2021-2022学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）（解析版）

2021-2022学年上海市宝山区九年级第一学期期末数学试卷（一

模）

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）

1.如果包茎，且b是。和c的比例中项，那么上■等于（）

b3c

A.—B.—C.—D.—

4323

2.在比例尺为1：5000的地图上，如果A、B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距

离是（）

A.50000米B.5000米C.500米D.50米

3.已知3为非零向量，a=2c-b=-3c-那么下列结论中，不正确的是（）

..’..J.3.....

A-lal=~।blB-a=-^-bc-3a+2b=0D-a〃b

4.如图，已知CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（）

CD=AD*cotAC.CD=AC*sinBD.CD=BC*cosA

5.把抛物线/=（x-1）2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）

A.y=（尤-1）2+5B.y=（x-1）2+1C.y=（x+1）2+3D.y=（尤-3）2+3

6.下列格点三角形中，与已知格点AABC相似的是（）

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相

应位置上】

7.已知点B在线段AC上，AB=2BC,那么AC：AB的比值是.

8.如果立的值是黄金分割数，那么三的值为.

yy

9.计算：sin230°+cos245°=.

10.在Rt^ABC中，ZC=90°,如果兽U，那么sinA的值是_____.

BC4

11.已知二次函数尸段+x-1,当x=-3时，函数y的值是.

12.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为〉万吨,

如果2019年至2021年蔬菜产重的年平均增长率为x(x>0),那么y关于x的函数解析

式为•

13.如果抛物线产始+2尤+机-1的顶点在x轴上，那么的值是.

14.已知△ABC的两条中线A。、BE相交于点尸，如果AP=10,那么AD的长为.

15.如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AO为3米，路基高为1米，

斜坡A3的坡度=1：L5,那么路基的下底宽3c是米.

16.如图，已知一张三角形纸片ABC,AB=5,BC=2,AC=4,点M在AC边上.如果过

点又剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设那么

x的取值范围是.

17.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,点尸在CO边上，联结AP.如果将△AOP

沿直线AP翻折，点。恰好落在线段上，那么$△皿口的值为_______.

'四边形ABCP

18.如果一条抛物线y=ox2+bx+c(a#0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这

两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”.已知y=x2+bx(6>0)的

“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b的值为.

三、解答题：(本大题共7小题，共78分)

19.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.

(1)求tanB的值；

(2)延长至点。，联结A。，如果/AD8=30°,求CO的长.

20.如图，已知在四边形ABC。中，歹是边上一点，AF=2DF,交AC于点E,又而

1—,

=TBC.

4

(1)设凝=Z，AD=b)用向量之、E表示向量而=，AC=-

(2)如果/ABC=90°,AD=3,AB=4,求BE的长.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A(-1,2),且经过2(-3,

0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接

写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.

22.如图，小杰在湖边高出水面约10机的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的

点尸处，该无人机在湖中的倒影为点P,小杰在A处测得点尸的仰角为45°,点P

的俯角为60。，求该无人机离开湖面的高度(结果保留根号).

M--------------------------N

23.如图，已知△ABC和△£>(5都是等边三角形，点2、C、£在同一直线上，联结8。交

AC边于点F.

(1)如果求证：B/=DF・DB；

(2)如果AF=2FC,SmABCD=lS,求SSCE的值.

24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a^+bx+c(aWO)经过点A(-1,0)、B

(3,0)、C(0,3),顶点为点。.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)联结B。、CD,试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；

(3)抛物线上是否存在点P,使得/PAC=45°,如果存在，请求出点尸的坐标；如果

不存在，请说明理由.

%

L)

25.如图，已知正方形ABC。，将边AD绕点A逆时针方向旋转"。(0</<90)到A尸的

位置，分别过点C、D作CELBP,DF±BP,垂足分别为点E、F.

(1)求证：CE=EF；

(2)联结CR如果”=!，求NABP的正切值;

CF3

(3)联结AE如果4尸=返人8,求〃的值.

2

参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只

有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.如果包茎，且b是。和c的比例中项，那么也等于（）

b3C

A.—B.—C.—D.—

4323

【分析】根据比例中项的概念可得a：b=b：c,则可求得6：c值.

