方程kx2-3x+2=0(k£R)的根。

若k=0,则x=2/3,知A中有一个元素，符合题设

若k#0,则方程为一元二次方程.

当△=9-8k=0即k=9/8时，kx2-3x+2=0有两相等的实数根，此时A中有一个元

素.又当9-8k<0即k>9/8[^,kx2-3x+2=O无解.

此时A中无任何元素，即A=0也符合条件

综上所述k=0或k)9/8

【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分

类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情

4

况.

三.知识要点总结

1.含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2.元素与集合的关系:属于和不属于

3.集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。

4.集合分类——根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集O

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

5.集合的表示方法

常用数集简称记法

全体非负整数的集合非负整数集N

非负整数内排除0的集合正整数集N+或N.

全体整数的集合整数集Z

全体有理数的集合有理数集Q

全体实数的集合实数集R

6.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

1）是有限集而元素个数较少

2）是无限集且元素离散

3）是有限集但元素个数较多

7.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号。内表

示集合的方法。

8.描述法的两种表述形式：

1）、数式形式

2）、语言形式

5

第二讲集合的关系与运算

一.知识思维导图

二.知识要点解读

(-)集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

A={1,2,3},B={1,2,3,4}

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A

是集合B的子集(subset)。

记作：AUB或B?A

读作：A包含于(iscontainedin)B,或B包含(contains)A

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

2.集合与集合之间的“相等”关系

AUB且A2B,则A=B中的元素是一样的，因此A=B,根据以上我们可以得到这样一个结

论：任何一个集合是它本身的子集。即AUA。

6

3.真子集的概念

若集合AUB,存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A，则称集合A是集合B的

真子集(propersubset)»

记作：ACB

读作：A真包含于B

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

4.真子集的性质

结论：AUB且BUC,贝IJAUC

【例1】集合A={1,2,3,4},集合B={4,2,3,1},问集合A和集合B相等吗？

【例2】化简集合A={x|x-7》2},B={x|x>5},并表示A、B的关系；

【例3】(1)写出集合{0,1,2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

(2)集合心1色声3…aj,子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有多少个；

非空的真子集有多少个.

(-)集合的运算

1.集合的运算一一并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集

(Union)

记作：AUB

读作：“A并B”

即：AUB={x|xGA,或xGB}

2.集合的运算一一并集

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重

复元素只看成一个元素)。

说明：连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

3.集合的运算一一交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集

(intersection)»

7

记作：AAB

读作：“A交B”

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。

4.集合的运算一一补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集

合为全集(Universe),通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合

称为集合A对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集

记作：QA

即：CuA={x|xGU且xCA}

补集的Venn图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制

5.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关

键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题

设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

6.集合的运算的一些结论

交集ACIBUA,ACIBUB,ACA=A,AC0=0,ACB=BClA

并集AUAUB,BUAUB,AUA=A,AU0=A;AUB=BUA

补集(C0A)UA=U,(CyA)CA=0

8

若ACB=A,则AUB,反之也成立

若AUB=B,则AUB,反之也成立

若XG(AAB),则xGA且xGB

若xd(AUB),贝iJxGA或xdB

【例1】A={1,2,3,6},B={l,2,5,10},则AUB=.

【例2】已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则AUB=,

【例3】已知集合A={l,2,k},B={2,5},若AUB={1,2,3,5}则k=—.

【例4】已知集合人={1,3,Vm},B={l,m},AUB=A，则m=()

A.0B.。或3C.1或V3D.1或3

[例5]A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则ADB=

【例6】设集合M={-1,0,1},N={X|X2WX},则MCN=()

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

【例7】已知集合A={xGR|3x+2>0},B={xWR|(x+l)(x-3)>0},贝I]AAB=()

A.(q,-1)B.(-l,-2/3)C.(-2/3,3)D.(3,+°0)

【例8]已知集合A={xGR||x+2|<3},集合B={xeR|(x-2)(x-m)<0},fiAHB=(-l,n)，则

m=,n=.

