画法几何及工程制图 课件全套 王兰美 第0-11章 绪论、制图基本知识与技能-其它图样

绪论1.课程的地位、性质和任务5.工程上常用的几种投影图8.工程技术导引＊2.课程的学习任务4.投影方法6.图形语言的形成及发展＊7.我国工程图的发展概况＊3.课程的学习方法1.课程的性质、地位和任务性质：机械类专业必修的技术基础课地位：所有专业课程的先修课程，112学时，7学分；第1学期72学时，第2学期40学时;3个学院，7个专业任务：研究图解空间几何问题以及绘制和阅读工程图样的理论和方法。工程图样是机械类专业学生展示课程设计、毕业设计的重要技术资料。阅读和绘制机械图样是机械工程专业从业人员的必备技能。

根据投影原理、标准或有关规定，表示工程对象，并有必要的技术说明的图称为图样。

一切机器、仪器和工程建筑都是根据图样进行制造和建设的。设计者通过图样来描述设计对象，表达其设计意图；制造者根据图样来了解设计要求，组织制造和施工；使用者通过图样来了解使用对象的结构和性能，进行保养和维修。所以，图样被称为工程界的技术语言。

1.课程的性质、地位和任务

本课程是高等工科院校中一门既有理论又有实践的重要技术基础课。其目的是培养学生具有绘图、看图和空间想象能力。主要任务是：(1)学习投影法(主要是正投影法)的基本理论及其应用;(2)培养空间形体的图示表达能力;(3)培养绘制和阅读工程图样(主要是机械图样)的基本能力;(4)培养空间几何问题的图解能力;(5)培养空间想象能力和空间分析能力;(6)培养计算机绘图的初步能力。(7)培养耐心细致的工作作风和严肃认真的工作态度。1.课程的性质、地位和任务2.课程的学习内容绘图基本知识点、线、面的投影基本立体的投影复杂立体（组合体）投影国标规定的图样画法机械图样3.课程的学习方法(1)在学习理论基础部分--画法几何时要把基本概念理解透彻,做到融会贯通,灵活应用这些概念和方法进行解题。

(2)为了培养空间形体的图示表达能力,必须对物体进行几何分析以掌握它在各种相对位置时的图示特点。随着空间形体与平面图形之间关系的认识不断深化,逐步提高图示能力。(3)为了培养解决空间问题的图解能力,必须分析已知条件、明确解题思路提出解题方法和步骤，再进行作图。有的解题可有多种方法，应选择比较简单的方法进行作图。(4)绘图和读图能力的培养主要通过一系列的绘图与读图实践。在实践中逐步掌握绘图与读图方法，以及熟悉制图国家标准等。（5）要注意培养自学能力。在学中，要循序渐进和抓住重点，把基本概念、基本理论和基本知识掌握好，然后深入了解有关理论内容和扩展知识面。4.投影方法投影方法的概念AP

PB1B2B3

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。点在一个投影面上的投影4.投影方法投影方法的分类投影方法分中心投影法和平行投影法两种。中心投影法4.投影方法中心投影法的基本性质投影唯一性4.投影方法中心投影法的基本性质一个投影不能确定点的空间位置投影类似性、从属性4.投影方法平行投影法斜投影法正投影法4.投影方法平行投影法的基本性质定比性平行性4.投影方法平行投影法的基本性质积聚性实形性位移性5.工程上常用的几种投影图两个不同形状物体的投影相同多面正投影图5.工程上常用的几种投影图轴测投影图5.工程上常用的几种投影图标高投影图5.工程上常用的几种投影图透视投影图8.工程技术导引——工程技术领域

现代工程技术领域包括：

航空航天工程、

农业工程、

化学工程、

土木建筑工程、

运输工程、

信息电气工程、

采矿与冶金工程、

石油工程、

工业工程、

机械工程等。

几乎所有的工程领域都与机械工程密切相关，它们需用的装备，都由机械工程完成。可以说，机械工程是各工程的基础。

8.工程技术简介——机械工程领域

机械工程的主要专业领域有发电、运输、肮空科学与技术、船舶、制造业、供电业务和原子能等。

发电需要将原动机为发电机提供动力来生产电能。机械工程师设计和监督蒸汽机、涡轮机、内燃机和其他原动机的运行。

运输包括载重汽车、公共汽车、小汽车、机车、船舶以及飞机的设汁和制造.都由机械工程师进行。

航空科学与技术要求机械工程师不仅要研制飞机控制系统和环境系统,而且要研制飞机的发动机

船舶由蒸汽机、柴油机或燃气发动机供供动力,它们由机械工程师进行设计。船舶上的照明、供水、制冷和通风等都由供电设备供给动力。

制造业要求机械工程师设计新的产品和工厂,并在工厂里制造产品.据高制造产品的经济效益.保证产品符合质量要求.这些都是制造工程师的主要职责。

动力设施包括通过管道输送液体和气体、制冷系统、升降机和自动电梯.这些工程师必须具有泵、通风机、鼓风机和压缩机等方面的知识。

原子能要求机械工程师研制和处理放射性保护设备和材料。机械工程师在核反应堆的建造中起着重要的作用。新型搅拌车用减速器压铸机汽车设计第1章制图基本知识与技能1.1制图国家标准的基本规定1.2尺规绘图1.3徒手绘图1.4计算机绘图1.1制图国家标准基本规定图纸幅面尺寸