解：•••包雪，6是。和c的比例中项，

b3

即a：b=b：c,

・.・—b—_—a———2.

cb3

故选：D.

2.在比例尺为1：5000的地图上，如果A、8两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距

离是（）

A.50000米B.5000米C.500米D.50米

【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离.要

注意统一单位.

解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，

根据题意得，1：5000=10：%,

解得x=50000,

50000厘米=500米.

即甲乙两地的实际距离为500米.

故选：C.

3.已知《为非零向量，7=27,-3c-那么下列结论中，不正确的是（）

—♦2~•一3——♦—♦—•—♦—♦

A-=B-a=-ybc-3a+2b=0D-a〃b

【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可.

解：：a=2c,b=-3c，

••Ibl-a——§b，

故A正确，2错误；

a=2cb=-3c，

,•3a+2b=6c-6c=0'

故C正确；

a=2c，b=-3c，

-9-

a=-百b，

o

aIIb,

故D正确，

故选：B.

4.如图，已知Rt^ABC,CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（）

CD—AD*co\AC.CD—AC'smBD.CD—BCtcosA

【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论.

解：是斜边AB边上的高，

：.AACD,△BCD都是直角三角形.

在Rt/XACD中，

AF1

VCD=sinA-AC=tanA-AD=-^,故选项8不正确;

cotA

在RtABCD中,

CD=smB*BC=tanB,BD,故选项A、C不正确.

在RtAABC中，

VZA+ZB=90°,

cosA=sinB.

/.CD=sinB,BC=cosA,BC,故选项D正确.

故选：D.

5.把抛物线＞=(x-1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为()

A.y=(尤-1)2+5B.y=(x-1)2+1C.y=(x+1)2+3D.y=(x-3)2+3

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

解：把抛物线＞=(%-1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：y=(%

-1+2)2+3,即尸(x+1)2+3,

故选：C.

6.下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是()

【分析】设小正方形的边长是1,先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中三角

形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理

判定即可.

解：设小正方形的边长是1,

由勾股定理得：AB=JF+AC=^22+2=,BC=J]2+3、=JI。,

A.三角形的三边的长度分别为：^22+42=2V5-2,4,

.••一"=3==4■,所以与格点AABC相似，故本选项符合题意；

V22V2V10

B.三角形的三边的长度分别为：2,Vl2+32=V10'V32+32=3V2'

••Z=IV10_=V5372375

・2-，272—­T，V10—-5-）

.♦.gw津#签，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；

22V2V10

C.三角形的三边的长度分别为：，F+]2=M，712+22=V5-3,

..返=]V5_V103_3VIo

'V2'2V2-VIo10

22=3

D.三角形的三边的长度分别为：712+12=V2-7S+3V2-62+42=2旄,

।37232炳.向

.•・"w翌W堇，所以与格点AABC不相似，故本选项不符合题意；

..近2班厂氐

故选：A.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相

应位置上】

q

7.已知点B在线段AC上，AB=2BC,那么AC：AB的比值是—=

一2一

【分析】设BC=%,则A3=23C=2E根据线段和的定义得出AC=AB+2C=34，即可求

出AC：AB的比值.

解:如图，设BC=左，则AB=2BC=2Z,

:点3在线段AC上，

.,.AC=AB+BC=2k+k=3k,

3

：.AC：AB=3k：2k=3.

故答案为：

8.如果立的值是黄金分割数，那么三的值为逅虫.

yy-2-

【分析】由黄金分割的定义得立=逅二，则2x=（点+1）y,即可得出答案.

y2

解：：口的值是黄金分割数，

y

・x-y_V5-l

••>

y2

.*.2x-2y=（泥-1）y,

.,.2x=（近+1）y,

.x_V5+1

••,

y2

故答案为：逅虫.

2

9.计算：sin230°+cos245°=—.

一4一

【分析】由特殊锐角三角函数值，代入计算即可.

解：原式=（《）2+（返）2

22

-—----------1------

44

_3

~T

故答案为：-y.

4

10.在Rt"BC中，ZC=90°,如果生鸟那么sinA的值是4-

BC4一5一

【分析】根据题意设AC=3Z,则BC=4左，由勾股定理求出AB,再根据锐角三角函数的

定义进行计算即可.

