黄冈中学高考数学立体几何题库301-600题

黄冈中学高考数学真题模拟题立体几何题库

301.正三棱柱ABC—ABC的侧面三条对角线ABi、BG、CAi中,AB」BC.求证:ABLICAI.

解析：方法1如图,延长BC到D,使GD=BC.连CD、AD因AB法BG,故AB」CD；又BC=AQ=3如故

ZB1A,D=90",于是DA」平面AABB.故AB」平面ACD,因此AB」AC

方法2如图，取AB、AB的中点Di、P.连CP、CD、ARD.B,易证CD_L平面AABB.由三垂线定理可得ABi

±Bl)i,从而ABilA,1).再由三垂线定理的逆定理即得AB,±A,C.

说明证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：

(1)利用线面垂直的定义；

(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；

(3)证明直线平行于平面的垂线；

(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.

302.已知：正三棱柱ABC—A，B，C中，AB，±BC,,BC=2,求：线段AB'在侧面BB'C'C上的射影长.

解析:如图,取BC的中点D.•••AD_LBC,侧面3」底面ABC,...AD，侧面BCC'B'B'D是斜线AB'在

侧面的射影.又二皿'_LBC',.

设BB'=x,在RtA8'8。中，BE：BD=BB',B'D^y!\+x2.

是ABB'C的重心....BE=」BC'

3

1

/.x=—71+x2•Vx2+4,解得：x=V2.

3

・・・线段AB'在侧面的射影长为行.

303.平面a外一点A在平面a内的射影是A，，BC在平面内，ZABAZ=0,乙NBC=0、NABC=y,求

证:cosY=cos0,cosB.

解析：过A'作A'CUBC于C'，连AC'.

•:AA'，平面a,BC垂直AC在平面a内的射线A'C.

BC'

・・・BC'_LAC',cos/

~AB

46BC

又Vcos0=----,cosB

AB

Acos/=cos9,cos3.

304.AABC在平面a内的射影是AA'B'C',它们的面积分别是S、S',若△ABC所在平面与平面a所成二

面角的大小为。（0<9<90°=,则S'=S,cos0.

•:AA'，平面a,AD在平面a内的射影A'D垂直BC.

2

.\AD±BC..\ZADA,=0.

IiA'n

又S'=—A'D,BC,S=—AD•BC,cos9------,；S=S,cos0.

22AD

证法二如图（2）,当B、C两点均不在平面a内或只有一点（如C）在平面a内，可运用（1）的结论证明S'=S-cos

6.

305.求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.

证明如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ,PQ的中点是M,过M作平面a,使PQ,平面a,且和AB交

于R,连结AQ,交平面a于N.连结MN、NR.：PQ_L平面a,MNua,，PQ_LMN.在平面APQ内，PQ±a,PQ±MN,

，MN〃a,a〃a,又；PM=MQ,；.AN=NQ,同理可证NR〃b,RA=RB.

即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.

306.如图，已知直三棱柱ABC—ABG中，NACB=90°,NBAC=30°,BC=1,AA尸屈，M是CG的中点,

求证：ABi±AiM.

解析：不难看出平面AAGC,AG是ABi在平面AACC上的射影.欲证AiMLABi,只要能证AiMLAG就可以

了.

证：连AG,在直角AABC中，BC=1,ZBAC=30°,

AC—AiCi—y/3.

设NACA=a,NMAN=B

3

tana=9=平

=V2,

AGV3

屈

MC]V2

tgB

2

..,0、l—tanatanP

：cot(a+B)=-----------f—

tana+tan0

...a+8=90°BPAC)±AiM.

VBiCilCiAuCG_LBC,...BC」平面AAG3,

AC,是AB,在平面AA.C.C上的射影.

VACi±A,M,...由三垂线定理得AM_LABi.

评注：本题在证AG,AM时，主要是利用三角函数，证a+B=90°,与常见的其他题目不太相同.

307.矩形ABCD,AB=2,AD=3,沿BD把ABCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.

(1)求证：CD±AB；

(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.

