12.3.1-角的平分线的性质-

第十二章

全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时

角的平分线的性质1课堂讲解角的平分线的画法角的平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？AOBC再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？对折1知识点角的平分线的画法知1－导下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD

沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？（来自教材）ABDCE知1－讲证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角

形的对应角相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE作已知角的平分线的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，

交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长

为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).知1－讲（来自教材）作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为(

)A．大于CDB．等于CDC．小于CD

D．以上答案都不对知1－练（来自《典中点》）A如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.知1－练（来自《点拨》）导引)：要作射线OM，使∠AOM＝∠AOB，其实质是作

∠AOB的平分线．作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，

交OB于点F；(2)分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，

两弧在∠AOB的内部交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求(如上图所示)．知1－练（来自点拨）2知识点角的平分线的性质知2－导如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P

画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.

通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？（来自教材）ABOPCDE1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.书写格式：

如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.

知2－讲（来自《点拨》）知2－讲BADOPEC定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.如图,∠AOC=∠BOC，点P

在OC

上，PD⊥OA,PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,

OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.知2－讲（来自教材）知2－讲例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分

∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，

求证：BD＝DF.

导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的

△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一

角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这

可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．（来自《点拨》）在△BDE和△FDC中，DE=CD,∠DEB=∠C,BE=FC,∴△BDE≌△FDC,∴BD=DF.证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，

∠C＝90°，∴DE＝DC.知2－讲（来自《点拨》）总

结知2－讲由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法．（来自《点拨》）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA

和OB的距离相等.知2－练（来自教材）解：如图，过O作∠AOB的平分线，与直线MN交于点P，

点P即为所求作的点．知2－练（来自教材）知2－练（来自《典中点》）2如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD

平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

A如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．知2－练（来自