ArQ

解：由于在中，ZC=90°,—

BC4

可设AC=3Z,则3C=4Z,

由勾股定理可得，AB=^AC2+BC2=5Z：,

故答案为：

5

11.已知二次函数>=去：2+%-1,当工=-3时，函数y的值是-1

O

【分析】将X=-3代入解析式求解.

解：把x=-3代入尸当81-1得尸春X9-3-1=-1,

oO

故答案为：-1.

12.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨,

如果2019年至2021年蔬菜产重的年平均增长率为x(x>0),那么y关于x的函数解析

式为y=(1+x)2.

【分析】2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以>=100(1+x)2.

解:y=100(1+x)2.

故答案为：y=100(1+x)2.

13.如果抛物线y=x2+2x+机T的顶点在x轴上，那么的值是2.

【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解.

解：\'y=x1+2x+m-1=(x+1)2+m-2,

，抛物线顶点坐标为(-1,m-2),

当抛物线顶点落在x轴上时，/"-2=0,

故答案为：2.

14.已知△ABC的两条中线AD、2E相交于点片如果AP=10,那么已D的长为15.

【分析】先根据三角形的重心的定义得出点尸是△ABC的重心，再利用重心的性质得出

AD=^AF,即可求解.

解：:△ABC的两条中线AD、BE相交于点尸，

点p是△ABC的重心，

：.AF：FD=2：1,

2Q

：.AD=—AF=—X10=15.

22

故答案为：15.

15.如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽为3米，路基高为1米,

斜坡的坡度=1：L5,那么路基的下底宽BC是6米.

【分析】过点A作AELBC于E,过点。作。尸，BC于R根据矩形的性质求出ER根

据坡度的概念求出BE、FC,计算即可.

解：过点A作AELBC于E,过点。作DnLBC于尸，

则四边形AE/鹤为矩形，

：.EF=AD=3米，AE=DF=1米，

•.•坡AB的坡度=1：1.5,

：.BE^].5米，

•.•四边形ABCD为等腰梯形，

：.FC=BE=1.5米，

ABC=BE+EF+FC=1.5+3+1.5=6（米），

故答案为：6.

16.如图，已知一张三角形纸片ABC,AB=5,BC=2,AC=4,点M在AC边上.如果过

点M剪下一个与AABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x,那么

x的取值范围是3«4.

【分析】依据相似三角形的对应边成比例，即可得到x的取值范围.

解：如图所示，过M作交BC于。或ME〃BC交AB于E,则

或△AMES/XACB,

此时0＜尤＜4；

如图所示，过M作/交AB于尸，则△AMFS^ABC,

此时0<xW4；

如图所示，过M作/CMG=/C3A交BC于G,则△CMGs/iCA4,

此时，ACMGs4CBA,

当点G与点B重合时，CB?=CMXCA,即22=CMX4,

综上所述，尤的取值范围是3Wx<4.

故答案为：3W尤<4.

17.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,点尸在C。边上，联结AP.如果将△AOP

沿直线AP翻折，点。恰好落在线段BC上，那么'‘金处2,的值为_三_.

、四边形ABCP13

【分析】根据折叠性质，用勾股定理列方程，求出CP和PD的长度，即可得到S^ADP=^

。.•将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上的

：.AD'=AD=5,PD=PD',ZAD'P=ZD=90°,

22=22=4

在RtZXAB。中，BD'=7AD'-ABVS-3，

J.CD'^BC-BD'=5-4=1,

设CP=x,则PD=PD'=3-x,

在Rt/XCP。中，CD'2+CP2^PD'2,

l2+x2=(3-x)2,

解得x=~^

o

45

.\CP=—,PD=—,

33

11R9R

.,.SADP=—AZ)>PZ)=—X5X—,

A2236

S四边形ABC尸=S矩形ABC。-SAADP—3X5-=

66

25

.SaADP_6_5

.S四边形ABCP空13’

6

故答案为：-ry.

18.如果一条抛物线>=加+6尤+c(aWO)与无轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这

两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”.已知y=^+bx(6>0)的

“特征三角形”是等腰直角三角形，那么6的值为+2.

【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可.

解：设抛物线y=N+bx与x轴的交点坐标为A,B,顶点为。，

卜2

AA(0,0),B(-6,0),。(-&b，-A_),

24

..•抛物线y=/+6x对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，

AB2=AD2+BD2=2AD2,

,2,4

：.b2=2,

416

解得:b=±2,

故答案为：士2.

