高中数学总复习四十三讲（下）

第三十四讲

分类计数原理与分步计数原理

最对本部分内容的考查呈现以下特点：

新1.分类计数原理和分步计数原理是排列组合问题的基础和依据，虽然不是每年都单独命题，但是

命其中的思想贯穿于整个排列组合中.

题2.考杳内容：两个原理.

特3.考查形式：选择题居多，通常是贯穿于排列组合的其他题目中出现.难度一般不大，属于中低

点档题型.

预计：典型例题仍然要有题目涉及，综合出现在解答题中的可能性较大.

应两个原理看起来简单，但是要真正学会并能理解应用不是很容易的事，特别是两个原理的整合应

试用是高考中丢分的关键因素.

高

分

瓶

颈

命题点1分类计数原理（加法原理）

命题点2分步计数原理（乘法原理）

本类考题解答锦囊

命题点1分类计数原理（加法原理）

解答“分类计算原理”一类试题应注意：

1.分类计数原理是强调完成一件事情的几类方法互不干扰，彼此之间的交集是空集，并集是全集.不论哪类方法中的哪

一种方法都能单独完成这件事，办法中的各种方法也是相互独立的.

2.正确区分分步计数原理与分类计数原理.

I高考最新热门题

1（典型例题）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数学组成没有重复数字的四位数，其中能被5

整除的四位数共有——个.（用数字作答）命题目的与解题技巧：①本题主要考查分步计数原理与排列的基本知识.②抓住

0不能在首位且个位只能是0或5来讨论是正确解题的关键.

［解析］①当个位是0时、0_

CCA=4X3X4X3=144.

②当个位不是。且含0,5—

则个位必为5,先为0选位置.

CCCA=2X3X4X2=48.

③当不含0时，个位必为5,一一_5

CCA=3X6X3X2=108.

二共有144+48+108=300个.

［答案］300

2（2002•广东、河南）［文理］从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种B.12种C.16种D.20种

答案：C指导：甲一A-BfC-Df甲

由上表知A,D不为甲.

（1）若B为甲，则不同传法=4种.

（2）若B不为甲，而C为甲，

则不同传法C|xC|xCl=4种.

⑶若9不为甲，C不为甲，则以=2.

综上知，共有传球方法4+4+2=10种.

3(典型例题)从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条

线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则m等于

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

答案：A指导：若选择三个不同的数，(且不含0)共有&+A,+屑++A］=168种.

若选择三个不同的数(含0)共有8+7+6+5+…+1=36种若选择：个数，共有8+7+6+…+1=36种共有168+36+36=240

4(典型例题)在由数学1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

A.56个B.57个C.58个D.60个

答案：D指导：从01至10中连续选3个，共有8种选法，

从11至20个连续选2个，共有9种选法，

从21至30个选1个，共有10种选法，

从31至36中选1个，共有6种选法.

，共有8X9X10X6种号码

工共有8X9X10X6X2=8640元故选D.

5(典型例题)从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有一

个.(用数字作答)

II题点经典类型题

1(典型例题)等腰三角形的三边均为正数.它们周长不大于10.这样不同形状的三角形的种数为

A.8B.9C.10D.11

命题目的与解题技巧：①考查分类计数原理；②合理分类，注意条件“周长不大于10”

［解析］设三边为x,y,z,则x+y+zW10,由三边关系共有

(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(1.4,4),(2,2,2),(2,2,3),

(2,3,3),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4)共10种.

［答案］C

2(典型例题)三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有

A.6种B.8利，C10种D.16利，

3(典型例题)如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有

A.240个B.285个C.231个D.243个

4(典型例题)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，

从11至20中选2个连续的号，从21至扣中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊耍求的号买

全，至少要

A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元

m新高考命题探究

1如图34-1-1,花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的

花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案

/2I5\

A.180种B.240种C.360种D.420种/\

图34-1-1

D指导：⑴当1；2,4；3,5.仅三种花卉时,有国种.

⑵当1：2,4；3,5恰四种时，有短种.

⑶当1；2,4；3,5恰四种时,有丝种.

(4)当栽种五种时，有种.