【例9】如果全集U={x[0<X<6,XeZ},A={l,3,5},B={l,4},那么，QA=QB=

【例10]如果全集U={x|0<x<10},A={x[2<x<5},则QA=

【例11]已知全集11={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},集合B={2,4}则QAUB=()

A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}

【例12】设集合A={X[1<X<4},B={X|X2-2X-3W0},则AC(CRB)=()

A.{1,4}B.{3,4}C.{1,3}D.{1,2}

【例13)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,l,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(QA)A

(CuB)=()

A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}

三.知识要点总结

1.集合之间的关系

相等：集合A与集合B中的所有元素都相同

子集：A中任意一个元素均为B中的元素

真子集：A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素

9

空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

2.集合的运算

并集：AUB={x|x£A,或xGB}

交集：AAB={x|xGA,且XGB}

若全集为U,则集合A的补集为CuA={x|xGU且xA)

四.本章小结

10

第三讲映射与函数

一.知识思维导图

二.知识要点解读

(-)函数的定义

1.映射

定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一

个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A、B,以及集

合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:AfB.

映射的概念中象、原象的理解：

(1)A中每一个元素都有象；

(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；A中每一个元素的象唯一。

2.函数

(1)函数的定义：

设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个

函数，记作y=f(X),xGA,其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值

相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|xCA｝叫做函数的值域.

①定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，是一个整体；

②值域由定义域、对应法则唯一确定；

③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积。

3.函数与映射的区别与联系

(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数

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集4到非空数集B的映射.

(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数.

(3)由映射和函数的定义可知：函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.

4.两个函数的相等

函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域

到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两

个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个

函数.

【例1］判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？

(l)x2+y=l

(2)x+y2=l

Vl-x

⑶y=拈

【解】(1)由x2+y=l得y=l—x2,它能确定y是x的函数.

(2)由x+p=1得丫=干。1-x,它不能确定y是x的函数。因为对于任意的x《{x|x

W1},其函数值不是唯一的.

(3)y=唐的定义域是0,所以它不能确定y是x的函数。

JVx-1

【例2】在下列图象中，表示y是x的函数图象的是()

A.①④B.①②C.②④D.②③

【答案】B

【例3】试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1)f(x)=Vx^,g(x)=

⑵f(x)=?稹),花

(3)f(x)=2n+V^2^,g(x)=(2n-V^)2n-1(nGN*)

(4)f(x)=VxVx+1»g(x)=Vx24-x

(5)f(x)=x2—2x—1,g(x)=t2—2t—1

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(二)函数三要素

1.函数的定义域

研究一个函数，一定要在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提；函数

的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式y=f(x)时，而没有指明它的定义域，那么函

数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数X的集合。

2.求定义域的几种情况：

⑴如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R

⑵如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合

⑶如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合

⑷如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实

数集合.(即求各集合的交集)

【例1】与函数y=x表示相同函数的是()

“x2fx(x三0)fx(x£0)

A.y=Vx2B.y=—C.y=S//小D.y=]...

)Jx[-x(xVO)[x(x<0)

【答案】D

【例2】求下列函数的定义域

(1)y=Vx-8+V3—x

..、Vx2-l+Vl-x2

⑵V=——

x-2

⑶y=w

⑷y=i1T

[例2]求下列函数的定义域

(5)设f(x)的定义域为[0,2],求函数f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域.

(三)函数表示方法

1.常用的函数表示法

(1)解析式;

⑵列表法;

(3)图像法。

2.区间的概念：

设a,b是两个实数，而且a<b,我们规定:

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⑴满足不等式aWxWb的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]

⑵满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b)

(3)满足不等式aWx<b或a<xWb的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b]

【注意】

⑴区间是一种表示连续性的数集

(2)定义域、值域经常用区间表示用。

(3)实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

(4)实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”。

(5)满足x2a,x>a,x<a,x<a的实数的集合分别表示为[a,+8)、(a,+8)、(-<»,a]>(-°°,a).

3.分段函数

习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识:

(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

4.复合函数

定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u又是x的函数，记为u=g(x),且g(x)值域与f(u)

的定义域交集不空，则确定了一个函数y=f[g(x)],这时y叫做x的复合函数。

-X2+l,xS1

【例1】设函数f(x)=I,，则向3))=

-,x>l

'X

【例2】已知定义在区间(0,2)上的函数的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为()

【答案】B

1,x>0「1仪为有理数)

【例3】设f(x)=<0,x=0,g(x)J力手仰勃，则f(g(n))的值为()

[-l,x<01°(x内尢理数)

【例4】函数y=^的定义域为.

