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文档简介
第三十四讲
分类计数原理与分步计数原理
最对本部分内容的考查呈现以下特点:
新1.分类计数原理和分步计数原理是排列组合问题的基础和依据,虽然不是每年都单独命题,但是
命其中的思想贯穿于整个排列组合中.
题2.考杳内容:两个原理.
特3.考查形式:选择题居多,通常是贯穿于排列组合的其他题目中出现.难度一般不大,属于中低
点档题型.
预计:典型例题仍然要有题目涉及,综合出现在解答题中的可能性较大.
应两个原理看起来简单,但是要真正学会并能理解应用不是很容易的事,特别是两个原理的整合应
试用是高考中丢分的关键因素.
高
分
瓶
颈
命题点1分类计数原理(加法原理)
命题点2分步计数原理(乘法原理)
本类考题解答锦囊
命题点1分类计数原理(加法原理)
解答“分类计算原理”一类试题应注意:
1.分类计数原理是强调完成一件事情的几类方法互不干扰,彼此之间的交集是空集,并集是全集.不论哪类方法中的哪
一种方法都能单独完成这件事,办法中的各种方法也是相互独立的.
2.正确区分分步计数原理与分类计数原理.
I高考最新热门题
1(典型例题)从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数学组成没有重复数字的四位数,其中能被5
整除的四位数共有——个.(用数字作答)命题目的与解题技巧:①本题主要考查分步计数原理与排列的基本知识.②抓住
0不能在首位且个位只能是0或5来讨论是正确解题的关键.
[解析]①当个位是0时、0_
CCA=4X3X4X3=144.
②当个位不是。且含0,5—
则个位必为5,先为0选位置.
CCCA=2X3X4X2=48.
③当不含0时,个位必为5,一一_5
CCA=3X6X3X2=108.
二共有144+48+108=300个.
[答案]300
2(2002•广东、河南)[文理]从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种B.12种C.16种D.20种
答案:C指导:甲一A-BfC-Df甲
由上表知A,D不为甲.
(1)若B为甲,则不同传法=4种.
(2)若B不为甲,而C为甲,
则不同传法C|xC|xCl=4种.
⑶若9不为甲,C不为甲,则以=2.
综上知,共有传球方法4+4+2=10种.
3(典型例题)从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的三条
线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则m等于
1132
A.—B.-C.—D.一
105105
答案:A指导:若选择三个不同的数,(且不含0)共有&+A,+屑++A]=168种.
若选择三个不同的数(含0)共有8+7+6+5+…+1=36种若选择:个数,共有8+7+6+…+1=36种共有168+36+36=240
4(典型例题)在由数学1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有
A.56个B.57个C.58个D.60个
答案:D指导:从01至10中连续选3个,共有8种选法,
从11至20个连续选2个,共有9种选法,
从21至30个选1个,共有10种选法,
从31至36中选1个,共有6种选法.
,共有8X9X10X6种号码
工共有8X9X10X6X2=8640元故选D.
5(典型例题)从0,1,2,3,4,5中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,其中能被5整除的三位数共有一
个.(用数字作答)
II题点经典类型题
1(典型例题)等腰三角形的三边均为正数.它们周长不大于10.这样不同形状的三角形的种数为
A.8B.9C.10D.11
命题目的与解题技巧:①考查分类计数原理;②合理分类,注意条件“周长不大于10”
[解析]设三边为x,y,z,则x+y+zW10,由三边关系共有
(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(1.4,4),(2,2,2),(2,2,3),
(2,3,3),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4)共10种.
[答案]C
2(典型例题)三人传球,由甲开始发球,并作第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有
A.6种B.8利,C10种D.16利,
3(典型例题)如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数一共有
A.240个B.285个C.231个D.243个
4(典型例题)某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号,
从11至20中选2个连续的号,从21至扣中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊耍求的号买
全,至少要
A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元
m新高考命题探究
1如图34-1-1,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的
花卉,相邻两池的花色不同,则最多有几种栽种方案
/2I5\
A.180种B.240种C.360种D.420种/\
图34-1-1
D指导:⑴当1;2,4;3,5.仅三种花卉时,有国种.