2在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不

能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，那么有多少不同的试种方案？

分两类.04号地种4号小麦，1号地有2种试种方法，2、3号

地只有1种试种方法，，共有2种种法.②土地编号与小麦

编号都不相同，第1号土地有3种试种方法，若1号地种的

是第1.号小麦，则第1.号土地有3种种法，余下的两块地只有

1种种法，共有3X3=9种试种方法.由分类计数原理试种方

案共有2+9=11种.

命题点2分步计数原理(乘法原理)

本类考题解答锦囊

解答“分类计数原理”一类试题要弄清以卜两问题：

1.分步计数原理强调各个步骤缺一不可，需要一次完成所有的步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步使

用什么方法不影响后一步采取什么方法，也就是步与步之间相互依存，只有连续性，但每步中的不同方法却相互独立，互不

干扰.

2.通常把完成题设事件的所有方法分为若干个“互斥类”，又在同一类中将完成事件的方法分成若干个“独立步”，以

保证“不重、不漏

I高考最新热门题

1(典型例题)将3种作物种植在如图34-1-2,5块试验田里，每块种植一种作物且~

相邻的试验田不能种植同•作物，不同的种植方法共有一种。(以数字作答)|||||

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查分类、分步计数原理等基础知识，以及运用图34-1-2

所学知识解决实际问题的能力.②抓住了3种种子都种在试验田中这一特点，是正确解题的关键.

［解析］分别用a,b,c表示3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设先放入a,再安排第二块田有b或c两

种作物，有2种方法，不妨设放入A,F面对第三块田种。或c进行分类：

(1)若第三块田种c,则第四、五块田分别有2种方法，共2X2种方法；

(2)若第三块田种a,则第四块田仍有b或c两种作物可放；

①若第四块田放c,则第五块田有2种方法；

②若第四块田放b,则第五块田只能放c,有2种方法.综上，共有3x2x［2x2+(2+1)］=42种方法.

［答案］42

2(典型例题)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单

中，那么不同插法的种数为

A.42B.30C.20D.12

答案：A指导：第一步，先插入第一个节目，有6种插入法.

第二步，再插入第二个节目，有7种插人法.

故共有7X6=42种.

3(典型例题、河南)圆周上有2n个等分点(n>l),以其中：个点为顶点的直角二角形的个数为•

答案：2n(n—1)指导：2n(n—1)圆周上有2n个等分点，因此，有n条直径，每条直径为斜边，有2n—2个直角三角形,

故共有n-(2n-2)=2n(nT)个直角三角形.

4（典型例题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落

在点（3,0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）.

答案：5指导：设每次跳动的值为x（i=l,2,2,3,5）,则根据题意得5=3.必有4个1和一个T,共有方法

=5（种）.

5（典型例题）如图10—1—3所示，一个地区分为52个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不

得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

答案：72指导：先排1区，有4种方法：再排2区，有3种方法：接着排3区，有2种排法.下

图S4一］一？

面对4区涂色情况进行分类；若4区与2区同色，有1种方法，此时5区有2种方法，若4区与2

区不同色，则1、2、3区不同色，故4区也只有1种方法，此时5区只有1种方法，故共有4X3X2X（1X2+1Xl）=72（种）.

II题点经典类型题

1（典型例题）甲乙丙三个单位分别需要招聘工作人员2人、1人、1人，现从10名应聘人员中招聘4人到甲乙丙三个单位，

那么不同的招聘方法共有

A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种

命题目的与解题技巧：①考查分步计数原理与组合知识；②合理分步是解决此类问题的关键

［解析］第一步先从10人中选2个有种再从8人中选1个人有种再从7人中选1个人有种，故共有C1

=2520种方法.

［答案］C

2（典型例题）某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之

间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同的插入方法有

A.20种B.30种C.42种D.56种

答案：B指导：由题意知，将第一个小品节目插人节目单中，有

种插法.

将第二个小品节目插入节目单中，有以种插法.

则共有以以=30种安排方法.

3（典型例题）由0,1,2,…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个

数为

A.180B.196C。210D.224

答案：C指导：由题意知可能情况有

（1）_08,（2）_80,（3）___,1_9,（4）_9_1_

对⑴、⑵都有不同数字居=8X7=56种.

对⑶、⑷都有不同数字=49种.

则共有（56+49）X2=210种不同四位数.