三.知识要点总结

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函数映射

两集合A,B设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合

如果按照对应法则f,对于集合A中如果按照某种对应法则f,对于A中的

对应法则f:

的每一个元素,在集合B中都有唯一个元素,在B中都有唯二的元素与之

A->B

二的元素y和它对应对应

称这样的对应为从A到B的一个函这样的单值对应叫做集合A到集合B

名称

数的映射

记法Y=f(x)zxGAf：A玲B

1.给定两个非空A和B,如果按照某个,对于集合A中的任意一个数X,在集

合B中都有和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记

作.其中,x叫做,x的取值范围A叫做函数的;集合｛f(x)|xW

A｝叫做函数的.

2.构成函数的三要素:、和.

3.常用的函数表示法乂1);(2);(3]

4.两个函数的相等：两个函数能成为同一个函数的充要条件是与都相同.

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第四讲函数的表示方法一一解析式法

名称含义

列表法通过列出自变量和对应函数值的表来表示函数关系的方法

图像法用函数的图像表示两个变量之间的关系的方法

解析法把常量和表示自变量的字母用一系列的运算符号连接起来的式子叫做解析式

优点缺点

解析法一是简明、全面地概括了变量间的不够形象、直观、具体，而且并不是所

关系；二是通过解析式可以求出任有的函数都能用解析式表示出来

意一个自变量对应的函数值

列表法不需要计算就可以直接看出与自只能表示自变量取较少的有限个值的

变量的值相对应的函数值对应关系

图像法能形象、直观地表示出函数的变化只能近似的求出自变量的值所对应的

情况函数值，而且有时误差较大

三种表示方法的运用：

要熟练掌握解析法、列表法、图像法的含义，以及它们的优缺点，只有把握了这些，才能

恰当运用这些表示法表示函数。

解析法、列表法、图像法同为研究函数的重要方法，它们不是孤立的，而是和谐统一的,

为了研究函数需要，常常根据函数的解析式列表或作图，或者根据函数的图像写出函数的解析

式。因此，学习的同时要注意三种方法之间的互化。

—.知识思维导图

二.知识要点解读

(一)待定系数法

1.定义：已知函数类型，故先设函数解析式，由题中条件列方程，求待定系数的值。如:

一次函数可设为y=ax+b(aWO);

二次函数有三种设法：

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①一般式y=ax2+bx+c(a^O)

②顶点式y=a(x-h曰+k(aWO)

③两根式y=a(x-xi)(x-x2)(aWO)

【例1】若一次函数y=f(x)在区间卜1,2]上的最大值为3,最小值为1,贝Iy=f(x)的解析式为

【例2】若二次函数y=f(x)过点(0,3),(1,4),(-1,6),则f(x)=.

【例3】若f(x)是二次函数且f(0)=l,f(x+D-f(x)=2x,求f(x)

【答案】解：设f(x)=ax2+bx+c(ar0).

Vf(O)=lAc=l

则f(x)=ax2+bx+l

又f(x+l)-f(x)=2x,对VxGR成立，

.".a(x+l)2+b(x+l)+l-(ax2+bx+l)=2x

即2ax+a+b=2x.

由恒等式性质知：所求二次函数为f(x)=x2-x+l.

【例4】若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3,则函数f(x)的解析式是。

【解析】用待定系数法，设f(x)=ax+b(a/O),则f[f(x)]=af(x)+b=a?x+ab+b=4x+3

所以｛工_,解得或

Lab+b=3Lb=lLb=-3

所以f(x)=2x+l或f(x)=-2x-3

【点评】用待定系数法时，要等价变形，根据对应系数相等列出方程组，防止丢根。

(二)换元法

己知f[g(x)]是关于x的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式。通常令g(x)=t，由此解出x=

。⑴，再将x=6(t),代入f[g(x)]=F(x)的解析式中，求得f⑴的解析式，再用x替换t,便得f(x)的解

析式。

注意：换元后注意新元t的取值范围。

【练习】

⑴已知f(x-2)=3x-5,求f(x).

(2)已知f(2x-l)=4x+2,求f(m)=16,则m等于.

【例1】若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x)的表达式为()

A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7

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【答案】B

【例2】已知f(«+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为o

【答案】f(x)=x2-2x+2(xMl)

【例3】己知f(三)=窸，则f(x)的解析式可取为()

x2x2xx

A百诉C.—D.--

【例4】已知f(l—cosx)=sir|2x,求f(x)的解析式

【解析】设u=l—cosx,则cosx=l—u,

/.COS2X=(1—u)2

/.sin2x=l—(1—u)2=—U2+2U.