⑵当1:2,4;3,5恰四种时,有短种.
⑶当1;2,4;3,5恰四种时,有丝种.
(4)当栽种五种时,有种.
2在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2号地不
能种2号小麦,3号地不能种3号小麦,那么有多少不同的试种方案?
分两类.04号地种4号小麦,1号地有2种试种方法,2、3号
地只有1种试种方法,,共有2种种法.②土地编号与小麦
编号都不相同,第1号土地有3种试种方法,若1号地种的
是第1.号小麦,则第1.号土地有3种种法,余下的两块地只有
1种种法,共有3X3=9种试种方法.由分类计数原理试种方
案共有2+9=11种.
命题点2分步计数原理(乘法原理)
本类考题解答锦囊
解答“分类计数原理”一类试题要弄清以卜两问题:
1.分步计数原理强调各个步骤缺一不可,需要一次完成所有的步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步使
用什么方法不影响后一步采取什么方法,也就是步与步之间相互依存,只有连续性,但每步中的不同方法却相互独立,互不
干扰.
2.通常把完成题设事件的所有方法分为若干个“互斥类”,又在同一类中将完成事件的方法分成若干个“独立步”,以
保证“不重、不漏
I高考最新热门题
1(典型例题)将3种作物种植在如图34-1-2,5块试验田里,每块种植一种作物且~
相邻的试验田不能种植同•作物,不同的种植方法共有一种。(以数字作答)|||||
命题目的与解题技巧:①本小题主要考查分类、分步计数原理等基础知识,以及运用图34-1-2
所学知识解决实际问题的能力.②抓住了3种种子都种在试验田中这一特点,是正确解题的关键.
[解析]分别用a,b,c表示3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设先放入a,再安排第二块田有b或c两
种作物,有2种方法,不妨设放入A,F面对第三块田种。或c进行分类:
(1)若第三块田种c,则第四、五块田分别有2种方法,共2X2种方法;
(2)若第三块田种a,则第四块田仍有b或c两种作物可放;
①若第四块田放c,则第五块田有2种方法;
②若第四块田放b,则第五块田只能放c,有2种方法.综上,共有3x2x[2x2+(2+1)]=42种方法.
[答案]42
2(典型例题)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单
中,那么不同插法的种数为
A.42B.30C.20D.12
答案:A指导:第一步,先插入第一个节目,有6种插入法.
第二步,再插入第二个节目,有7种插人法.
故共有7X6=42种.
3(典型例题、河南)圆周上有2n个等分点(n>l),以其中:个点为顶点的直角二角形的个数为•
答案:2n(n—1)指导:2n(n—1)圆周上有2n个等分点,因此,有n条直径,每条直径为斜边,有2n—2个直角三角形,
故共有n-(2n-2)=2n(nT)个直角三角形.
4(典型例题)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落
在点(3,0)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有种(用数字作答).
答案:5指导:设每次跳动的值为x(i=l,2,2,3,5),则根据题意得5=3.必有4个1和一个T,共有方法
=5(种).
5(典型例题)如图10—1—3所示,一个地区分为52个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不
得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种.(以数字作答)
答案:72指导:先排1区,有4种方法:再排2区,有3种方法:接着排3区,有2种排法.下
图S4一]一?
面对4区涂色情况进行分类;若4区与2区同色,有1种方法,此时5区有2种方法,若4区与2
区不同色,则1、2、3区不同色,故4区也只有1种方法,此时5区只有1种方法,故共有4X3X2X(1X2+1Xl)=72(种).