三、解答题：(本大题共7小题，共78分)

19.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.

⑴求tanB的值；

(2)延长2C至点£>,联结A。，如果/ADB=30°,求CD的长.

【分析】(1)过点A作AELBC,垂足为E.先利用等腰三角形的性质求出BE,再利用

勾股定理求出AE,最后在RtAABE中求出tanB的值；

(2)先利用直角三角形的边角间关系求出DE,再利用线段的和差关系求出CD.

解：(1)过点A作AELBC,垂足为E.

\'AB=AC=5,BC=6,

：.BE=CE=—BC=3.

2

在RtAABE中,

VA£=VAB2-BE2

=H2-32

=4,

(2)在RtZVIDE中，

AF

VZADB=30°,AE=4,tanZADB=—,

DE

4

:.DE=——里——=——^s—=VT=4«.

tanNADBtan30

:・CD=DE-CE

=4后3.

20.如图，已知在四边形ABC。中，歹是边上一点，AF=2DF,8/交AC于点E,又屈

=严1-♦

（1）设屈=7，AD=b）用向量；、E表示向量而=一方-」AC=_Tb+a_.

oo

（2）如果/ABC=90°,AD=3,AB=4,求BE的长.

【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解;

（2）先证明^ZABF=ZBCA,从而得出再根据相似

三角形对应边成比例得出比例式求解即可.

解：（1）-：AF=2DF,

2

•••A尸=3皿，

O

;AD=b,

-♦2"*

・•・研中，

o

BF=AF-AB

_2--*

-qb-a，

—•1~*

研=请，

—*—*2-*

•**BC=4AF^rb>

O

•*-AC=BC-BA

_87一

——b+a»

o

故答案为：--b+a；

.1»

（2）・.・AF=）BC，

J.AF//BC,AF=—^C，

4

AZBAF=ZABC=90°,ZAFB=ZCBE,

,.,AO=3,AF=2DF,

：.AF=2,

：.BC=Sf

在RtAABF中，

BF=VAF2+AB2=2V5-

▽..AFAB1

•——，

ABBC2

AABF^ABCA,

ZABF=ZBCA,

：.△ABFSAECB,

.AF_BF

••西荻，

.2275

••---=-----,

BE8

:.BE=^J^.

5

21.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A(-1,2),且经过8(-3,

0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接

写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.

【分析】(1)有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；

(2)由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0,得到相应的两个x值，算出负值相

对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可.

解：(1)•.•二次函数图象的顶点为A(-1,2),

设二次函数解析式为y=a(x+1)2+2,

把点8(-3,0)代入二次函数解析式，得：

0=4(-3+1)2+2,

解得：a=-

二次函数解析式为y=广重(X+1)2+2,即尸-尹-x+~,

(2)令y=0,得/+2%-3=0,

解方程得：xi=-3,无2=1,

・••二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(-3,0)和(1,0),

・・・二次函数图象上的点(-3,0)向右平移3个单位后经过坐标原点，

故平移后所得图象与无轴的另一个交点坐标为（4,0）.

22.如图，小杰在湖边高出水面MN约10m的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的

点P处，该无人机在湖中的倒影为点P',小杰在A处测得点尸的仰角为45°,点P

的俯角为60°,求该无人机离开湖面的高度（结果保留根号）.

1___

MN

【分析】作点P关于湖面MN的对称点P,通过作垂线构造直角三角形，在两个直角

三角形中，由边角关系求出A2,进而求出CP即可.

解：如图，作点P关于湖面的对称点P,过点A作交尸于点8,

连接AP,AP',则/明尸=45°,ZBAP'=60°,AM=10m,

在尸中，ZBAP=45°,ZABP=90°,

J.AB^BP,

在Rt^ABP中，ZBAP'=60°,ZABP'=90°,

：.BP'=«A2,

由对称可知，PC=P'C,

即BP+BC=BP'-BC,

设AB=x,则BP=x,BP'=小，

.*.x+10=-10,

解得x=10&+10,

：.PC=BP+BC

=（10-7JI-20）m,

答：该无人机离开湖面的高度为（10«+20）m.