Vu=l—cosxe[0,2]

f(x)=-X2+2X,x£[0,2]

【例5】若f(x+l)=x2-3x+2,求f(x)

【解析】令x+l=t,

则x=M,

.V(t)=(M)2-3(M)+2=t2-5t+6,

/./(X)=X2-5X+6.

【例6】设f(x)=1*"，g(x)=1:?，当x>0时，求f(g(x))和g(f(x))的解析式

Lx(x<0)Ix(x<0)

【解析】当x>0时，g(x)=-x<0,f(x)=x2>0,所以f(g(x))=f卜x)=・x,g(f(x))=g(x2)=-x2.

求函数解析式要注意“里”层函数的值域是“外”层函数的定义域，从关系上看，f(gx))

与f(x)是同一对应关系的函数，仅是自变量的取值不同，这时g(x)的值域就是f(x)中X的范围(这

是求复合函数的定义域时不可忽视的问题)。

(三)配凑法(整体代换)

1.什么是配凑法？一些能用换元法的题目也能用配凑法

2.已知f(g(x))的解析式,要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示,

再将解析式两边的g(x)用X来代替即可。

【练习]⑴己知f(x-2)=3x-5,求f(x).

⑵已知[孤+1)=x+2加,求f(x).

解：f(x-2)=3(x-2)+l,f(x)=3x+l

解：f(Vx+1)=(Vx)24-2Vx+1-1=(Vx4-1)2-1,f(x)=x2-l(x^l)

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［例1］若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x)的表达式为()

A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2X+7

【例2】已知f(x+：)=X?+专,则f(X)的解析式

【例3】己知。力为常数，若f(x)=x?+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,贝!I5a-b=.

(四)消元法

构造方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)此方法的实质是

解函数方程。

【练习】设f(x)满足f(x)-2f(3=x,求f(x)的解析式。

【例1】己知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=£,则f(x)=

【例2】若函数f(x)满足关系式f(x)+2fg)=3x,贝h(x)的表达式为

(补充)赋值法——由题设条件的结构特点，由特殊到一般地寻找普遍规律。

【例】设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=l,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+l),求f(x)的表达式。

【分析】本题主要考察利用特殊值法求函数的解析式，所给函数方程含有两个变量时，可对这

两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等带入，再用已知条件，可求出未知的函数,

至于取什么特殊值，需要根据题目特征来定。

【解法一】解：由f(O)=l,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+l)

设x=y,得f(O)=f(x)-x(2x-x+l)

Vf(O)=l,

.*.f(x)-x(2x-x+l)=1,

即f(x)=x?+x+l

【解法二】解：令x=0,得f(O-y)=f(O)-y(-y+l)=l-y(-y+l)

再令-y=x，代入上式，

得f(x)=l-(-x)(x+l)=l+x(x+l)

f(x)=x2+x+l

【点评】通过取某些特殊值带入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规

律，求出函数的解析式

三.知识要点总结

求解析式常用方法：(一)待定系数法(二)换元法(三)配凑法(四)消元法

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第五讲函数单调性

一.知识思维导图

二.知识要点解读

(-)函数的单调性定义

(1)增函数(Increasingfunction)：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的

某个区间D上的任意两个自变量的值X1,X2，当Xi<X2时，都有f(xx)<f(X2),那么就说f(x)在这个区

间D上是增函数。区间D就叫做函数f(x)的单调增区间。

(2)减函数(Decreasingfunction)：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内

的某个区间D上的任意两个自变量的值xnx2，当Xi<X2时，都有f(xx)>f(X2),那么就说f(x)在这个

区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(x)的单调减区间。

(3)单调性(单调区间)：如果函数y=f(x)在某个区间D是增函数或是减函数，那么就说函数

y=f(x)在区间D具有单调性，或者说函数在区间D上是单调的，区间D叫做函数y=f(x)的单调

区间(包括增区间和减区间)。

名称定义几何意义

增函数对于定义域1内的某个区间D上的任意两个自变量的值XJ2,f(x)的图像在区间

当Xi<X2时，都有f(Xi)<f(X2),那么就说f(x)在这个区间D上是D是“上升”的

增函数。区间D就叫做函数f(x)的单调增区间。

减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为1,如果对于定义域1内的f(x)的图像在区间

某个区间D上的任意两个自变量的值X1,X2,当X1<X2时，都有D上是“下降”的

f(Xi)>f(X2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。区间D就

叫做函数f(x)的单调减区间。

(二)函数的单调性定义深度剖析

1.函数单调性的定义中，4,X2有三个特征：一是任意性，即区间内任意取Xi,X2具有普遍性;

二是有大小，一般设X]<X2；三是同属于一个单调区间。三者缺一不可。

2.函数单调性是函数在某个区间上的性质(局部性)

①这个区间可以是整个定义域，如正比例函数y=3x在定义域(-8,+8)上是增函数。

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②这个区间也可以是定义域的子集，如y=2x2在定义域(-8,+8)上不是单调函数,

但是在(-8,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数.