II题点经典类型题
1(典型例题)甲乙丙三个单位分别需要招聘工作人员2人、1人、1人,现从10名应聘人员中招聘4人到甲乙丙三个单位,
那么不同的招聘方法共有
A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种
命题目的与解题技巧:①考查分步计数原理与组合知识;②合理分步是解决此类问题的关键
[解析]第一步先从10人中选2个有种再从8人中选1个人有种再从7人中选1个人有种,故共有C1
=2520种方法.
[答案]C
2(典型例题)某文艺团体下基层进行宣传演出,原准备的节目表有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,在它们之
间再插入2个小品节目,并且这2个小品节目在节目表中既不排头,也不排尾,那么不同的插入方法有
A.20种B.30种C.42种D.56种
答案:B指导:由题意知,将第一个小品节目插人节目单中,有
种插法.
将第二个小品节目插入节目单中,有以种插法.
则共有以以=30种安排方法.
3(典型例题)由0,1,2,…,9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个
数为
A.180B.196C。210D.224
答案:C指导:由题意知可能情况有
(1)_08,(2)_80,(3)___,1_9,(4)_9_1_
对⑴、⑵都有不同数字居=8X7=56种.
对⑶、⑷都有不同数字=49种.
则共有(56+49)X2=210种不同四位数.
4(典型例题)某电子器件的电路中,在A、B之间有C、D、E、F四个焊点(如图34-1-5).如果焊点脱落,则有可D
能导致电路不通,今发现工A、B间电路不通,则焊点脱落的不同情况有种._c|―'—IF
答案:13指导:焊点C是否脱落有12种选法.D、E、F均有2种选法.则有Z』6种方案.了—.一飞
而全不脱落电路畅通,有1种方案,恰D、E中一个脱落,E
图34-1-5
种方案.故断路方案有16-1-=13种.
in新高考命题探究
1.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2816)的方法设
计密码,当积为一位数时,十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有
A.90个B.99个C.100个D.112个
答案:C指导:千位上数字的取法引C|o,百位上数字的取法共设计方案=100种,也即有100个密码.
2.如图34T-6所示,用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同一种颜
色可以重复使用,也可不使用,则符合这种要求的不同着色的方法种数是图34-1-6
A.120B.240C.480D.540
答案:D指导:为A着色有C!种,为B着色有种为C着色
种,为E着色有种.
为D着色有C1种.故共有=540种
第三十五讲排列与组合
最对本部分内容的考查呈现以下特点:
新1.排列组合不仅是高中数学的重点问题,同时在实际中有很大的用处,因比在高考中经常有题目涉
命及.
题2.考杳内容:排列、组合的概念、排列数与组合数、排列组合的应用.
特3.考查形式:单独命题是通常出现在选择或填空题中,有时候和组合及概率相结合出现在解答题
点中.难度相对较小,属于高考中的中低档题目'
预计:典型例题仍然要有题目涉及,出现在解答题中的可能性较大.
应1.排列中读不清题目中的关键字(如“在”与“不在”、“邻”与“不邻”等)是导致丢分的因素之
试
高2.组合中读不清题目中的关键字(如“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”等)是导致丢分
同的因素之一.
分3.针对于不同类型的题目灵活使用不同的方法是本部分的难点.
瓶
颈
命题点1排列
命题点2组台
命题点1排列
本类考题解答锦囊
解答“排列”一类试题应注意以下几方面:
1.本题考查二次函数的一般式,函数性质和排列组合的应用.
2.关键是对二次函数、偶函数弄清楚.
3.“在”与“不在”的问题应该使用“优先法”.优先考虑特殊位置或者特殊元素,对这些特殊位置或者特殊元素进行
优先排列.
4.“邻”与“不邻”的问题中:“邻”的问题应使用“捆绑法”;“不邻”的问题应使用“插空法”.