基本幅面mm注意：必要时可以加长幅面。幅面代号尺寸B×LA0841×1189A1594×841A2420×594A3297×420A4210×2971.1.1图纸幅面及格式（GB/T14690-2008）图框格式在图纸上必须用粗实线画出图框。不留装订边留装订边基本幅面的图框尺寸

mm幅面代号A0A1A2A3A4B×L841×1189594×841420×594297×420210×297e2010c105a251.1.2标题栏（GB10609.1-2008）标题栏格式山东理工大学减速器JSQ-00451：1SAB11@2张三9.10标题栏方位:绘图时必须在每张图纸的右下角画出标题栏。注意：若使用预先印制的图纸，为了明确绘图与看图时的图纸方向，应在图纸的下边绘制对中符号（粗实线直线）处，并画出一个方向符号（细实线等边三角形）。1.1.2标题栏（GB10609.1-2008）1.1.3明细栏（GB/T10609.2-2009）图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比称为比例。标准比例系列允许选用比例系列1.1.4比例（GB/T14690-1993）

不论采用缩小或放大的比例绘图，图样中所标注的尺寸均为机件的实际尺寸!注意：绘制同一机件的各个图形原则上应采用相同的比例，并在标题栏中注明。必要时，可在视图名称的下方标注比例。在图样中书写汉字、字母、数字时必须做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐字体高度的公称尺寸系列h：1.8,2.5,3.5,5,7,10,14,20mm汉字应写成长仿宋体字母拉丁字母希腊字母数字为阿拉伯数字字体宽度为h/√21.1.5字体（GB/T14691-1993）1.1.5字体（GB/T14691-1993）机械图样中常用图线的形式及应用

1.1.6图线（GB/T4457.4-2002GB/T17450-1998）代码№名称线型宽度一般应用01.1细实线约d/21.过渡线2.尺寸线及尺寸界线3.剖面线4.指引线和基准线5.重合断面的轮廓线6.短中心线7.螺纹的牙底线及齿轮齿根线8.范围线及分界线9.辅助线10.投影线11.不连续同一表面连线12.成规律分布的相同要素连线波浪线1.断裂处的边界线2.视图和剖视的分界线双折线1.断裂处的边界线2.视图和剖视的分界线代码№名称线型宽度一般应用01.2粗实线d1.可见棱边线2.可见轮廓线02.1细虚线约d/21.不可见棱边线2.不可见轮廓线02.2粗虚线d允许表面处理的表示线04.1细点画线约d/21.轴线、对称中心线2.分度圆线3.孔系分布的中心线04.2粗点画线d限定范围表示线05.1细双点画线约d/21.相邻辅助零件的轮廓线2.可动零件的极限位置的轮廓线3.剖切面前的结构轮廓线

1.1.6图线（GB/T4457.4-2002GB/T17450-1998）机械图样中常用图线的形式及应用虚线和点画线的画法虚线中的每一线段长度约12d(6~8mm)，间隔约3d(1.5mm)。点画线和双点画线的长画长度约24d(15~20mm)，点的长度≤0.5d(1mm)，间隔约3d（1.5mm）。图线宽度图线分为粗细两种，粗线宽度为d，按照图的大小和复杂程度选定。线宽比线宽组d2.01.41.00.70.50.350.5d1.00.70.50.350.250.18图线线宽组

绘制比较复杂的图样或比例较小时，应优先选用细的线宽组。同一张图样用选用相同的线宽组。1）同一图样中，同类图线的宽度应一致。虚线、点画线及双点画线的线段长度和间隔各自相等。2）两条平行线之间的距离应不小于粗实线宽度的2倍。3）绘制圆的中心线时，圆心应为长画的交点。点画线和双点画线的首末两端应是长画，而不是点。中心线超出轮廓线2~5mm。4）较小图形画点画线和双点画线可用细实线代替。图线画法

1.1.6图线（GB/T4457.4-2002GB/T17450-1998）图线画法

1.1.6图线（GB/T4457.4-2002GB/T17450-1998）图线画法

1.1.6图线（GB/T4457.4-2002GB/T17450-1998）图线画法

1.1.6图线（GB/T4457.4-2002GB/T17450-1998）基本规则1）图样中的尺寸凡以毫米为单位时，不需要标注其计量单位的代号或名称；如采用其他单位，则必须注明相应的计量单位的代号或名称。2）机件的真实大小应以图样上所注的尺寸数值为依据，与图形的大小及绘图的准确度无关。3）机件的每一尺寸，在图样上一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。4）图样中所注的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则应另加说明。

1.1.7尺寸标注（GB/T4458.4-2003GB/T16675.2-2012）标注尺寸的基本要素一个完整的尺寸包括：尺寸界线、尺寸线和尺寸终端、尺寸数字和符号。尺寸界线1.用细实线绘制；2.由图形的轮廓线、轴线或对称中心线处引出，也可以直接利用这些线作为尺寸界线；超出箭头2~3mm；3.尺寸界线一般应与尺寸线垂直，必要时允许倾斜；4.在光滑过渡处标注尺寸时，必须用细实线将轮廓延长，从它们的交点处引出尺寸界线。尺寸线1.必须用细实线绘制；2.单独画出，不能用其他图线代替，不能与其它图线的延长线重合；3.线性尺寸的尺寸线应与所标注尺寸线段平行，相同方向尺寸线间距均匀，间隔大于5mm；4.尺寸线与尺寸线之间或尺寸线与尺寸界线之间应尽量避免相交。尺寸线终端箭头斜线尺寸数字1.线性尺寸的数字通常注写在尺寸线的上方或中断处；2.尺寸数字不允许被任何图线所通过，否则，需将图线断开或引出标注；