'p

23.如图，已知△ABC和△OCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结80交

AC边于点F.

（1）如果NABO=NC4O,求证：BF2=DF-DB；

（2）如果AF=2FC,S酗彩ABCD=18,求SADCE的值.

【分析】（1）证明△ABFgACA。（ASA）,由全等三角形的性质可得出BF=AD,证

明△ADbsa&M,由相似三角形的性质得出矣%,则可得出结论；

BDAD

（2）证明△OCFs^BAF,由相似三角形的性质得出与其然=《，设1比F=尤，

ABAFBF2

则S^ABF—^X,由四边形ABC。的面积可得出x+2x+2x+4x=18,求出

x=2,求出三角形ABC的面积，证明△A5CS2\OCE,由相似三角形的性质得出

维=（普）2=）,则可得出结论.

^ADCE"4

【解答】（1）证明：:△A3c和△OC石都是等边三角形,

：.AB=AC,NBAC=/DCE=/ACB=6U°,

又丁ZABD=ZCADf

：.AABF^ACAD（ASA）,

；.BF=AD,

ZADF=ABDA,ZABD=/CAD,

・・・AADF^ABDA,

・ADDF

••—，

BDAD

:・AU=DF・BD,

・・・3/=O/・B0；

(2)解：VZACB=ZDCE=60°,

AZACD=60°,

ZACD=ZBACf

：.AB//CDf

：.△DCFs/\BAF,

,DCJF=1

**AB=AF'BF-T

S

・S^DCF二(CF)2=1APCF1SADCF1

2ABAF研4SAADF2SABCp2

S^DCF—X,贝IjSZXAD尸=SZ\BCF=2X,SAABF=4X,

*»*S四边形ABCD=18,

x+2x+2x+4x=18,

解得x=2,

.*•S/^ABF=8,SABCF—4,

**.SAABC—S^ABF^-S^BCF=8+4=12,

・・・△ABC和△OCE都是等边三角形，

AABC^ADCE,

.SAABC_,AB,2_1

2ADCEDC4

"SADC£=7SAABC=^X12=3-

24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax1+bx+c(aWO)经过点A(-1,0)、B

(3,0)、C(0,3),顶点为点。.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)联结2。、CD,试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；

(3)抛物线上是否存在点P,使得NFAC=45°,如果存在，请求出点尸的坐标；如果

不存在，请说明理由.

【分析】(1)将点A(-1,0)>B(3,0)>C(0,3)代入丁=〃%2+加；+0,即可求解；

(2)先判断△BCD是直角三角形，在RtzXBCD中求tan/CBD=理=《，RtAACO

BC3

中，tanZACO=—,可得/AC0=/C3D,即可证明△ACOS/^DBC；

3

(3)设AP与y轴交于点与过E点作E/，AC交于尸，贝！JEF=AR在Rt^ACO中，

tan/ACO=4=岩，设跖=x,则CF=3x,AF=x,则AC=4x=J]d求得x=g^，

则可求CE=d=',EO=g所以欧0,白)，即可求出直线AE的解析式为尸小+口，

乙乙乙乙乙

，可求尸且工).

224

y=-x^+2x+3

解：(1)将点A(-1,0)、3(3,0)、C(0,3)代入丁=加+笈+c,

a-b+c=0

•・49a+3b+c=0»

c=3

a=-l

，,b=2，

c=3

；.y=-x2+2x+3,

\"y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

顶点。(1,4)；

(2)相似,理由如下:

VA(-1,0)、2(3,0)、C(0,3),D(1,4),

:.BC=3®,CD=®,BD=2娓,

：.BI)1=CI)1+BC1,

AZBCD=90°，

・.・OC=3,0A=1,

ZAC0=ZCBD,

：.AACO^ADBC；

(3)存在，理由如下：

设AP与y轴交于点区过后点作MLAC交于产,

VZCAP=45°,

：.EF=AF,

在Rt/VlCO中，tanNACO=』，

3

.1EF

,,京—=而'，

设贝IJCF=3x,AF=x,

.\AC=4x,

•・・AO=1,CO=3,

-'-AC=/10，

，标=近5，

.r-7To

4

,—5

••CE=1O=—,

51

：.EO=3--=—,

22

：.E(0,4),

设直线A