2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册同步练习-强化练7　双曲线的综合问题

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册

第二章平面解析几何

专题强化练7双曲线的综合问题

1.（多选）（2020江西新余期末）已知中心在原点,且关于坐标轴对称的双曲线M的

离心率为且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M的方程可能

是（）

A二巴］B.巴之1

2424

"22D2."2i

4242

22

2.（2022河北保定二中期末）已知双曲线C曝竟=1的左、右焦点分别为FF,P

3664b2

为C的右支上的点,且PF2=F1F2,则△PFF2的面积等于（）

A.192B.96C.48D.102

3.（多选）（2020山东章丘四中期中）已知3,F2分别是双曲线C:x2-y2=l的左、右

焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且西­隹=0,则下列结论正确的

是（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=±x

B.以FE为直径的圆的方程为x2+y2=l

C.点储到双曲线的一条渐近线的距离为1

D./kPFE的面积为1

22

4.（2020湖北襄阳二中段考）设点F/2分别是双曲线C:》$l（a>0）的左、右焦

点,过点储且与X轴垂直的直线1与双曲线C交于A,B两点.若AABF2的面积为

2V6,则该双曲线的渐近线方程为（）

B+

X-V3一X

--3

y-0

Xy--+2X

D.-

一

5.（2020河北衡水期中）已知3,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个

公共点,且IPF2|>]PFJ,椭圆的离心率为eb双曲线的离心率为e"若1PF」=|FR|,

则3+号的最小值为（）

3

A.4B.6C.4+2&D.8

6.下列三个图中的多边形均为正多边形，此N是所在边的中点,双曲线均以图中的

Fx,F2为焦点,设图①②③中双曲线的离心率分别为ebe2,e3,则ebe2,e,的大小关

系为（）

A.ei>e2〉e3B.ei〈e2〈e3

C.e2=e3〈e】D.e1=e3>e2

2

7.（2020甘肃兰州期末）如图,储,F2是双曲线3:x-^-=l与椭圆C2的公共焦点，点

A是3,C2在第一象限的公共点.若IFEI=IRA|,则椭圆C2的离心率

是_______

”2

2

8.（2020山西太原模拟）已知双曲线x-^-=l的左、右焦点分别为储,F2,离心率为

e,若双曲线上一点P,使四喑?=e,则可•耳耳的值为

S1HZ-rr2------------

答案与分层梯度式解析

第二章平面解析几何

专题强化练7双曲线的综合问题

1.AB焦点到一条渐近线的距离为b,所以b=2,因为所以a2=2,

所以该双曲线的方程为于91或六$1•

22

2.A由题意得a=6,b=8,则c=Va+fe=10,则|PF21=IFR|=20,由双曲线的定义可

得|PF』二|PF?|+2a=20+12=32,

所以△PFR中PF1边上的高为师百=12,所以△PFE的面积为3X32X12=192,

故选A.

3.ACD由已知得a=b=l,c=V2,因此渐近线方程为y=±x,以FE为直径的圆的

方程为x?+y2=2,点F倒双曲线的一条渐近线的距离为b=l,由何­画=0得

NFFF2=90。，所以APFE的面积为一^=嘉-1,故A、C、D正确,B错误.

tan2

4.P设储(-c,0),A(-c,y0)^^-9l,

•yg_c2_i_c2-a2_b2_2

••1我一五

*',yo=^IAB|=21yoI=^,

又S“BF2倔.《X|AB|X2c=iX^X2c=^=2V6,

•c_V6•b_ic^~_V2

••丁万，・•丁［葭-1—E，

•••该双曲线的渐近线方程为y二土当x.故选D.

5.D设FR=2c,椭圆的长轴长为2ab双曲线的实轴长为2a2,则PFj=2C,由椭

圆的定义得IPF2|=2a-2c,由双曲线的定义得IPF21=2a2+2c,因此2a-2c=2a2+2c,即

a「a2=2c,则35=2,于是＞尹3©+2)+/6+尹系26+2・历=8,当且仅当，争即

e2=3时等号成立,故所求最小值为8.

6.P①设等边三角形的边长为2,

以底边所在直线为X轴,以底边的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图

①，

则双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),

•••N&苧)到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是a1,

又点N在双曲线上,.・.a=等，

X***c=l,.*•ei=-yi-=V3+l.

②设正方形的边长为近，

分别以两条对角线所在直线为X轴和y轴,建立平面直角坐标系，如图②,

则双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),

•••点昭为到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是手途,

又点N在双曲线上,.■=耍,

又.=]=VIU+北

C1,..©2--同@2

③设正六边形的边长为2,

以FE所在直线为x轴,FE的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，如图③,

则双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),且过点(1,V3),

•••点(1,二)到两个焦点(-2,0),(2,0)的距离分别为2V5,2,••a=V3-1?

又.c=2,..e3=^|^-=V3+l.

综上所述,el=©3>02.故选D.

7.答案|

解析设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a尸2,焦距为2c=4,由于

FE=|FA，所以FA=4,由椭圆的定义可得AF2|=2a-4,由双曲线的定义可得

AF2|=4-2=2,所以2a-4=2,解得a=3,所以椭圆C2的禺心率e=|.

8.答案2

解析由双曲线方程x2-f=l得a=l,c=2,由双曲线的定义得耐-