(1)证明如图所示，；CM_L面ABD,AD±AB,

ACDIAB

⑵解：;CM，面ABD

,ZCDM为CD与平面ABD所成的角，

cosZCDM=-

CD

4

作CNLBD于N,连接MN,则MNJ_BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得

DM：CD=CD:CA=AB：AD=2：3.

2

ACD与平面ABD所成角的余弦值为一

3

308.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，NPBA=45°,NPBC=60°,M为AB的中点.（1）求BC

与平面PAB所成的角；（2）求证：ABJ_平面PMC.

解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.

解PA1AB,AZAPB=90°

在RtAAPB中,VZABP=45°,设PA=a,

则PB=a,AB=V2a,VPB±PC,在Rt△PBC中，

VZPBC=60°,PB=a.，BC=2a,PC=ga.

VAP±PC.♦.在RtAAPC中，AC=」PA?+PC?=《a?+《a)，=2a

(1)VPC1PA,PC_LPB,，PC_L平面PAB,

ABC在平面PBC上的射影是BP.

ZCBP是CB与平面PAB所成的角

VZPBC=60°,...BC与平面PBA的角为60°.

⑵由上知，PA=PB=a,AC=BC=2a.

为AB的中点，则AB_LPM,ABICM.

平面PCM.

5

说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.

309.在空间四边形ABCP中，PA±PC,PB±BC,AC±BC.PA.PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。(1)

直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h,求点P到直线AB的距离.

解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象

力及推理能力.

解⑴AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC_LAB,作PH_L平面ABC于H,则HC是PC在平面ABC的射影，

AHCIAB,VPA,PB在平面ABC的射影分别为HB、HA,PB±BC,PA±PC.

ABHIBC,AH±AC

•.•AC_LBC,.•.平行四边形ACBH为矩形.

VHC±AB,...ACBH为正方形.

.♦.HB=HA

；PH_L平面ACBH.APHBgAPHA.

/.ZPBH=ZPAH,且PB,PA与平面ABC所成角分别为NPBH,NPAH.由已知NPBH=45°,ZPAH=30°,与N

PBH=/PAH矛盾.

.'.PC不垂直于AB.

（2）由已知有PH=h,/.NPBH=45°

；.BH=PH=h.；/PAH=30°,/.HA=73h.

矩形ACBH中，AB=^BH2+HA2=护而后=2h.

HBHAh-73/1V3

作HE_LAB于E,AHE=----------=----------=——h.

AB2h2

6

：PH_L平面ACBH,HE±AB,

由三垂线定理有PELAB,.'PE是点P到AB的距离.

在Rt△PHE中，PE=y]PH2+HE2=卜+吟h?=g鼠

即点P至1JAB距离为一h.

2

评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛

盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.

310.平面a内有一个半圆，直径为AB,过A作SAJ_平面a,在半圆上任取一点M,连SM、SB,且N、H分别

是A在SM、SB上的射影.(1)求证：NHLSB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角

三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.

解⑴连AM,BM.•rAB为已知圆的直径，如图所示.

AAMIBM,

•；SAJ_平面a,MBua,

ASA±MB.

VAMASA=A,，BMJ_平面SAM.

•：ANu平面SAM,

.*.BM±AN.

；AN_LSM于N,BMDSM=M,

7

，AN_L平面SMB.

：AH_LSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影

ANHISB.

⑵由⑴知,SA_L平面AMB,BMJ_平面SAM.AN_L平面SMB.

YSBlAH且SB_LHN.

；.SB_L平面ANH.

.♦.图中共有4个线面垂直关系

⑶：SA_L平面AMB,

ASAB、ASAM均为直角三角形.

：BM_L平面SAM,ABMA,ABMS均为直角三角形.

；AN_L平面SMB.AANS、AANM、AANH均为直角三角形.

：SBJ_平面AHN..'.△SHA、ABHA>ASHN均为直角三角形

综上所述，图中共有10个直角三角形.