I高考最新热门题
1(典型例题)从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax“6x+c的系数,可组成不同的二次函数共有
个,其中不同的偶函数共有________个.(用数字作答)
命题目的与解题技巧:①本题考杳二次函数的一般式,函数性质和排列组合的应用②关键是对二次函数,偶函数弄清楚.
[解析]YaHO,,a应从除0外的三个数中任取一个有个.b、c应从剩下的三个中任取2个,有4;种取法.则组
成不同的二次函数共有=18个,组成偶数函数必满足a/O,b=O,则有A;=6个.
[答案]6
2(典型例题)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的
安排方案种数为
A.B.g&C;C.D.2A;
答案:B指导:分两步:①把4名学生平均分成两组,有方法:主互②把两组学生分到六个班级的两个班中,;
22
种方法,故共有方案;居C;种,选B
3(典型例题)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2
人不左右相邻,那么不同排法的种数是
A.234B.346C.350D.363
答案:B指导:前排中间的3个座位不能坐,有排法A务,其中左;相邻的分三类,在前排的其中的4个座位有3A?:,
则符合条,的排法的种数中A%-3A11照=346,故选B另解:分三类:①两人坐在前排,按要求有4•6+4•5=44
种坐法.
②两人坐在后排,按要求有:AR=no种坐法.
③两人分别坐在前后排,有8X12X2=192种
二共有346种排法.
4(2002•京皖)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能
从事翻译工作,则选派方案共有
A.280种B.240种C.180种D.96种
答案:指导:
翻译||
因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,因此,翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种,再从余下的5人中选3人从
事导游、导购、保洁有4种,因此田温=240题点经典类型题
II题点经典类型题
1(典型例题)5人排一个5天的值日表,每天排一人值日,每人可以排多天或不排,但相邻两天不能排同一人,值日表排法
的总数为
A.120B.324C.720D.1280
命题目的与解题技巧:考查排列知识,用“涂色原理”.
[解析]分五步:5X4X4X4X4=1280,故选D
[答案]D
2(典型例题)用1个1,2个2,3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数
A.20B.60C.120D.90
答案:B指导:由题有单■=60故选B.
A3A2
3(典型例题)有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,而不同的站法有
A.24种B.36种C.60种D.66种
答案:B指导:先排甲、乙外的3人,有另种排法,再插入甲、乙两人,有瑟种方法,又甲排乙的左边和甲排乙右边各
占,故不同方法数有=36种.
4(典型例题)用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个数是
A.36B.32C.24D.20
答案:D指导:按首位数字的奇偶分两类:若首位是奇数,则共有种方法,若首位是偶数,则共有(宿种方
法.…这样的五位数共有A1Al+(4-舄)度=20种.
m新高考命题探究
1百米决赛有6名运动员A、B、C、D、E、F参赛,每个运动员速度不同,则运动员A比运动员9先到终点的比赛结果共有
A.360B.240C.120D.48
答案:A指导:由A比F先到终点.又A与F先到终点的机会均等,故只需对六人全排后除以2即度/2=360.选
A
26名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道,乙必须站在第五或第六道,则不同
排法种数共有
A.144B.96C.72D.48
答案:A指导:先为乙选一道C;,再为甲选一道余下4人排法有川,则共有川=144.
3从6名短跑运动员中选出4人参加4x100米接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么不同的参赛方案有
A.180种B.240种C.300种D.360种
答案:指导:分三种情况:⑴甲、乙都不参加,有*=24种;⑵甲、乙仅有1人参加.有2C;*=144种;
(3)甲、乙两人都参加,有曷曷72种.由分类计数原理二共有24+144+72=240种.
命题点2组合
本类考题解答锦囊
解答“组合”一类试题应注意以下几点:
1.读清题意,确定是排列还是组合.此时应该注意的地方是:选出的元素是否有各自不同的顺序或者位置.
2.与排列数不同,组合数有较多的性质(剩余性质和连加性质),与以前或以后的很多知识点都有密切的联系,就引起
特别注意。
3.注意组合中的关键字:“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”.