③有的函数不具有单调性。

,「1，X>°,、「为有理数)

如：f(x)=<0,X=0,g(x)=441H工田物、

]x<010(x为无理数)

3.若函数f(x)在其定义域内的两个区间D、M都为增(或减)函数。一般不能简单地认为f(x)

在DUM上是增(或减)函数。

如：y=%在(o,+8),(-8,0)上都是减函数，但不能说在卜8,o)u(0,+8)上是减

函数。虽然在每个区间分别具有单调性，但是在整个区间是不具有单调性的。

【练习】

1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()

A.y=|x|B.y=3-xC.[D.y=-x2+4

[答案]A

2.函数y=(2k+l)x+b在实数集上是增函数，则()

Ak>WB.k<-iC,b>0D.b<0

[答案]A

3.函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若xie(a,b),x2G(c,d)且xl<x2那么()

A.f(xl)<f(x2)B,f(xl)>f(x2)C,f(xl)=f(x2)D.无法确定

[答案]D

4.已知f(x)在实数集上是减函数，若a+bWO，则下列正确的是()

A.f(a)+f(b)<-[f(a)+f(b)]B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.f(a)+f(b)>-[f(a)+f(b)]D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

(二)函数单调性的判断

1.判断函数单调性方法

(1)定义法

a)用定义法判断(证明)函数单调性的步骤：

I.取值：在给定区间D上任取两个值X1，X2且X1<X2：

ii.作差变形：计算f(X2)-f(Xi)通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

iii.定号：判断上式的符号，若不能确定，则可再分区间讨论；

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结论：根据差的符号，得出单调性的结论

b)函数的单调性定义等价形式：

设Xi，x2G［a,b］,x!*x2.那么

①(Xi-X2Wf(Xi)-f(X2)］>0,f(x)在［a,b］上是增函数。其几何意义是：增函数图象上任意两点，

(XI,f(Xi)),仅2,f(X2))连线的斜率都大于0。

②(Xi-x2)［f(x1)-f(x2)］<0,f(x)在⑶b］上是减函数。其几何意义是:减函数图象上任意两点，

(Xi,f(xj),仅2,f(X2))连线的斜率都小于0。

C)函数单调性的判断一一定义法

例：讨论函数f(x)=x+；(a>0)的单调性。

研究函数的单调性定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(/的)一/(应))，运算的结果可以

判断正、负。本题判断正、负的依据是代数式“X1X2—处理这个代数式的符号是一个难点，

要有一定的数学功底作基础。把XI、X2看成自变量，则转化为判断“X2—a”的符号，于是转

化为判断“x—石”的符号，自然过渡到x=y是函数单调区间的分界点。

［例1］证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.

【答案】证明：设Xi，X2是R上的任意两个实数，且Xi〈X2,则

f(xi)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)

=3(xrx2).

由Xi<x2,得Xi-x2<0,

于是f(Xi)-f(x2)<0,

即f(Xl)Vf(X2).

所以，f(x)=3x+2在R上是增函数.

想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的

结论是否正确.

【例2】求证：函数f(x)=x'+x在R上是增函数.

(2)图像法

先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性

【例1】如图是定义在区间L5,5］上的函数y4(x),根据图象说出函数的单调区间，以及在每

一单调区间上，它是增函数还是减函数？

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【答案】解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减

函数，在区间卜2,1),[3,5]上是增函数.

【例2】函数y=V+|x|,单调递减区间为

【答案】(4,0),(%,+8)

⑶直接法

就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接写出它们的

单调区间。

图像单调区间单调性

正比例函数k>0R单调递增

y=kx(kW0)k<0R单调递减

反比例函数k>0(・8,o)单调递减

y=l/x(kW0)(0,+°0)单调递减

K<0(・8,o)单调递增

(0,+°0)单调递增

一次函数k>0R