(4)由SA_L平面AMB知:SA±AM,SA1AB,SA1BM；

由BM_L平面SAM知：BM1AM,BM±SM,BM1AN；

由AN_L平面SMB知：AN±SM,AN±SB,AN±NII；

SBJ_平面AHN知：SB±AH,SB1HN；

综上所述，图中有11对互相垂直的直线.

311.如图，在棱长为a的正方体AG中，M是CG的中点，点E在AD上，且AE=』AD,F在AB上，且AF=」AB,

33

求点B到平面MEF的距离.

8

解法一：设AC与BD交于0点，EF与AC交于R点，由于EF〃BD所以将B点到面MEF的距离转化为0点到面

MEF的距离，面MRC_L面MEF,而MR是交线，所以作OH_LMR,即OHJ_面MEF,0H即为所求.

VOH•MR=OR•MC,

.•.04.

59

解法二：考察三棱锥B—MEF,由VBTEF=V„可得h.

点评求点面的距离一般有三种方法:

①利用垂直面;

②转化为线面距离再用垂直面;

③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.

312.正方体ABCD—A底CD的棱长为a,求AC和平面AB£间的距离.

解法1如图所示，AC〃平面ABC又平面BBiDD」平面ABC

故若过Q作OIELOBI于E,则0E」平面ABC0正为所求的距离

由OiE•OBi=O)Bi,OOi,

a

可得：0正=咨

3

解法2：转化为求G到平面ABiC的距离，也就是求三棱锥C,—AB,C的高h.

由VG-gc=VA-8QG，可得h=等a.

解法3因平面ABC〃平面CDA”它们间的距离即为所求，连BD”分别交BQ、DOi与F、G（图中未画出）。易

9

证B%垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得

点评（D求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离,

有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.

313..已知：anB=CD,EA1a,EB±B,求证：CD1AB.

EA_La

CDUa

证明：EB_LpcCDJ_平面

OURABU平面

314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.

已知：a/7b,aOa=Ai,bD0=Bi,Z0i>N。2分别是a、b与a所成的角.如图，求证：Z0i=Z02.

证：在a、b上分别取点A、B.如图,且AA尸BBi,连结AB和AB.

VAAi^BBi

・・・四边形AABB是平行四边形.・・・AB〃AB

又ABua.・.AB〃a.

设AA2±a于A2,BB2±a于B2,则AA2=BB2

在RtAAA也与放ABB出2中AA2=BB2,AAI=BBI

.,.RtAAAiA2^RtABBIB2

・・・ZAAIA2=ZBBIB2

10

即Zo,=zo

315.经过•个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射

影是这个角的平分线所在的直线.

已知：ZABC<Za,P^a,ZPBA=ZPBC,PQ±a,QGa,如图.

求证：ZQBA=ZQBC

证：PR_LAB于R,PS_LBC于S.

则：NPRB=/PSB=90°.

VPB=PB.ZPBR=ZPBS

；.RtAPRB丝RtAPSB

APR=PS

•••点Q是点P在平面a上的射影.

.*.QR=QS

又；QR_LAB,QS±BC

ZABQ=ZCBQ

316.如图，E、F分别是正方体的面ADDA,面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能

是（要求：把可能的图的序号都填上）

解•••四边形BFME在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四

边形的投影图形为②，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为③，在前后侧面上四边

11

形投影图形也为②.故应填②③.

①②③④

317.如图,ABC—ABC是直三棱柱,NBCA=90°,点D“R分别是AB,A£的中点，若BC=CA=CG,则

BDi与AM所成角的余弦值是()

V30

解连DE,则DF」AiCi,又BC_LCA,所以BD在平面ACCA内的射影为CR,设AC=2a,则BC=CG=2a.取

BC的中点E,连EFi,贝!]EF〃BDi.

CF}_45a_45

/.cos0I=COSZEFIC=

EF1娓aV6

（限产+（右）2-（2a）2_3

cos02=COSZAFIC=

5

…….…总二=叵应选A.