4.“多面手”问题:分类讨论,分类的依据应该是看多面手分到两边中其中一边的人数.
5.几何问题:考虑⑴所给点的特点;(2)所构成图形的要求.
I高考最新热门题
1(典型例题)直角坐标xOy平面上,平行直线x=n(n=0,1,2,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,5)组成的图形中,
矩形共有
A.25个B.36个C.100个D.225个
命题目的与解题技巧:①考查排列组合的计算问题,以及分析问题、解决问题的能力.②解决计数问题的关键是选择计数
的出发点,即“完成一个事件”的策略是什么?本题“完成矩形”的构造,考虑的着眼点是矩形是由四条边构成,这四条边
从何而来.
[解析]矩形是从平行直线x=n(n=O,1,2,5)中选择两条,作为一组对边.再从平行直线y=n(n=l,0,1,2,5)
中选择两条,作为另一组对边形成的.每一种选择方案确定一个不同的矩形,故矩形共有=225个.
[答案]D
2(典型例题)在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是
A.C6c94B.C6c99
CGoo_。94D.Ajoo—Ag4
答案:C指导:任取3件产品有C标种方法,其中无次品有种方法,故至少有1件次品的方法数为C标-
3(典型例题)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有
A.140种B.120种C35种D.34种
答案:D指导:既有女生又有男生,可以分类表示,三男•女有可・或种选法,二男二女有或种,一男三女有心・维
种
选法,则总的不同的选法有丹•C;+ci•+C:•ci=34(种)
4(2002•北京)[理]12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有
A.种B.3种C.种D.种
答案:A指导:先分配4个人到第一个路口,再分配4个人到第二个路口,最后分配4个人到第三个路口.
II题点经典类型题
1(典型例题)从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议,其中至少有1名男生和一名女生,则不同的选派方案有
A.140种B.84种C.70种D.35种
命题目的与解题技巧:①考查组合问题.②合理使用加法原理.
[解析]若选两女一男,则有•种方法,若选两男一女,则有C•种方法,故共有C・+・=70种.
[答案]C
2(典型例题三校)高三年级有文科、理科共9个备课组,每个备课组的人数不少于4个,现从这9个备课组中抽出12人,每
个备课组至少1人,组成“年级核心组”商议年级的有关事宜,则不同的抽调方案共有
A.129种B.148种C.165种D.585种
答案:C指导:本小题可看成将12个人排成一排,插入8块板,分成9部分.有CMMCFLIGS种.
3(典型例题)一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答
题的不同选法的种数是
A.40B.74C.84D.200
答案:B指导:若前5题中包含3个,则共有种,若前5题中包含4个,则共有种,若前5题中包含5个,则共有
种,,不同的选法种数为弓+C?+C?・C:=74种.
4(典型例题)将1,2,3,9这9个数填在如图35-2-1中的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下依次
增大,当3、4固定在图中位置时、所填写空格的方法有
A.6B.12C.18D.24
答案:A指导:由题意知数字1,2,9的位置也是固定的,如图:5,6,7,8四个数字在A、B、C、D四个位置上,A、B
位置上的填法C/C、D位置上的填法C3,共有心.簧=6种,故选A
m新高考命题探究
1将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有
A.252种B.112种C.70种D.56种
答案:B指导:由题知,总分配方法有:Cjcf++C^CI+=112.故选B
2圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数最多是
A.A*B.堤然c.仇a:
答案:D指导:圆周上任意四个点的交叉连线交点均在圆内且惟一,故只需确定这样四点的种数.由这四点选法有,故在
圆内交点个数为C3所以选n
T
3设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,由一的值为•
S
套案.15相号.T=_______________=15
n案.五指导•《-或+C;o+...+C;T近
考场
热身探究性命题综合测试
1•架间谍飞机侵入我领空,空军某部奉命派出三架战机跟踪拦截,作战部要求我战机分别位于敌机的左右两翼和后方成三
角之势夹击敌机,这样,我三架战机的不同排列方式有()种
A.3B.6C.9D.12
答案:B指导:即三架飞机三种不同占位,故屑=6(种)
2要排出一张6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两舞蹈节目不得相邻,不同的排法共有()种
A.A::B.C.D.心A;
答案:D指导:先排6个歌唱节目有种排法,这6个节目有7个空隙(首尾各一个,中间5个),在这七个空隙中将4个舞
蹈节目插入有种插法,由分步计数原理,共有胫A"巾方法.