尺寸数字3.角度尺寸数字必须水平书写，一般注写在中断处；4.线性尺寸数字的注写方向为：水平方向的尺寸数字字头向上，垂直方向的尺寸数字字头向左，倾斜方向的尺寸数字字头偏向斜上方；避免在30°范围内标注尺寸。尺寸符号符号含义符号含义Ф直径埋头孔R半径┗┛沉孔或锪平S球↧深度EQS均布□正方形C45°倒角斜度t厚度锥度⌒弧长展开长±正负偏差—连字符×参数分隔符尺寸符号标注示例1.角度尺寸界线沿径向引出；2.角度尺寸线画成圆弧，圆心是该角的顶点3.角度尺寸数字一律写成水平方向。标注示例1.直径尺寸应在尺寸数字前加注符号Ф。2.半径尺寸必须注在投影为圆的图形上，尺寸线应自圆心引向圆弧。3.半圆或小于半圆的圆弧标注半径。标注示例1.半径尺寸应在尺寸数字前加注符号R。2.尺寸线应通过圆心，尺寸线终端画成箭头。3.整圆或大于半圆注直径。斜度和锥度的标注，其符号应与斜度、锥度的方向一致；标注示例标注示例当圆弧半径过大，在图纸范围内无法标注出圆心位置时，可以按照图示方法进行标注。标注示例标注球面直径或半径时，应在“Ф”或“R”前再加注符号“S”。对于标准件、轴及手柄的前端，在不引起误解的情况下，可省略“S”。标注示例板状零件可以用一个视图表达其形状，在尺寸数字前加注符号“t”表示其厚度。标注示例在没有足够位置画箭头或注写数字时，可按照图示形式注写。标注示例在没有足够位置画箭头或注写数字时，可按照图示形式注写。标注示例1.标注弧长时，应在尺寸数字前加符号。2.弦长和弧长的尺寸界线应平行于该弦的垂直平分线，当弧长较大时，可沿径向引出。标注示例表示断面为正方形结构尺寸时，可在正方形边长尺寸数字前加注符号“□”，或用B×B代替。标注示例当对称物体的图形只画出一半或略大于一半时，尺寸线应超过对称中心线或断裂处的边界线，并在尺寸线的一端画出箭头。第1章制图基本知识与技能1.1制图国家标准的基本规定1.2尺规绘图1.3徒手绘图1.4计算机绘图绘图笔1.2尺规绘图1.2.1绘图工具和仪器的使用方法铅笔描图笔：鸭嘴笔、管状描图笔图板、丁字尺和三角板1.2尺规绘图1.2.1绘图工具和仪器的使用方法用图板、丁字尺和三角板绘制水平线、垂直线和特殊角度的倾斜线1.2尺规绘图1.2.1绘图工具和仪器的使用方法1.2尺规绘图1.2.1绘图工具和仪器的使用方法绘制15°、75°倾斜线绘制直线的平行线和垂直线圆规和分规1.2尺规绘图1.2.1绘图工具和仪器的使用方法圆规和分规圆规上铅芯的削法和形状曲线板擦线板擦线板1.2.2几何作图的基本原理和方法作正六边形作正五边形作正n边形(七边形)

斜度是指一直线（或平面）对另一直线（或平面）的倾斜程度。其大小以它们夹角的正切来表示，并将此值化为1:n的形式。斜度斜度

锥度是指正圆锥体的底圆直径与正圆锥体的高度之比，并把此值化为1:n的形式。锥度锥度

主要的问题就是准确的求出连接弧的圆心和切点。圆弧连接圆弧连接的基本几何原理圆弧连接的基本几何原理圆弧连接的基本几何原理1）求出连接弧的圆心；2）定出切点的位置；3）准确的画出连接圆弧；圆弧连接的作图方法圆弧连接的作图方法圆弧连接的作图方法圆弧连接实例四心近似法同心圆法椭圆圆的渐开线1.2.3平面图形画法平面图形是由一些基本几何图形（线段或线框）构成平面图形的尺寸标注必须要做到正确、完整、清晰1）确定尺寸基准2）标注定形尺寸3）标注必要的定位尺寸4）检查、调整、补遗删多尺寸标注步骤：1.2.3平面图形画法定形尺寸用来确定平面图形中各线段（或线框）形状大小的尺寸。定位尺寸用来确定平面图形中各线段或线框间相对位置的尺寸。平面图形的尺寸分析尺寸基准：标注尺寸的起点。

通常将图形的对称线、较大圆的中心线、主要轮廓线等作为尺寸基准。平面图形的尺寸分析平面图形尺寸标注示例平面图形尺寸标注示例平面图形尺寸标注示例平面图形尺寸标注方法1）图形分解法将平面图形分解为一个基本图形和几个子图形，然后确定基本图形的尺寸基准，标注其定形尺寸；再依次确定各子图形的定形、定位尺寸。2）特征尺寸法将平面图形尺寸分为两类特征尺寸，一为直线尺寸，包括水平垂直和倾斜；二是圆弧和角度尺寸；分别标注，定形尺寸和定位尺寸一起标准。平面图形的线段分析1、已知线段（定位尺寸和定形尺寸均齐全）根据图形中所注的尺寸，可以独立画出的圆、圆弧或直线。2、中间线段（定形尺寸齐全，但定位尺寸不全）除图形中标注的尺寸外，还需根据一个连接关系才能画出的圆弧或直线。需根据两个连接关系才能画出的圆弧或直线。3、连接线段（只有定形尺寸，无定位尺寸）平面图形绘图步骤平面图形绘图步骤扳手的画法分析平面图形构型设计的基本原则构型应表达功能特征1.2.4平面图形构型设计平面图形构型设计的基本原则构型应注意工程化1.2.4平面图形构型设计便于绘图与标注尺寸平面图形构型设计的基本原则注意运用图形变换和整体效果1.2.4平面图形构型设计平面图形构型设计的基本原则应考虑美学、力学、视觉等方面的整体效果1.2.4平面图形构型设计平面图形构型设计方法1.2.4平面图形构型设计1.2.5绘图方法与步骤1.准备工作2.图形布局3.轻画底稿4.检查描深5.标注尺寸等，填写标题栏1.3徒手绘图在方格纸上徒手绘制草图1.3徒手绘图徒手画直线的姿势与方法徒手画斜线1.3徒手绘图徒手画圆1.3徒手绘图徒手画圆弧1.3徒手绘图徒手画椭圆1.3徒手绘图橱柜的徒手草图1.3徒手绘图不规则物体的草图绘制课程有1章专门介绍计算机绘图软件的使用，在此不多做介绍。1.4计算机绘图124第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例1252.1点的投影采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。点在一个投影面上的投影:解决办法？AP