V6510

318.(1)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影0

在AABC内，那么0是AAB(^T()

A.垂心B.重心C.外心D.内心

12

(2)设P是AABC所在平面a外一点，若PA,PB,PC与平面a所成的角都相等，那么P在平面a内的射影是A

ABC的()

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解(1)利用三垂线定理和三角形全等可证明。到AABC的三边的距离相等，因而0是AABC的内心，因此选D.

(2)如图所示，作PO_L平面a于0,连0A、OB、0C,那么/PAO、NPBO、NPC0分别是PA、PB、PC与平面a所

成的角，且已知它们都相等.

RtAPAO^RtAPBO丝RtAPCO.

；.OA=OB=OC

应选B.

说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.

319.已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GCL平面ABCD,且GC=2,求点B到平面

EFG的距离.

解析：注意到直线BD〃平面EFG,根据直线和平面的距离在B0中点0的距离等于B到平面EFG的距离.

解连结AC、BD,设交于0,F分别是AB、AD的中点.

/.EF/7BD

.♦.BD〃平面EFG,设EFflAC=M.

13

则M为0A的中点.

13

又AB=4；.AC=4后，M0=-AC=41,MC=-AC=372

44

：GC_L平面ABCD

AGCXCA,GC1EF

又EF_LAC,GCnAC=C.

...EFJ_平面GCM.

.•.过0作OH_LGM于H,则OH_LEF.

又OH±GM

故OHJ_平面EFG.

在RtAGCM中，GM=yjGC2+CM2=汇+^^=后.

rrCHCH

X*.*OH±GM./.sinZGMC=----=sinZHM0=-----=——

GMOMV2

2_2vn

；.0H=V2,,—

V2211

AB点到平面GEF的距离为名叵

11

说明本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.

320.已知两条异面直线a,b所成的角为。，它们的公垂线段AAi的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,

设AiE=m,AF=n.求证：EF=+42+d>±2加〃cos。

14

A,E

解过A作a'Ha.

VAAt±a,・・.AiA_La'

AAAi±b,a/Pb=A

・・・AiA垂直a'、b所确定的平面a.

•:a"a'.・・a、a'能确定平面B,在B内作EH〃AA交a’于H.

■:a〃a'，・・・A】AME为平行四边形.

，AiA=EH=d,AH=AiE=m

VAiAlaAEH±a.

・・・FHua,・・・EH_LFH.

在Rt△FHE中，EF=4EH2+FH2=y]d2+FH2

Va,//a：.a'与b的夹角为0.

即NHAF=9,此时AH=m,AF=n.

山余弦定理得Fir'=m>nJ-2mncos0

I.EF=y/m2+n2+d2-2mncos0

当F（或E）在A（或AJ的另一侧时，同理可得

EF=J"?？+n2+d2-2m〃cos（万-6）=yjm2+J2+2加〃cos。

综匕所述，EF=J+〃2+/2±2加〃cos。

15

321.如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM：FN=

AC：BF,求证:MN〃平面CBE.

解析：欲证MN〃平面CBE,当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比

例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.

证：连AN并延长交BE的延长线于P.

,/BE〃AF,ABNPSAFNA.

FNAN,,,FNAN

••,则

NBNPFN+NBAN+NP

FN_AN

即~FB~~AP'

AM_ACAM_FN

又

FNBFACBF'

AM_AN

ACAP'

MN〃CP,CPU平面CBE.

MN〃平面CBE.

322.一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.

已知：aCB=a,1〃(1,1〃6.求证：l〃a.

16

解析：由线面平行推出线线平行，再山线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.

证明：过1作平面交a于b...T〃a,由性质定理知l〃b.

过1作平面交B于c.•.T〃B,由性质定理知l〃c.

二b〃c,显然cuB.b〃B.

又bua,aCB=a,/.b//a.

又l〃b.

1/7a.

评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.

323.如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP：PC=1：2,SQ：SB=2：3,

SR：RD=2：1.求证：SA〃平面PQR.

解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找•条直线与AS平行即可.