3现从某校5名学生中选出4人参加数学、物理、化学三个课外活动小组,要求每个小组至少有一人参加,且每人只参加一
个活动小组,则不同的参加方案种数是
A.180B.120C.60D.30
答案:A指导乙丛5名学生中选4人有C?种选法,然后4人分成3组参加数理化三个课外活动小组,有C;・A拼种,则共
有•国=180(种)选A
4某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张不同花色的A,有5次出牌的机会,每次只能出一种点数的牌,但
张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
答案:国+4/+4/+4办?+足+或・姆=860种指导:出牌的方法可分为以卜.几类:①5张牌全部分开出,有足种方法;
欧张2一起出,3张A分开出,有川种方法;③2张2一起出,3张A分开出,有川种方法;④2张2一起出,3张A分两
次出,有Ca・Ag种方法;⑤2张2分开出,3张A一起出,有另种方法;⑥2张2分开出,3张A分两次出,有短种方
法,因此共有不同的出牌方法
5已知y=f(x)是定义域为A={x|lWxW7,xSN),值域为B={0,1}的函数
(1)试问这样的函数f(x)共有多少个?
(2)若对于定义域中的4个不同元素,对应的函数值都是1,那么这样的函数共有多少个?
答案:(D函数是非空数集到非空数集上的一个映射,根据映射的定义,只要对集合A中的7个元素在9中都有唯一的元素
与之对应即可,根据分步计数原理,共有2X2X2X…X2=2?=128个,又0或1没有原象的映射各有一个,故这样的函数
f(x)共有1282=126个.
(2)因为定义域中的4个元素对应于值域中的1,那么其余3个元素都对应值域中的0,故这样的函数f(x)有谓=35(个).
第三十六讲
二项式定理
最对本部分内容的考杳呈现以下特点:
新1.二项式定理是高中数学中的重点内容,也是高考中每年必考的内容.
命2.考杳内容:(1)二项展开式;(2)二项展开式的通项公式;(3)二项式系数、二项式系数和;(4)
题展开式系数、系数和.
特预计:20%年高考可能有题目涉及,出现在选择填空中的可能性较大.
点
应1.二项展开式的通项公式容易出错.第r十1项的二次式系数为.
试2.二项式系数、系数的区别与使用是本部分的难点内容,也是高考中丢分的关键因素之一.
高
分
瓶
颈
命题点1通项公式
命题点2二项展开式的系数与系数和
命题点1通项公式本类考题解答锦囊
解答“通项公式”一类试题要注意以下几方面:
1.熟悉通项公式
2.在二项式的题目中出现“项”的问题(如常数项、含x的项、含的项、有理项等),通常都要用通项公式.
3.用通项公式解题,通常是解方程的问题,要注意方程的选取.
I高考最新热门题
1(典型例题)X一—上展开式中X’的系数为一
JX
命题目的与解题技巧:①本小题主要考查二项式定理、指定项系数等基本知识.②利用好二项展开式的通项公式,“使问
题简化.
令8--厂=5得r=2.
2
...展开式中x,的系数为=28.