4（典型例题）某电子器件的电路中，在A、B之间有C、D、E、F四个焊点（如图34-1-5）.如果焊点脱落，则有可D

能导致电路不通，今发现工A、B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种._c|―'—IF

答案：13指导：焊点C是否脱落有12种选法.D、E、F均有2种选法.则有Z』6种方案.了—.一飞

而全不脱落电路畅通，有1种方案，恰D、E中一个脱落，E

图34-1-5

种方案.故断路方案有16-1-=13种.

in新高考命题探究

1.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设

计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有

A.90个B.99个C.100个D.112个

答案：C指导：千位上数字的取法引C|o，百位上数字的取法共设计方案=100种，也即有100个密码.

2.如图34T-6所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜

色可以重复使用，也可不使用，则符合这种要求的不同着色的方法种数是图34-1-6

A.120B.240C.480D.540

答案：D指导：为A着色有C!种，为B着色有种为C着色

种，为E着色有种.

为D着色有C1种.故共有=540种

第三十五讲排列与组合

最对本部分内容的考查呈现以下特点：

新1.排列组合不仅是高中数学的重点问题，同时在实际中有很大的用处，因比在高考中经常有题目涉

命及.

题2.考杳内容：排列、组合的概念、排列数与组合数、排列组合的应用.

特3.考查形式：单独命题是通常出现在选择或填空题中，有时候和组合及概率相结合出现在解答题

点中.难度相对较小，属于高考中的中低档题目'

预计：典型例题仍然要有题目涉及，出现在解答题中的可能性较大.

应1.排列中读不清题目中的关键字（如“在”与“不在”、“邻”与“不邻”等）是导致丢分的因素之

试

高2.组合中读不清题目中的关键字（如“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”等）是导致丢分

同的因素之一.

分3.针对于不同类型的题目灵活使用不同的方法是本部分的难点.

瓶

颈

命题点1排列

命题点2组台

命题点1排列

本类考题解答锦囊

解答“排列”一类试题应注意以下几方面：

1.本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用.

2.关键是对二次函数、偶函数弄清楚.

3.“在”与“不在”的问题应该使用“优先法”.优先考虑特殊位置或者特殊元素，对这些特殊位置或者特殊元素进行

优先排列.

4.“邻”与“不邻”的问题中：“邻”的问题应使用“捆绑法”；“不邻”的问题应使用“插空法”.

I高考最新热门题

1（典型例题）从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax“6x+c的系数，可组成不同的二次函数共有

个，其中不同的偶函数共有________个.（用数字作答）

命题目的与解题技巧：①本题考杳二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用②关键是对二次函数，偶函数弄清楚.

［解析］YaHO,，a应从除0外的三个数中任取一个有个.b、c应从剩下的三个中任取2个，有4；种取法.则组

成不同的二次函数共有=18个，组成偶数函数必满足a/O,b=O,则有A；=6个.

［答案］6

2（典型例题）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的

安排方案种数为

A.B.g&C；C.D.2A；

答案：B指导：分两步：①把4名学生平均分成两组，有方法：主互②把两组学生分到六个班级的两个班中，；

22

种方法，故共有方案;居C；种，选B

3（典型例题）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2

人不左右相邻，那么不同排法的种数是

A.234B.346C.350D.363

答案：B指导：前排中间的3个座位不能坐，有排法A务，其中左；相邻的分三类，在前排的其中的4个座位有3A?：,

则符合条，的排法的种数中A%-3A11照=346,故选B另解：分三类：①两人坐在前排，按要求有4•6+4•5=44

种坐法.

②两人坐在后排，按要求有：AR=no种坐法.

③两人分别坐在前后排，有8X12X2=192种

二共有346种排法.

4（2002•京皖）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能

从事翻译工作，则选派方案共有

A.280种B.240种C.180种D.96种

答案：指导：

翻译||

因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种，再从余下的5人中选3人从

事导游、导购、保洁有4种，因此田温=240题点经典类型题

II题点经典类型题

1（典型例题）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法

的总数为

A.120B.324C.720D.1280

命题目的与解题技巧：考查排列知识，用“涂色原理”.