证：连AC、BD,设交于0,连S0,连RQ交SO于M,取SC中点N,连ON,那么ON〃SA.

,.SQ_SR_2

•7BSD~3

.•.RQ/7BD

.SM2Hsp2

••--=-而----=-

SO3SN3

,:SA〃0N.工SA〃PM,PMU平面PQR

17

，SA〃平面PQR.

评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.

三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

324.证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.

证明如图，设直线a〃平面a,点Ada,Ae直线b,b〃a,欲证bua.事实上，•.•b〃a,可确定平面B,B

与a有公共点A,a,B交于过A的直线c,；a〃a,；.a〃c,从而在B上有三条直线，其中b、c均过点A

且都与a平行.于是b、c重合，即bua.

325.S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE：AD=CF：CD,BE与AS

相交于R,BF与SC相交于Q.求证：EF〃RQ.

证在AADC中，因AE：AD=CF：CD,故EF〃AC,而ACu平面ACS,故EF〃平面ACS.而RQ=平面ACSC平面

RQEF,故EF〃RQ（线面平行性质定理）.

326.已知正方体ABCD—A'B'CD'中，面对角线AB'、BC'上分别有两点E、F且B'E=C'F求证：EF

〃平面AC.

18

解析：如图，欲证EF〃平面AC,可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.

证法1过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N,连接MN

VBB,_L平面ACBB'_LAB,BB'±BC

AEM±AB,FN±BC

，EM〃FN,VAB/=BC',B'E=C'F

.♦.AE=BF又/B'AB=ZCzBC=45°

.♦.RtAAME丝RtABNF

；.EM=FN

•••四边形MNFE是平行四边形

，EF〃MN乂MNu平面AC

；.EF〃平面AC

证法2过E作EG〃AB交BB'于G,连GF

B'EB'G

B'AB'B

VB,E=C'F,B'A=C'B

C'FB'G

.•.FG〃B'C'〃BC

XVEGAFG=G,ABABC=B

二平面EFG〃平面AC

又EFu平面EFG

19

，EF〃平面AC

327.如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB〃平面EFGH；(2)CD

〃平面EFGH

证明：(DYEFGH为平行四边形，...EFaHG,

HGU平面ABD,；.EF//平面ABD.

：EFu平面ABC,平面ABDC平面ABC=AB.

；.EF〃AB,；.AB〃平面EFGH.

(2)同理可证：CD〃EH,；.CD〃平面EFGH.

评析：由线线平行n线面平行n线线平行.

328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.

已知：a〃b,aPia=A,求证：b和a相交.

证明：假设bua或b〃a.

若bua,：b〃a,；.a〃a.

这与aCa=A矛盾，.'.bua不成立.

若13〃<1,设过a、b的平面与a交于c.

20

・.・b〃a,・・・b〃c，又a〃b:・a〃c

，a〃a这与ada=A矛盾.；.b〃a不成立.

・・・b与a相交.

329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.

已知：a〃b,aua,buP,aA0=c.

求证：c〃a〃b

证：卜=>auaync〃a"b

bU可anB=cJa〃tj

330.在下列命题中，真命题是（）

A.若直线m、n都平行平面a,则m〃n;

B.设a—1一B是直二面角，若直线m_Ll,则m_Ln,m±g；

C.若直线m、n在平面a内的射影是一个点和一条直线，且m_Ln,则n在a内或n与a平行；

D.设m、n是异面直线，若m和平面a平行，则n与a相交.

解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面

垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在a内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异

面直线平行，故不正确；应选C.

331.设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（）

A.有且仅有一条直线与a、b都垂直

B.有一平面与a、b都垂直

21

C.过直线a有且仅有一平面与b平行

D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交

解析：因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则a〃b

不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a（或b）确定的平面与另一条直线b（或a）平行，则过点与a相交的直

线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.

332.三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平

行.

已知：aD0=a,any=b,/Da=c.

求证：要么a、b、c三线共点，要么a〃b〃c.

证明：①如图一，设aCb=A,

aDp=a.