PB1B2B31262.1.1点在两投影面体系中的投影两投影面体系1272.1.1点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影A点的水平投影——aA点的正面投影——a

Aa′aXzAayAa1282.1.1点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影规律a′aX⊥OX轴a′aX=AaaaX=Aa′zAyAAa′aXzAayAa1292.1.1点在两投影面体系中的投影其他分角中点的投影d′cc′CcXb′bBbXdDdXc′ccXb′bbXd′ddX1302.1.1点在两投影面体系中的投影投影面和投影轴上点的投影g′gGg′gkKk′m′mMn′nm′mn′nNl′lLl′lkk′1312.1.2点的三面投影三投影面体系和点的三面投影132aa

⊥OXa

a

⊥OZaaX=a

aZ

=YA2.1.2点的三面投影三投影面体系中点的投影规律1332.1.2点的三面投影点的三面投影与直角坐标的关系a

aZ

=aaYH

=xAa

a

X

=a

aYW

=zAaaX

=a

aYW

=yAxAzAyA134WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动aaZaa

yayaXYYO

●●az●x投影面展开例1：已知点A(20,15,10)、B(30,10,0)、C(15,0,0)，作出点的三面投影。12136解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用分规直接量取a

az=aax例2：已知点的两个投影，求第三投影。137

b′

c

c′

d′

dzXYW

YHo

b

a

a′例3：已知点的两投影，求其第三投影

b″

d

″

c

″

a″138

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右关系。判断方法：x

坐标大的在左

y

坐标大的在前z

坐标大的在上2.1.3

两点的相对位置B点在A点的前、右、下。例4：已知点A和B的两面投影，求第三面投影。

标出两点的相对位置，并画出它们的直观图。140重影点2.1.3

两点的相对位置

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。被挡住的投影加()141第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例1422.2直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的两面投影。WH1432.2直线的投影直线的投影仍为直线，特殊情况下积聚为一点144一般位置直线（投影面倾斜线）2.2.1

各种位置直线的投影特性三个投影都与投影轴倾斜且都小于实长三个投影与投影轴的夹角都不反应直线对投影面的夹角

投影面平行线平行于一个投影面而与另外两个投影面成倾斜正平线水平线侧平线2.2.1

各种位置直线的投影特性YWH投影特性：1．a

b

=AB2．ab

OX;a

b

OZ3．反映a、

角的真实大小正平线YWH水平线投影特性：1．ab=AB2．a

b

OX;a

b

OYW3．反映

、

角的真实大小YWH投影特性：1．a

b

=AB2．ab

OYH;a

b

OZ3．反映a、

角的真实大小侧平线149b

a

aba

b

b

aa

b

ba

在其平行的那个投影面上的投影反映实长，与该投影轴夹角反映直线与另两投影面倾角的真实大小。另两个投影平行于相应的投影轴，小于实长。水平线侧平线正平线γ与H面的夹角:α

与V面的角:β

与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

投影特性

投影面垂直线垂直于一个投影面即与另外两个投影面都平行铅垂线正垂线侧垂线2.2.1

各种位置直线的投影特性YWH投影特性：1．a

b

积聚成一点2．ab

OX;a

b

OZ

3．ab=a

b

=AB正垂线YWH投影特性：1．ab

积聚成一点2．a

b

OX;a

b

OYW

3．a

b

=a

b

=AB铅垂线YWH投影特性：1．a

b

积聚成一点2．ab

OＹ

H;a

b

OZ

3．ab=a

b

=AB侧垂线154铅垂线正垂线侧垂线另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。在其垂直的投影面上，投影有积聚性。●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)投影特性求线段实长及a实长实长实长直角三角形ABC中：斜边AB=AB实长直角边BC=b

c

=

Z直角边AC=ab

Za角:ab与实长AB的夹角

Z

Z

Z直角三角形2.2.2

直线段的实长和对投影面的倾角实长直角三角形ABD中：斜边AB=AB实长直角边DA=ad

=

Y直角边BD=a

b

b角:a

b

与实长AB的夹角

Y实长

Y

Y直角三角形求线段实长及b2.2.2

直线段的实长和对投影面的倾角直角三角形ABE中：斜边AB=AB实长直角边AE=ae

=

X直角边BE=a

b

g角:a

b

与实长AB的夹角实长

X

X直角三角形求线段实长及g2.2.2

直线段的实长和对投影面的倾角以a′b′为直角边，实长为斜边，作直角三角形。直角三角形的另一条直角边为

YAB。连接ab1、ab2即为所求（两解）例1：已知线段的实长AB，求它的水平投影。过a作ab0平行于X轴，过b′作b′b0垂直于X轴，并截取b1b0=b2b0=

YAB。方法一：过b′作线垂直于X轴过a作线aA0平行于X轴截取A0b0=a′b′以A0为圆心，R=AB(L)作圆弧，交b

′B0于b1、b2连接ab1、ab2即为所求（两解）例1：已知线段的实长AB，求它的水平投影。方法二：1602.2.3直线上的点直线上的点的特性：1.从属性;2.定比性161◆若点在直线上,则点投影必在直线的同名投影上。◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。◆并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理点在直线上的判别方法：162点C不在直线AB上点C在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca

b

c

c

abca

b

c

abcb

a

b

c

a

点C不在直线AB上163例2:已知侧平线AB的两面投影和直线上点S的正面投影s

，求水平投影s。解法1：从属性解法2：定比性164延长a′b′与X轴相交即得水平迹点M的正面投影m′自n引X轴的垂线与a′b′的延长线相交于n′即为水平迹点N的正面投影延长ab与X轴相交即得水平迹点N的水平投影n自m′引X轴的垂线与ab的延长线相交于m,即为水平迹点M的水平投影直线的迹点1652.2.4两直线的相对位置平行相交交叉垂直