［解析］分五步：5X4X4X4X4=1280,故选D

［答案］D

2（典型例题）用1个1,2个2,3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数

A.20B.60C.120D.90

答案：B指导：由题有单■=60故选B.

A3A2

3（典型例题）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有

A.24种B.36种C.60种D.66种

答案：B指导：先排甲、乙外的3人，有另种排法，再插入甲、乙两人，有瑟种方法，又甲排乙的左边和甲排乙右边各

占,故不同方法数有=36种.

4（典型例题）用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是

A.36B.32C.24D.20

答案：D指导：按首位数字的奇偶分两类：若首位是奇数，则共有种方法，若首位是偶数，则共有（宿种方

法.…这样的五位数共有A1Al+（4-舄）度=20种.

m新高考命题探究

1百米决赛有6名运动员A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员速度不同，则运动员A比运动员9先到终点的比赛结果共有

A.360B.240C.120D.48

答案：A指导：由A比F先到终点.又A与F先到终点的机会均等，故只需对六人全排后除以2即度/2=360.选

A

26名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五或第六道，则不同

排法种数共有

A.144B.96C.72D.48

答案：A指导：先为乙选一道C；,再为甲选一道余下4人排法有川，则共有川=144.

3从6名短跑运动员中选出4人参加4x100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有

A.180种B.240种C.300种D.360种

答案：指导：分三种情况：⑴甲、乙都不参加，有*=24种；⑵甲、乙仅有1人参加.有2C；*=144种；

（3）甲、乙两人都参加，有曷曷72种.由分类计数原理二共有24+144+72=240种.

命题点2组合

本类考题解答锦囊

解答“组合”一类试题应注意以下几点：

1.读清题意，确定是排列还是组合.此时应该注意的地方是：选出的元素是否有各自不同的顺序或者位置.

2.与排列数不同，组合数有较多的性质（剩余性质和连加性质），与以前或以后的很多知识点都有密切的联系，就引起

特别注意。

3.注意组合中的关键字：“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”.

4.“多面手”问题：分类讨论，分类的依据应该是看多面手分到两边中其中一边的人数.

5.几何问题：考虑⑴所给点的特点；（2）所构成图形的要求.

I高考最新热门题

1（典型例题）直角坐标xOy平面上，平行直线x=n（n=0,1,2,5）与平行直线y=n（n=0,1,2,5）组成的图形中,

矩形共有

A.25个B.36个C.100个D.225个

命题目的与解题技巧：①考查排列组合的计算问题，以及分析问题、解决问题的能力.②解决计数问题的关键是选择计数

的出发点，即“完成一个事件”的策略是什么?本题“完成矩形”的构造，考虑的着眼点是矩形是由四条边构成，这四条边

从何而来.

［解析］矩形是从平行直线x=n（n=O,1,2,5）中选择两条，作为一组对边.再从平行直线y=n（n=l,0,1,2,5）

中选择两条，作为另一组对边形成的.每一种选择方案确定一个不同的矩形，故矩形共有=225个.

［答案］D

2（典型例题）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是

A.C6c94B.C6c99

CGoo_。94D.Ajoo—Ag4

答案：C指导：任取3件产品有C标种方法，其中无次品有种方法，故至少有1件次品的方法数为C标-

3（典型例题）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A.140种B.120种C35种D.34种

答案：D指导：既有女生又有男生，可以分类表示，三男•女有可・或种选法，二男二女有或种，一男三女有心・维

种

选法，则总的不同的选法有丹•C；+ci•+C：•ci=34（种）

4（2002•北京）［理］12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有

A.种B.3种C.种D.种

答案：A指导：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口.

II题点经典类型题

1（典型例题）从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议，其中至少有1名男生和一名女生，则不同的选派方案有

A.140种B.84种C.70种D.35种

命题目的与解题技巧：①考查组合问题.②合理使用加法原理.

［解析］若选两女一男，则有•种方法，若选两男一女，则有C•种方法，故共有C・+・=70种.

［答案］C

2（典型例题三校）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出12人，每

个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有

A.129种B.148种C.165种D.585种

答案：C指导：本小题可看成将12个人排成一排，插入8块板，分成9部分.有CMMCFLIGS种.