，aua而AWa.

a.

又BDy=b

.♦.buy,而AWb.

AAe/.

则ACa,AS/,那么A在a、7的交线c上.

从而a、b、c三线共点.

②如图二，若@〃1）,显然cuy,buy

22

，a〃y

而aUa,an/—c.

a〃c

从而a〃b〃c

333.一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果

把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度*,那么木梁升高多少？

解析：设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB=a,MA〃NB,MA=NB=b,NA=/B=90°.

设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么Lu平面MANB,木梁绕L转动角度©后位于CD位置，T为CD中点，那

么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.

在平面MANB中，作TK〃AB,交MA于K,则AK=ST.

设ST=x,WlJx=b-KM.XKT=CT=-,ZKTC=<1),有KC=asin幺.

22

从而KM=^b2-a2sin2-.

.\x=b-^b2-a2sin2.

334.(1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：()

A.棱柱有一条侧棱与底面垂直

B.棱柱有•条侧棱与底面的两条边垂直

C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直

D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直

23

解析：根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.

说明解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.

335.长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为。、6、Y.

求证：cos2a+cos2P+cos2Y=1

解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.

证明:设对角线BJ)与长方体的棱AD、DC、DE所成的角分别为a、6、丫,连结AB1、CB,,DB,则ABDA、

ABiDC>ABJ)Di都是直角三角形.

DA°DCDD.

"."cosa=----,cosP=----,cosY=-----

DB]DB、DB、

22

・222DA+DC+DD；

..COSa+cos3+cosY=------------=1

DB；'

评析：这里运用了长方体对角线长定理.

336.在三棱柱ABC—ABG中，已知AB=AC=10cm,BC=12cm,顶点儿与A、B、C的距离等于13cm,求这棱柱

的全面积.

解析：如图,作AQJ_平面ABC于0,•.•AiA=AiB=AC.•.OAnOBnOC,二0是AABC的外心，•.’△ABC等腰，二

24

AOLBC于D,AAA.1BC,AB^IBC,四边形B】BCG为矩形，JS矩形时=地•13=156((^),AAIAB底边上高

222

AiE=V13-5=12,SAABB—SAACC=120(cm),SAABC==—•12•8=48(加)，S全=156+2•120+2

x-Azi|j

X48=492(cm2)

337.在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c,这三条棱长分别是a,b,c,这三条棱中每两条成

60°角，求平行六面体积.

解析：如图，设过A点的三条棱AB,AD,AAi的长分别是a,b,c,且两面所成角是60°,过N作AF，平面ABCD,

H为垂足,连HA,则NHAB=30°,由课本题得:

cosZAiAB=cosZAiAII,cosZIIAB,

cosZA,A5_cos60°屈

/.cosZAiAH=乌sin〃AH=

cosNHABcos30°3

.­H=absin6。。•…in4AH=2bc.

2

338.在棱长为a的正三棱柱ABC—ABC中，0、0i分别为两底中心，P为00i的中点，过P、BnG作一平面与

此三棱柱相截，求此截面面积.

25

解析：如图，；AA」面ABC,AA^OO,,设过P、Bi、G的截面与AAi的延长线交于Q,连结AQi延长交BC

于D,连QD,则P必在QD上，I'Oi为△ABG的中心，P为00i的中点，故----=-----=—,Q在AiA延长

QA,DA,3

线上且QA=POi,又QBi交AB于E,QG交AC于F,贝UEF〃BC,所以截面为EFBC是等腰梯形，又QAi：QA=3：

1,•'-EF=y设QD与EF交于H,得QDLBC.因此HD为梯形EFCB的高.DQ=也旧157：/a,；.HD=

2-\/3c1.ax.2>/3.4>/32>1v-Tr

----a.SEFCB~—（a+—）*（----a）=----a为所求截面积.

3112339

339.如图，已知正三棱柱ABC—ABC的各棱长都为a,D为CC的中点.

（1）求证：AB_L平面ABD

（2）求平面ABDq平面ABC所成二面角的度数.