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

两直线平行167abcdc

a

b

d

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD例1：判断图中两条直线是否平行。cbadd

b

a

对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。c

b

d

a

c

168例2：判断图中两条直线是否平行。方法一方法二169

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。两直线相交170d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。●●cabb

a

c

先作正面投影171★同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线交叉两直线交叉173例题判断两交叉直线上重影点的可见性174投影面平行线垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影垂直。两直线垂直（相交）两直线垂直（交叉）交叉垂直的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影垂直。例1：判断两直线是否垂直垂直垂直垂直垂直不垂直不垂直177例2:求作AB、CD两直线的公垂线178例3:已知菱形ABCD的一条对角线AC为正平线，菱形的一边位于直线AM上，求该菱形的投影。a′amcXOc′m′b′bd′d179第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例1802.3平面的投影平面的表示法——几何元素表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形abca

b

c

abca

b

c

dd

abca

b

c

abca

b

c

abca

b

c

1812.3平面的投影平面的表示法——迹线表示法1822.3平面的投影迹线平面与非迹线平面的转换183按照平面对于三投影面的位置空间中的平面可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面投影面倾斜面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面一般位置平面正平面侧平面水平面2.3.1各类平面的投影特性184投影面垂直面垂直于一个投影面而与另外两个投影面成倾斜正垂面铅垂面侧垂面铅垂面投影特性：1.水平投影积聚为一条直线2.正面投影和侧面投影为原形的类似形3.水平投影与OX、OY

的夹角反映b、

角的真实大小迹线表示铅垂面简化表示:仅画出积聚的投影投影特性：

1.正面投影积聚为一条线

2.水平投影和侧面投影为类似形3.正面投影与OX、OZ

的夹角反映α、

角的真实大小正垂面投影特性：

1.侧面投影积聚为一条线

2.水平投影和正面投影为类似形3.侧面投影与OY、OZ

的夹角反映α、b

角的真实大小侧垂面189投影面平行面平行于一个投影面，即与另外两个投影面垂直正平面水平面侧平面投影特性：

1.正面投影反映实形

2.水平投影、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相应的OX、OZ

投影轴yy正平面迹线表示正平面投影特性：

1.水平投影反映平面实形

2.正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OX、OY1投影轴水平面投影特性：

1.侧面投影反映平面实形

2.水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OY、OZ

投影轴侧平面投影特性:1.三个投影均为的类似形2.投影图不反映

、

、

的真实角度一般位置面（倾斜面）是什么位置的平面？195abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面为什么？γβ196a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面是什么位置的平面？为什么？197平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面真实性类似性积聚性2.3.1各类平面的投影特性198若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。2.3.2平面上的点和直线平面上取直线199若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。2.3.2平面上的点和直线平面上取点200例1：已知一平面ABCD及点K的两面投影，

（1）判断点K是否在平面上？

（2）已知平面上一点E的正面投影e

，作出其水平投影。k不在CF上，故K不在平面上。201例2：已知在平行四边形ABCD开一燕尾槽，根据其正面投影作出水平投影。1234565′6′202例3：已知一正垂面的两面投影，求第三面投影。203例4：完成六边形的水平投影。204平面上的特殊直线——平行线205n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？例1：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。a

b

c

bac206m

n

nm例2

已知平面

ABC，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。平面对投影面的最大斜度线平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上对该投影面平行线的同面投影。208例：求做平面△ABC与水平面的夹角。a′b′c′cbaXOΔzΔzα209第2章几何元素的投影2.1点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例2102.4几何元素间的相对位置2.4.1平行问题若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。直线与平面平行例：过已知点K，作一水平线KM平行已知平面△ABCd′dm′m例：过点K作正平线平行于P面例：过点K作铅垂面P平行于直线ABm′mPHPVPX213fg

f

gb

a

abc

e

d

edc不平行例:试判断直线AB是否平行于平面△CDE

2142.4几何元素间的相对位置2.4.1平行问题若一平面上的相交两直线，对应地平行于另一平面上的相交两直线，则这两个平面相互平行。两平面平行PHPVPXQHQVQX例：判断两平面是否平行例：过点K作面Q平行于面P两平面平行216f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

两平面平行例：试判断两平面是否平行217em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k例:过点K作一平面平行于由AB、CD两直线确定平面。218直线与平面相交平面与平面相交交点是线与面的共有点

注意：线与面、面与面会产生遮挡关系，须判断被遮挡部分，即判别可见性。2.4.2相交问题交线是面与面的共有线求交点求交线求交点判别可见性例:求正垂线AB与倾斜面CDE的交点K。例:求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。2k′1′(2′)1求交点判别可见性k例:求直线AB与面P的交点K。k′k例:求正垂面EFGH与倾斜面ABC的交线MN。m′(2)求交线判别可见性mn′1′n12′例:求铅垂面P与倾斜面ABC的交线KL。k′求交线判别可见性kl′l过已知直线作与一投影面垂直的平面作出该辅助平面与已知平面的交线作出该交线与已知直线的交点利用重影点判断可见性辅助平面法作交点224例：求直线MN与△ABC的交点K。过已知直线作与一投影面垂直的平面作出该辅助平面与已知平面的交线作出该交线与已知直线的交点利用重影点判断可见性2d′1′(2′)1dPHee′k′k(4)33′4′例：已知三条直线CD、EF、GH，要求作一直线AB平行CD，且与EF、GH相交。过E作CD平行线，该线与EF成一面辅助平面法求该面与GH的交点A过A作CD平行线交EF于点B连接AB，即得所求21′2′bab′k′k1a′PV全交两平面相交的两种情况互交辅助平面法求AC与DEFG的交点K辅助平面法求BC与DEFG的交点L连接KL，即得交线利用重影点判断可见性辅助平面法作交线k′k1′(4′)(2)12′343′PVQVll′作辅助平面P与两已知面相交，分别求交线，得到交线的交点K连接KL，即得交线三面共点法作交线k′k1′4′12′343′PVQH作辅助平面Q与两已知面相交，分别求交线，得到交线的交点Ll′l2两迹线平面相交两迹线平面相交2312.4.3垂直问题