3（典型例题）一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答

题的不同选法的种数是

A.40B.74C.84D.200

答案：B指导：若前5题中包含3个，则共有种，若前5题中包含4个，则共有种，若前5题中包含5个，则共有

种，，不同的选法种数为弓+C?+C?・C：=74种.

4（典型例题）将1,2,3,9这9个数填在如图35-2-1中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次

增大，当3、4固定在图中位置时、所填写空格的方法有

A.6B.12C.18D.24

答案：A指导：由题意知数字1,2,9的位置也是固定的，如图：5,6,7,8四个数字在A、B、C、D四个位置上，A、B

位置上的填法C/C、D位置上的填法C3,共有心.簧=6种，故选A

m新高考命题探究

1将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有

A.252种B.112种C.70种D.56种

答案：B指导：由题知，总分配方法有：Cjcf++C^CI+=112.故选B

2圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是

A.A*B.堤然c.仇a：

答案：D指导：圆周上任意四个点的交叉连线交点均在圆内且惟一，故只需确定这样四点的种数.由这四点选法有，故在

圆内交点个数为C3所以选n

T

3设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,由一的值为•

S

套案.15相号.T=_______________=15

n案.五指导•《-或+C；o+...+C；T近

考场

热身探究性命题综合测试

1•架间谍飞机侵入我领空，空军某部奉命派出三架战机跟踪拦截，作战部要求我战机分别位于敌机的左右两翼和后方成三

角之势夹击敌机，这样，我三架战机的不同排列方式有（）种

A.3B.6C.9D.12

答案：B指导：即三架飞机三种不同占位，故屑=6（种）

2要排出一张6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两舞蹈节目不得相邻，不同的排法共有（）种

A.A：：B.C.D.心A；

答案：D指导：先排6个歌唱节目有种排法，这6个节目有7个空隙（首尾各一个，中间5个），在这七个空隙中将4个舞

蹈节目插入有种插法，由分步计数原理，共有胫A"巾方法.

3现从某校5名学生中选出4人参加数学、物理、化学三个课外活动小组，要求每个小组至少有一人参加，且每人只参加一

个活动小组，则不同的参加方案种数是

A.180B.120C.60D.30

答案：A指导乙丛5名学生中选4人有C?种选法，然后4人分成3组参加数理化三个课外活动小组，有C；・A拼种，则共

有•国=180（种）选A

4某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张不同花色的A,有5次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但

张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

答案：国+4/+4/+4办?+足+或・姆=860种指导：出牌的方法可分为以卜.几类：①5张牌全部分开出，有足种方法；

欧张2一起出，3张A分开出，有川种方法；③2张2一起出，3张A分开出，有川种方法；④2张2一起出，3张A分两

次出，有Ca・Ag种方法；⑤2张2分开出，3张A一起出，有另种方法；⑥2张2分开出，3张A分两次出，有短种方

法，因此共有不同的出牌方法

5已知y=f(x)是定义域为A={x|lWxW7,xSN),值域为B={0,1}的函数

(1)试问这样的函数f(x)共有多少个？

(2)若对于定义域中的4个不同元素，对应的函数值都是1,那么这样的函数共有多少个？

答案：(D函数是非空数集到非空数集上的一个映射，根据映射的定义，只要对集合A中的7个元素在9中都有唯一的元素

与之对应即可，根据分步计数原理，共有2X2X2X…X2=2?=128个，又0或1没有原象的映射各有一个，故这样的函数

f(x)共有1282=126个.

(2)因为定义域中的4个元素对应于值域中的1,那么其余3个元素都对应值域中的0,故这样的函数f(x)有谓=35(个).

第三十六讲

二项式定理

最对本部分内容的考杳呈现以下特点：

新1.二项式定理是高中数学中的重点内容，也是高考中每年必考的内容.

命2.考杳内容：(1)二项展开式；(2)二项展开式的通项公式；(3)二项式系数、二项式系数和；(4)

题展开式系数、系数和.

特预计：20%年高考可能有题目涉及，出现在选择填空中的可能性较大.

点

应1.二项展开式的通项公式容易出错.第r十1项的二次式系数为.

试2.二项式系数、系数的区别与使用是本部分的难点内容，也是高考中丢分的关键因素之一.