[答案]28
2(典型例题)若(1—2》展开式的第3项为288,则lim(L+—L+…+-L)的值是
“一8XXX"
12
A.2B.1C.—D.-
25
答案:A指导:(a+b)”展开式中第r+1项为
1
Tr+i=C•J"-'3■,由此知288=以・(-2*)2解之:x=2则数列{4}是公比为2的等比数列
2x3
3(典型例题)已知(x-2)8展开式中常数项为1120,其中实数。是常数,则展开式中各项系数的和是
X
A.2ftB.3*C.1或3'D.1或28
答案:C指导:设第r+1项为常数项,则有7;+1=C^.x8-r.(--)r=C£•(-4・x8-2r当r=4时,7川为常数项
X
即:C^.(-a)4=1120解:a=±2当。=-2时,。+38展开式中各项系数和。+2产
X
当a=2时,(x-$8展开式中各项系数和为(]-:)8=1
3」
4(典型例题)已知(Xa+X《)”的展开式中各项系数的和是128,则展开式中/的系数是.(以数字作答)
3£
答案:35指导:各项系数和为2",则2"=128,w=7,7;+|=C;・(x5)i・(x3),,令电二业•=5,r=3C;=C”35.
6
II题点经典类型题
1(典型例题)已知(一尸+5«)”的二项展开式的第六项是常数项,那么n的值是
30Jx
A.32B.33C.34D.35
命题目的与解题技巧:①考查二项式定理.②灵活使用通项.
[解析]T6=c:•(我尸=c;./枭3M
30vx
-------(n—5)+1—0.H—35.
30
二故选D.
[答案]D
2(典型例题)底'+—!)”的展开式中,第6项系数最大,则不含x的项为
X
A.210B.10C.462D.252
答案:A指导:第六项系数即为第六项的二项式系统。
:.n=1O.,+|=Go.(彳3产r.心r=C/o/Nr-2r令30_3r_2r=O,r=6,.'.C[o==210
X
3(典型例题)设f(x)=l+x+(l+x)2+…+(l+x)n的展开式中x项的系数和为Tn,则
111
A.-B.-C.-D.1
842
答案:c指导:Tn=\+c[+c\+...c\=i
2n+n2
4(典型例题)已知(xVx--)6的展开式的第五项等于—,则lim(x'+x?+…+x")等于
x2-
A.0B.1C.2D.3
3
-1464',
答案:B指导:T5=C^-x)•(x2)-=15x-'=y.1=2
[
2(1-—)
Jim/-l.-2-3.,-n\_lim/_]_.〔.,\Jim______2〃_lim八_\_i
.(Xr+X+X+••••+大)■-“Too(5+22++…+2“)—“T8I—〃->8(1_2“)—]
1----
2
5(典型例题)若(x2+)n的展开式中,只有第四项的系数最大,那么这个展开式中的常数项是一
答案:20指导:由题知n=6,.•.常数项为或=20
6(典型例题)若(五一-==)"的展开式中的第5项为常数项,则n=______________.
Nx
n-44
8指导:4=以・(4)"4・(j)4=C,・24.xH・J5
...第5项为常数项.-.^1i+(-l)=0,.-.n=8.
m新高考命题探究
1在(l+x)3+(l+x)4+…+(l+x)典型例题式中x3的系数等于
A.C2OO4B.C2005C.23Go4D.230G5
B指导:x的系数等于C;++C:+...+C?()o4=C:+C:+C?+….+cgo()4=故选B
2在(/+3x+2)5展开式中x的系数为
A.160B.240C.360D.800
答案:B零指导:由题知x的系数为C!(3X)・C:・24=240・X
命题点2二项展开式的系数与系数和
本类考题解答锦囊
解答“二项展开式的系数与系数和”一类试题要注意:
1.区分二项式系数与系数的区别与联系,不要将两者混为一谈.
2.:项式系数和与系数和:二项式系数和式是结论性的,记住结论即可.系数和的求法是“赋值法”,针对不同的问题
赋不同的值,通常是“1,-1,0”.
3.注意系数和与二项式系数和中的“全和”与“半和”.