直线与平面垂直，直线垂直于平面上任意直线。反之，直线垂直平面上任意两条相交直线，则直线垂直该平面。直线与平面垂直直线与平面垂直一直线垂直一平面，则该直线的正面投影垂直于该平面上正平线的正面投影；直线的水平投影垂直于该平面上水平线的水平投影。反之，直线的正面投影和水平投影分别垂直于平面上正平线的正面投影和水平线的水平投影，则直线垂直该平面。例：求点到直线AB的距离。c′k′1′12′k2距离k′2342.4.3垂直问题

平面与平面垂直直线与平面垂直，过这条直线的所有平面都垂直于平面。反之，两平面垂直，从第一平面内任意一点向另一平面所作的垂线，必定在第一平面内。235例：已知正垂面△ABC和点K，过K点作平面垂直△ABC。l′m′lm236第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例237当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，其投影具有反映实形或重影等特性。比较容易解决定位问题和度量问题。几何元素处于有利于解题位置2.5投影变换2.5.1投影变换的方法换面法旋转法选择新投影面的原则：平行实形平行X1轴//abc2.5.2变换投影面法新投影面必须处于有利于解题位置;新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。点的一次变换点在V1/H

体系中的投影不变投影新投影旧投影.新投影面不变投影面旧投影面投影规律：新投影与不变投影的连线垂直于新投影轴；新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..点的一次变换..点的二次变换把一般位置直线变为投影面平行线更换正立投影面更换水平投影面一次变换将投影面平行线变为投影面垂直线..垂直把一般位置线变为投影面垂直线.把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直ABC实形.把投影面垂直面变为平行面把一般位置平面变为投影面平行面250例：求点C到直线AB的距离，并求垂足K。解题步骤：2.由c1

k1与X2轴平行得到k1

，作投影连线求出k′、k。1.将线AB变换为投影面垂直线。将点C随之变换，a2′c2′就是点到线的距离。251例：求侧平线MN与三角形ABC的交点K。a1c1k′m1b1n1k1e1kee′解题步骤：3.由k1得到k′，利用yk求出k。并判别可见性。2.将直线MN随之变换，得到交点K在H1面的投影。1.将面ABC变换为投影面垂直面。例：试过定点A作直线与已知直线EF正交。解题步骤：3.过a1′作e1′

f1′的垂线,得k1′2.点A

随之变换4.将k1′a1′返回原体系1.将直线EF变换为新投影面的平行线例：求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的位置。解题步骤：3.将s2t2返回原体系2.在投影面H2

中作公垂线ST

的投影s2t2。1.将两已知直线之一CD

变换为投影面垂直线,直线AB

随之变换。距离实长例：求△ABC与△ABD之间的夹角解题步骤：2.两平面随之变换1.将交线AB

变换为新投影面的垂直线3.角即为所求2552.5.3绕垂直于投影面的轴旋转实形点绕正垂轴旋转点绕铅垂轴旋转“三同”原则:绕同一根轴、向同一方向、旋转同一角度直线与平面的旋转规律旋转不变性：几何元素在轴所垂直的投影面上的投影，旋转前后的形状和大小不变直线与平面的旋转规律不指明轴旋转法直线与平面的旋转规律把一般位置直线旋转到投影面平行线位置直线绕铅垂轴旋转直线绕正垂轴旋转把一般位置直线旋转到投影面平行线位置把一般位置直线旋转到投影面垂直线位置把一般位置平面旋转到投影面垂直面位置把一般位置平面旋转到投影面平行面位置例：过已知点作直线与已知直线垂直。例：试将点D

绕所设OO

轴旋转到已知平面ABC

上。268例：

绕铅垂轴把直线AB旋转到已知平面CDEF

上。269第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例2702.6综合问题解题示例2.6.1解题的一般步骤★分析题意★确定解题的方法和步骤★投影作图题目分类：相对位置题、距离题、角度题、综合题2.6.2题目分类及分析方法分析方法相对位置题：轨迹法和逆推法。距离题（定距离和等距离）：轨迹法。角度题：直角定理的应用。综合题：轨迹法、逆推法、多种辅助方法。b′c′d′k′a′bcdka271例：过点K作直线KL，使其垂直于交叉直线AB、CD。e●e′●

1.过B点作BE∥CD，则AB和BE建立一个平面。

2.作KL⊥△ABE。l●l′●b′bRHRV272例：直角三角形ABC中AB为一直角边，另一直角边AC平行平面R，且C点距V面20mm，完成该三角形的两面投影。c′●