解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.

解（I）：•正三棱柱的各棱长都相等，

侧面ABBA是正方形.

.*.AB_LABi.连DE,

VABCD^AAiGD,

/.BD=AiD,而E为AB的中点,

AB_LDE..•.AB_L平面AB,D.

⑵延长Ad）与AC的延长线交于S,连BS,则BS为平面ABD和平面ABC所成二面角的公共棱.

VDC/7A.A,且D为CCi的中点，；.AC=CS.

又AB=BC=CA=CS,.../ABSugO。.又AB是AB在底面上的射影，由三垂线定理得

26

，ZAiBA就是二面角Ai—BS—A的平面角.

VZAiBA=45°,

二平面ABD和平面ABC所成的二面角为45。.

评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面ABD和平面ABC的交线，在论证ABLBS时，用到了直角三角形斜边

上的中线性质定理的逆定理.当然⑵还可以用S时=5•cos。来解。.

340.如图，已知正三棱柱ABC—ABC的底面积等于上cm?,D、E分别是侧棱BB,3c上的点，且有EC=BC

=2DB,试求

(1)四棱锥A—BCDE的底面BCED的面积

⑵四棱锥A—BCED的体积

⑶截面ADE与底面ABC所成二面角的大小

⑷截面ADE的面积

解析：利用三棱柱的性质及已知条件，（1）、（2）、（4）不难推算，至于（3）,可设平面ADE与平面ABC所成二

面角为a,观察到AADE在底面ABC的射影是AABC（；DB_L平面ABC,EC平面ABC）应用SAABCUSA,™：•cosa,

可求出a.

Ii

2

解：设AABC边长为x,VSAABC=---x=V3..,.x=2,于是EC=BC=2,DB=—BC=1,/.SBCED=—（2+1）•2

422

=3,作AF_LBC于F

I]

AF_L平面BCED,VA-BCEI）——,AF•SBCEI>>VA-BCEI»——,-------,2•3--^3

332

在RtAABD中，AD2=AB2+DB2=22+1=5；在Rt梯形BCED中，DE?=（CE-DB）2+BC?=5

.•.AD=DE=J?，•••”口£是等腰三角形，作DQ'AE于Q,则Q为AE的中点

27

在RtAACE中，AE2=EC2+AC2=8,DQ2=AD2-AQ2=(75)-(-V8)2=3

2

/.AE=V8,DQ=-J3,SaAw：=—,AE•DQ=A/6

2

设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为a,D、E分别在底面的射影为B、C,二△ABC的面积=AADE面积X

cosa

即=Ccosa,cosa=,/.a=45°

2

答(l)SBCED=3cm2,(2)%诋皿=J^cnA(3)截面ADE与底面ABC成45°的二面角，(4)SA*E="cm?

341.在三棱柱ABC—ABC中，AB=72a,BA=CA=AA1=a,A.在底面AABC上的射影0在AC上。

⑴求AB与侧面AG所成的角

(2)若0恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积

解析：(l)A,O±ffiABC,BCu面ABC,；.BC_LAQ,又；BC=CA=a,AB=JIa,二AABC是等腰直角三角形，二

BCJLAC,..飞(：_1_面人弓，故NBAC为BA与面AG所成的角，则有/BAC=45°,即AB与侧面成45°角。

后

⑵若。恰为AC中点，VAA1=a,AC=a,AA0=-2,A.0=—2a,SORWC|C£>K]=a,作ODLAB于D,连结AD由三垂

/y/y____________

线定理得AQJ_AB,在RtAAOD中，0D=0AsinZBAC=-•一=—a2,在RtAAQD中，A,D=JA,O2+OD2

224y1

Sabb,a=2

=，''2^2a•亚•a=¥a?,S三棱柱0M=|(2+V3+V7)a

342.已知异面直线a、b成60。角，过空间一点p,与a、b也都成60。角的直线，可以作()

A.1条B.2条C.3条D.4条

解析：C

28

343.已知a-//是直二面角，直线a1a,直线匕6