高

分

瓶

颈

命题点1通项公式

命题点2二项展开式的系数与系数和

命题点1通项公式本类考题解答锦囊

解答“通项公式”一类试题要注意以下几方面：

1.熟悉通项公式

2.在二项式的题目中出现“项”的问题(如常数项、含x的项、含的项、有理项等)，通常都要用通项公式.

3.用通项公式解题，通常是解方程的问题，要注意方程的选取.

I高考最新热门题

1(典型例题)X一—上展开式中X’的系数为一

JX

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理、指定项系数等基本知识.②利用好二项展开式的通项公式，“使问

题简化.

令8--厂=5得r=2.

2

...展开式中x，的系数为=28.

［答案］28

2（典型例题）若（1—2》展开式的第3项为288,则lim（L+—L+…+-L）的值是

“一8XXX"

12

A.2B.1C.—D.-

25

答案：A指导：（a+b）”展开式中第r+1项为

1

Tr+i=C•J"-'3■，由此知288=以・（-2*）2解之：x=2则数列｛4｝是公比为2的等比数列

2x3

3（典型例题）已知（x-2）8展开式中常数项为1120,其中实数。是常数，则展开式中各项系数的和是

X

A.2ftB.3*C.1或3'D.1或28

答案：C指导：设第r+1项为常数项，则有7;+1=C^.x8-r.（--）r=C£•（-4・x8-2r当r=4时,7川为常数项

X

即：C^.（-a）4=1120解：a=±2当。=-2时,。+38展开式中各项系数和。+2产

X

当a=2时，（x-$8展开式中各项系数和为（］-：）8=1

3」

4（典型例题）已知（Xa+X《）”的展开式中各项系数的和是128,则展开式中/的系数是.（以数字作答）

3£

答案：35指导：各项系数和为2",则2"=128,w=7,7；+|=C；・（x5）i・（x3），,令电二业•=5,r=3C；=C”35.

6

II题点经典类型题

1（典型例题）已知（一尸+5«）”的二项展开式的第六项是常数项，那么n的值是

30Jx

A.32B.33C.34D.35

命题目的与解题技巧：①考查二项式定理.②灵活使用通项.

［解析］T6=c：•（我尸=c；./枭3M

30vx

-------（n—5）+1—0.H—35.

30

二故选D.

［答案］D

2（典型例题）底'+—!）”的展开式中，第6项系数最大，则不含x的项为

X

A.210B.10C.462D.252

答案：A指导：第六项系数即为第六项的二项式系统。

:.n=1O.，+|=Go.(彳3产r.心r=C/o/Nr-2r令30_3r_2r=O,r=6,.'.C[o==210

X

3(典型例题)设f(x)=l+x+(l+x)2+…+(l+x)n的展开式中x项的系数和为Tn,则

111

A.-B.-C.-D.1

842

答案：c指导：Tn=\+c[+c\+...c\=i

2n+n2

4(典型例题)已知(xVx--)6的展开式的第五项等于—,则lim(x'+x?+…+x")等于

x2-

A.0B.1C.2D.3

3

-1464'，

答案：B指导：T5=C^-x)•(x2)-=15x-'=y.1=2

[

2(1-—)

Jim/-l.-2-3.,-n\_lim/_]_.〔.,\Jim______2〃_lim八_\_i

.(Xr+X+X+••••+大)■-“Too(5+22++…+2“)—“T8I—〃->8(1_2“)—]

1----

2

5(典型例题)若(x2+)n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是一

答案：20指导：由题知n=6,.•.常数项为或=20

6(典型例题)若(五一-==)"的展开式中的第5项为常数项，则n=______________.

Nx

n-44

8指导：4=以・(4)"4・(j)4=C，・24.xH・J5

...第5项为常数项.-.^1i+(-l)=0,.-.n=8.

m新高考命题探究

1在(l+x)3+(l+x)4+…+(l+x)典型例题式中x3的系数等于

A.C2OO4B.C2005C.23Go4D.230G5

B指导：x的系数等于C；++C:+...+C?()o4=C：+C：+C?+….+cgo()4=故选B

2在(/+3x+2)5展开式中x的系数为

A.160B.240C.360D.800

答案：B零指导：由题知x的系数为C!(3X)・C：・24=240・X

命题点2二项展开式的系数与系数和

本类考题解答锦囊

解答“二项展开式的系数与系数和”一类试题要注意：

1.区分二项式系数与系数的区别与联系，不要将两者混为一谈.