1.过A点作AMN⊥AB

2.在△AMN内过A点作直线∥平面Rc●m●m′●n●`n′●

3.取Y坐标20mm，确定C点投影

4.连接同面投影，作出三角形的投影m′a′b′c′abc4.含点F作平面平行于△ABC

GF∥BC，FH∥AB2732.含点C作CK⊥△ABC，即ck⊥cd；c′k′

⊥c′e′

1.含点C在△ABC内作CD∥H面，CE∥V面

3.用直角三角形法求CK实长，并确定实长为15mm的水平投影长，求出f、f′

。

5.在所作的平面内含点M作直线GJ,在GJ上据m′求出m。d′dee′kk′g′ff′gh′hj′jm例：已知点M到△ABC的距离15mm，求m。4.用换面法将AB换为投影面平行线，JK一起变换。点C在AB的垂直平分面上，据此求得点C2.辅助平面法求作FGM与HI的交点，即点B1.含FG作平面FGM平行于DE3.过点B作线平行于DE,交FG于一点，即点A。连接AB5.连线得到△ABC的两面投影例：已知直线DE、FG、HI、JK。等腰△ABC的底边AB平行于DE，且点A在FG上，点B在HI上，顶点C在JK上。完成△ABC的两面投影。c′a′b′m′cabm第3章曲线与曲面3.1曲线的形成与投影3.2曲面的形成与表达方法3.1曲线的形成与投影曲线可以看作为点连续运动的轨迹，也可认为是平面与曲面或两曲面相交而成。曲线平面曲线空间曲线圆、椭圆、双曲线、抛物线、渐开线、摆线螺旋线3.1曲线的形成与投影光滑曲线不光滑曲线3.1曲线的形成与投影曲线投影的作图方法：坐标描点法3.1曲线的形成与投影1.曲线的投影一般仍为曲线。2.曲线上点的投影必在该曲线的投影上。3.曲线切线的投影仍为曲线投影的切线。4.一般情况下曲线投影的次数不变。曲线投影的基本性质：3.1曲线的形成与投影3.1.1

圆的投影当圆与投影面平行时，其投影仍为圆。3.1曲线的形成与投影3.1.1

圆的投影当圆与投影面垂直时，其投影为直线。3.1曲线的形成与投影3.1.1

圆的投影当圆与投影面倾斜时，其投影为椭圆。3.1曲线的形成与投影3.1.1

圆的投影

最大斜度线法作一般位置圆的投影——椭圆3.1曲线的形成与投影3.1.1

圆的投影

换面法作一般位置圆的投影——椭圆例：已知一般位置平面IIIIIIIV上有一个以O为圆心，直径为2R的圆，试作其两面投影3、旋向一、形成二、三要素：1、直径2、导程右旋左旋3.1曲线的形成与投影3.1.2

圆柱螺旋线圆柱螺旋线的画法Pn圆柱螺旋线的展开Pn3.2曲面的形成与表达方法3.2.1

概述曲面可以看作一条线在空间按一定规律连续运动而成，或者说曲面是动线所有位置的集合。母线母线导线导线母线导线3.2曲面的形成与表达方法3.2.1

概述曲面的分类直线面

柱面、锥面、切线面可展曲面

直线回转面圆柱面、圆锥面单叶双曲回转面不可展曲面柱状面、锥状面、双曲抛物面

曲线面

曲线回转面

椭圆面、椭圆抛物面3.2曲面的形成与表达方法3.2.1

概述曲面的投影外形轮廓线3.2曲面的形成与表达方法3.2.2

柱面柱面的形成和投影3.2曲面的形成与表达方法3.2.3

锥面锥面的形成和投影3.2曲面的形成与表达方法3.2.4

曲线回转面曲线回转面的形成和投影3.2曲面的形成与表达方法3.2.5

螺旋面正螺旋面的形成物料移动方向物料进口螺旋输送器3.2曲面的形成与表达方法3.2.5

螺旋面正螺旋面的投影3.2曲面的形成与表达方法3.2.5

螺旋面斜螺旋面的形成3.2曲面的形成与表达方法3.2.5

螺旋面斜螺旋面的投影第4章立体4.1立体的投影4.2平面与立体相交4.3立体与立体相交4.1立体的投影立体平面立体曲面立体表面由平面构成表面由曲面或者由曲面和平面构成棱柱棱锥圆柱圆锥球圆环4.1.1平面立体——六棱柱的投影m′mm″n′n″n4.1.1平面立体——三棱锥的投影m′mm″(n′)n″n1′14.1.2常见回转体——圆柱的投影m′mm″4.1.2常见回转体——圆锥的投影辅助素线法m′mm″1′14.1.2常见回转体——圆锥的投影辅助圆法m′mm″2′1s′4.1.2常见回转体——球的投影2′1′21m′mm″4.1.2常见回转体——圆环的投影m′mm″4.1.2常见回转体——汽门汽门的内环面4.1.2常见回转体

——工程上常见不完整回转体第4章立体4.1立体的投影4.2平面与立体相交4.3立体与立体相交4.2平面与立体相交车刀顶尖（1）共有性:截交线是截交面与立体表面的共有线截交面截断面截交线4.2平面与立体相交——截交线的性质（2）封闭性:截交线为封闭曲线，截断面为封闭的平面图形4.2.1平面与平面立体相交——交线分析

平面与平面立体相交所得的截交线是由直线组成的封闭多边形。

4.2.1平面与平面立体相交——交线求法求P与SC棱的交点III求P与SB棱的交点II3.求交线的其他投影。4.整理轮廓线。22″33″2′3′1′m′1.分析立体和截平面。2.想象立体上那些表面与截平面相交，能得到几条交线，找到交线的已知投影，即确定交线两端点的已知投影。求P与SA棱的交点I连线作图步骤：1m1″4.2.1平面与平面立体相交——交线求法求正垂面与棱锥的交线3.求交线的其他投影。4.整理轮廓线。22″33″2′(3′)1′1.分析立体和截平面。2.想象立体上那些表面与截平面相交，能得到几条交线，找到交线的已知投影，即确定交线两端点的已知投影。求水平面与棱锥的交线连线作图步骤：11″4′4″44.2.1平面与平面立体相交——应用举例4.2.1平面与平面立体相交——应用举例4.2.1平面与平面立体相交——应用举例4.2.2平面与常见回转体相交——截交线形状截交线形状取决于立体结构及截平面的位置4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆柱相交：交线形状平面与轴线垂直平面与轴线平行平面与轴线倾斜截交线为矩形线框截平面与圆柱轴线平行yyyy作图方法截交线为椭圆截平面与圆柱轴线倾斜yy作图方法2′3′1′(4′)yy求特殊点求一般点连线整理轮廓线11