I高考最新热门题
1(典型例题)若(1-2x)"W'""a]X+a2x2+…+a典型例魏"(xWR),则⑸十a】)+(a,,+aj+(a,+a3)+…+(&,十a典刑例题______.(用数字作
答)
命题目的与解题技巧:①本小题主要考查二项式定理的基本知识,以及赋值法等基本方法.②观察式子特点,寻找x赋值
为多少时使已知所得等式更接近所求,从而使问题迎刃而解.
[解析]令x=0,得好1;
令x=l,得1=a“+ai+a2+…+a丸忡阳故(a°+ai)+(a«+a2)+(ao+a3)+…+(a0+a典型例题OO3+ao+ai+a2+…+a典吧例题04.
[答案]
B.一C.
____。;+1______lim______3x2______1
答案:B指导:原式弁,o
“(2+3+...+〃)—〃一8..(〃_1)(2+万—3
"2
3(2002•上海)在二项式(l+3x)和(2x+5)的展开式中,各项系数之和分别记为an,bn,n是正整数,则
“T83an-也
答案:1指导:由二项式定理得:%=4",h=7".•.吧8守二梁=巴8,,:2丁:=吧8-7-=1
2
23a“-4%3・4"-4・7”3.(1)"_4
4(典型例题)若(x+2)"=x"+…+ax:'++bx2+cx+2ll(nWN,且n》3),且a:b=3:2,贝ljn=.
答案:指案(x+2)n=C^xn+C\xn+€>"-1x21+...+cr3x3x2"-3+C^2x2+C^lx'x2"-1+C;x2",
n33
故a=2~+C;;=2"~x"5T)("-2〃=2„-2c„-2x"("T)...£=lx巴匚=m=11
3x2x12x1b232
II题点经典类型题
1(典型例题)若(n£N+),且(2—x)n=aO+alx+a2x24-a+anXn,则a0~al+a2-,+(-l)nan等于
A.81B.27
C.243D.729
命题目的与解题技巧:①考查二次式定理②灵活运用“半和”公式③合理使用“赋值法”
[解析]由题知2n+6=n+2,/.n=-4(舍)或2n十6n十2=20n=4.
止匕时令x=—La<rai+a2-a3+…(T)nan=34=81.
[答案]A
2(典型例题)己知2出二a®+a«.】+…+an(其中m、n£Z,且0Wm<n).若f(x)=
A.0
B.-2
C.(-1)"
D.n为偶数时为0,n为奇数时为-2
答案:D指导:由题知,只需令x=1,则
〃n11
yq=x(-D'cio-I)'=YC;,(-2)z=C^(-2)°=C,',(-2)'+...C;,(-2)n=(1-2)”=(-1)"
J1=0J
i=0i=0
nn
=(-l)-«0=(-l)-I/.当“为奇数时,=-2,;.当"为偶数时,£为=0,
/=01=11=1
3(典型例题)若n是奇数,则7"+C:7"T+C;7"-2+...+C;i7被9除的余数是
A.0B.2C.7D.8
答案:C指导:原式
=C"+C,1,•7n-1+...C;,-l•7+C;'-l.=(7+l)n-l=8n-l=(9-l)n-l=C®(-1)°9"++1....+C;;(-l)"-l.
:n为奇数,故侨余数为7。
l2,l<
4(典型例题)若(2—x)°=ao+aix+a2x+"ail>x',
则Iog2a0+log2as+log45=.
102
答案:12指导,:log2a()+log2-log245=log22+log2•2-log245=10+2+log245-log245=12
m新高考命题探究
1在(l+x)"(n为正整数)的二项展开式中,奇数项的利为A,偶数项的和为B,贝iJG-x')”的值为
A.0B.AB
C.A2-B2D.A'+B2
答案:C指导:由题知(1-x)"=A-8(1-X)"=A+8:.(1-X2)"=(1-X)"(1
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