2.:项式系数和与系数和：二项式系数和式是结论性的，记住结论即可.系数和的求法是“赋值法”，针对不同的问题

赋不同的值，通常是“1,-1,0”.

3.注意系数和与二项式系数和中的“全和”与“半和”.

I高考最新热门题

1（典型例题）若（1-2x）"W'""a］X+a2x2+…+a典型例魏"（xWR）,则⑸十a】）+（a,,+aj+（a,+a3）+…+（&,十a典刑例题______.（用数字作

答）

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理的基本知识，以及赋值法等基本方法.②观察式子特点，寻找x赋值

为多少时使已知所得等式更接近所求，从而使问题迎刃而解.

［解析］令x=0,得好1；

令x=l,得1=a“+ai+a2+…+a丸忡阳故（a°+ai）+（a«+a2）+（ao+a3）+…+（a0+a典型例题OO3+ao+ai+a2+…+a典吧例题04.

［答案］

B.一C.

____。；+1______lim______3x2______1

答案:B指导：原式弁，o

“（2+3+...+〃）—〃一8..（〃_1）（2+万—3

"2

3（2002•上海）在二项式（l+3x）和（2x+5）的展开式中，各项系数之和分别记为an,bn,n是正整数，则

“T83an-也

答案：1指导:由二项式定理得:%=4",h=7".•.吧8守二梁=巴8，，:2丁：=吧8-7-=1

2

23a“-4%3・4"-4・7”3.（1）"_4

4（典型例题）若（x+2）"=x"+…+ax:'++bx2+cx+2ll（nWN,且n》3）,且a:b=3:2,贝ljn=.

答案：指案（x+2）n=C^xn+C\xn+€>"-1x21+...+cr3x3x2"-3+C^2x2+C^lx'x2"-1+C；x2",

n33

故a=2~+C；；=2"~x"5T）（"-2〃=2„-2c„-2x"（"T）...£=lx巴匚=m=11

3x2x12x1b232

II题点经典类型题

1（典型例题）若（n£N+）,且（2—x）n=aO+alx+a2x24-a+anXn,则a0~al+a2-,+（-l）nan等于

A.81B.27

C.243D.729

命题目的与解题技巧：①考查二次式定理②灵活运用“半和”公式③合理使用“赋值法”

［解析］由题知2n+6=n+2,/.n=-4（舍）或2n十6n十2=20n=4.

止匕时令x=—La<rai+a2-a3+…（T）nan=34=81.

［答案］A

2（典型例题）己知2出二a®+a«.】+…+an（其中m、n£Z,且0Wm<n）.若f（x）=

A.0

B.-2

C.(-1)"

D.n为偶数时为0,n为奇数时为-2

答案：D指导：由题知，只需令x=1,则

〃n11

yq=x(-D'cio-I)'=YC；,(-2)z=C^(-2)°=C,',(-2)'+...C；,(-2)n=(1-2)”=(-1)"

J1=0J

i=0i=0

nn

=(-l)-«0=(-l)-I/.当“为奇数时,=-2,；.当"为偶数时,£为=0,

/=01=11=1

3(典型例题)若n是奇数，则7"+C：7"T+C；7"-2+...+C；i7被9除的余数是

A.0B.2C.7D.8

答案：C指导：原式

=C"+C,1,•7n-1+...C；,-l•7+C；'-l.=(7+l)n-l=8n-l=(9-l)n-l=C®(-1)°9"++1....+C；；(-l)"-l.

：n为奇数，故侨余数为7。

l2,l<

4(典型例题)若(2—x)°=ao+aix+a2x+"ail>x',

则Iog2a0+log2as+log45=.

102

答案：12指导，：log2a()+log2-log245=log22+log2•2-log245=10+2+log245-log245=12

m新高考命题探究

1在(l+x)"(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的利为A,偶数项的和为B,贝iJG-x')”的值为

A.0B.AB

C.A2-B2D.A'+B2

答案：C指导：由题知(1-x)"=A-8(1-X)"=A+8:.(1-X2)"=(1-X)"(1