′′5′(6′)7′(8′)23456782′′3′′4′′5′′6′′7′′8′′4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆柱相交：应用实例作图方法：求侧垂面与圆柱的交线求水平面与圆柱的交线整理轮廓线作图方法：求平面与圆孔的交线求平面与圆柱的交线整理轮廓线yyyyyyyy作图方法：求侧垂面与圆柱的交线求水平面与圆柱的交线整理轮廓线作图方法：求平面与圆孔的交线求平面与圆柱的交线整理轮廓线yyyy4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆柱相交：应用实例yyyyyyyyyyyy作图方法：求侧垂面与圆柱的交线求水平面与圆柱的交线整理轮廓线作图方法：求平面与圆孔的交线求平面与圆柱的交线整理轮廓线4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆柱相交：应用实例4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆柱相交：应用实例yyyy2′4′1′(3′)1

′′14353′′4′′(5′)5

′′2

′′2作图方法：求正平面与圆柱的交线求正垂面与圆柱的交线整理轮廓线4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆柱相交：应用实例作图方法：求水平面与圆柱的交线（直线）求侧垂面与圆柱的交线（圆弧）整理轮廓线求正垂面与圆柱的交线（椭圆弧）3′5′1′(4′)1

′′355′′(6′)6′′2

′′(2′)3′′4′′2641分析立体和截平面，想象各面与圆柱相交交线情况4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆锥相交：交线形状椭圆圆两条直线双曲线抛物线当a<r,截交线为椭圆作图方法：求特殊点求一般点连线整理轮廓线1′2′(3′)4′(6′)5′18′′7′′5′′6′′4′′3′′2′′1′′34567827′(8′)当a=r,截交线为抛物线作图方法：求特殊点连线整理轮廓线1′(2′)2′′1′′3′′4′′5′′(4′)3′5′12345当a>r,截交线为双曲线作图方法：求特殊点求一般点连线整理轮廓线1′(2′)2′′1′′3′′4′′5′′(5′)3′4′12345当截平面过锥顶,截交线为直线作图方法：求平面与底圆交点连线整理轮廓线1′(2′)2′′1′′12当截平面与圆锥轴线垂直,截交线为圆4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与圆锥相交：应用举例作图方法：求正垂面与圆锥的交线（椭圆弧）求水平面与圆锥的交线（圆弧）整理轮廓线求侧平面与圆锥的交线（双曲线）分析立体和截平面，想象各面与圆锥相交交线情况4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与球相交：交线形状垂直于正立投影面的圆的水平投影投影椭圆交线为圆4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与球相交：交线求法作图方法:求特殊点求一般点（略）连线整理轮廓线2′7′4782′′1′′7′′4′(5′)6′(8′)1′(3′)3′′4′′5′′6′′8′′123564.2.2平面与常见回转体相交

——平面与球相交：应用举例作图方法:分析立体和截平面想象各平面与球的交线求水平面与球的交线整理轮廓线求侧平面与球的交线4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与组合回转体的交线作图方法:分析立体和截平面想象平面与各立体的交线求平面与球的交线整理轮廓线求平面与圆锥的交线球圆锥圆柱4.2.2平面与常见回转体相交

——平面与组合回转体的交线作图方法:分析想象立体求水平面、侧平面与圆柱、圆锥的交线整理轮廓线求正平面、侧平面与圆柱、圆锥的交线第4章立体4.1立体的投影4.2平面与立体相交4.3立体与立体相交4.3立体与立体相交两立体相交表面会产生交线，称为相贯线。相贯线是两立体表面的共有线。平面立体与平面立体相交分解为求平面与平面立体相交平面立体与曲面立体相交分解为求平面与曲面立体相交曲面立体与曲面立体相交两曲面立体相交交线多为空间四次曲线。在不同情况下，求空间曲线的投影的方法有积聚性法、辅助平面法、辅助球面法等。特殊情况交线会是平面曲线甚至是直线。积聚性法：求两圆柱正交的交线3′1′2

′′(4′)4′′21作图方法:求特殊点求一般点连线整理轮廓线分析已知投影yyy辅助直线34562′5′6′1′′(3′′)

5′′(6′′)

两圆柱正交的三种情形两实心圆柱相交实心圆柱与圆孔相交两圆柱孔相交两圆柱正交直径不同时的交线变化d1<Dd1<d2<Dd=D两圆柱正交应用举例积聚性法：求两圆柱偏交的交线作图方法:求特殊点求一般点连线整理轮廓线分析已知投影yy3′1′2

′′4′′2132′5′6′1′′5′′(3′′

)

4678(6′′

)

7′′(8′′

)

4′7′8′5两圆柱由正交变偏交时交线的变化积聚性法：求圆柱与圆锥的交线作图方法:求特殊点连线整理轮廓线分析已知投影213467851′6′4′8′2′1′′10′910(7′)(5′)(3′)2′′3′′4′′5′′6′′7′′9′′8′′10′′(9′)圆柱与圆锥相交时交线的变化积聚性法：求圆柱与圆锥的交线作图方法:求特殊点连线整理轮廓线分析已知投影21346751′6′4′8′2′7′求一般点83′5′积聚性法：求圆柱与圆锥的交线积聚性法：求圆柱与球的交线作图方法:求特殊点连线整理轮廓线分析已知投影2134651′5′3′2′1′′(6′)2′′3′′4′′5′′6′′求一般点(4′)圆柱与球相交时交线的变化积聚性法：求圆柱与球的交线积聚性法：求圆柱与圆柱偏交的交线辅助平面法作两立体的交线作图方法:分别作出辅助平面与两立体的交线交线的交点，即为两立体表面的共有点，也就是相贯线上的点顺次光滑连接各点得到立体交线，整理轮廓线作辅助平面，与两立体相交按照上述方法求作特殊点和一般点分析两立体共有点共有点共有点选择辅助平面的原则：辅助平面与两立体的交线的投影都是简单易画的图形，例如直线或圆。辅助平面法：求圆柱与球的交线作图方法:求特殊点连线整理轮廓线分析立体21346751′7′5′2′(8′)(4′)求一般点3′(6′)8