画法几何及工程制图 课件 第2章 几何元素的投影

1第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例22.1点的投影采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。点在一个投影面上的投影:解决办法？AP

PB1B2B332.1.1点在两投影面体系中的投影两投影面体系42.1.1点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影A点的水平投影——aA点的正面投影——a

Aa′aXzAayAa52.1.1点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影规律a′aX⊥OX轴a′aX=AaaaX=Aa′zAyAAa′aXzAayAa62.1.1点在两投影面体系中的投影其他分角中点的投影d′cc′CcXb′bBbXdDdXc′ccXb′bbXd′ddX72.1.1点在两投影面体系中的投影投影面和投影轴上点的投影g′gGg′gkKk′m′mMn′nm′mn′nNl′lLl′lkk′82.1.2点的三面投影三投影面体系和点的三面投影9aa

⊥OXa

a

⊥OZaaX=a

aZ

=YA2.1.2点的三面投影三投影面体系中点的投影规律102.1.2点的三面投影点的三面投影与直角坐标的关系a

aZ

=aaYH

=xAa

a

X

=a

aYW

=zAaaX

=a

aYW

=yAxAzAyA11WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动aaZaa

yayaXYYO

●●az●x投影面展开例1：已知点A(20,15,10)、B(30,10,0)、C(15,0,0)，作出点的三面投影。1213解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用分规直接量取a

az=aax例2：已知点的两个投影，求第三投影。14

b′

c

c′

d′

dzXYW

YHo

b

a

a′例3：已知点的两投影，求其第三投影

b″

d

″

c

″

a″15

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右关系。判断方法：x

坐标大的在左

y

坐标大的在前z

坐标大的在上2.1.3

两点的相对位置B点在A点的前、右、下。例4：已知点A和B的两面投影，求第三面投影。

标出两点的相对位置，并画出它们的直观图。17重影点2.1.3

两点的相对位置

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。被挡住的投影加()18第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例192.2直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的两面投影。WH202.2直线的投影直线的投影仍为直线，特殊情况下积聚为一点21一般位置直线（投影面倾斜线）2.2.1

各种位置直线的投影特性三个投影都与投影轴倾斜且都小于实长三个投影与投影轴的夹角都不反应直线对投影面的夹角

投影面平行线平行于一个投影面而与另外两个投影面成倾斜正平线水平线侧平线2.2.1

各种位置直线的投影特性YWH投影特性：1．a

b

=AB2．ab

OX;a

b

OZ3．反映a、

角的真实大小正平线YWH水平线投影特性：1．ab=AB2．a

b

OX;a

b

OYW3．反映

、

角的真实大小YWH投影特性：1．a

b

=AB2．ab

OYH;a

b

OZ3．反映a、

角的真实大小侧平线26b

a

aba

b

b

aa

b

ba

在其平行的那个投影面上的投影反映实长，与该投影轴夹角反映直线与另两投影面倾角的真实大小。另两个投影平行于相应的投影轴，小于实长。水平线侧平线正平线γ与H面的夹角:α

与V面的角:β

与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

投影特性

投影面垂直线垂直于一个投影面即与另外两个投影面都平行铅垂线正垂线侧垂线2.2.1

各种位置直线的投影特性YWH投影特性：1．a

b

积聚成一点2．ab

OX;a

b

OZ

3．ab=a

b

=AB正垂线YWH投影特性：1．ab

积聚成一点2．a

b

OX;a

b

OYW

3．a

b

=a

b

=AB铅垂线YWH投影特性：1．a

b

积聚成一点2．ab

OＹ

H;a

b

OZ

3．ab=a

b

=AB侧垂线31铅垂线正垂线侧垂线另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。在其垂直的投影面上，投影有积聚性。●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)投影特性求线段实长及a实长实长实长直角三角形ABC中：斜边AB=AB实长直角边BC=b

c

=

Z直角边AC=ab

Za角:ab与实长AB的夹角

Z

Z

Z直角三角形2.2.2

直线段的实长和对投影面的倾角实长直角三角形ABD中：斜边AB=AB实长直角边DA=ad

=

Y直角边BD=a

b

b角:a

b

与实长AB的夹角

Y实长

Y

Y直角三角形求线段实长及b2.2.2

直线段的实长和对投影面的倾角直角三角形ABE中：斜边AB=AB实长直角边AE=ae

=

X直角边BE=a

b

g角:a

b

与实长AB的夹角实长

X

X直角三角形求线段实长及g2.2.2

直线段的实长和对投影面的倾角以a′b′为直角边，实长为斜边，作直角三角形。直角三角形的另一条直角边为

YAB。连接ab1、ab2即为所求（两解）例1：已知线段的实长AB，求它的水平投影。过a作ab0平行于X轴，过b′作b′b0垂直于X轴，并截取b1b0=b2b0=

YAB。方法一：过b′作线垂直于X轴过a作线aA0平行于X轴截取A0b0=a′b′以A0为圆心，R=AB(L)作圆弧，交b

′B0于b1、b2连接ab1、ab2即为所求（两解）例1：已知线段的实长AB，求它的水平投影。方法二：372.2.3直线上的点直线上的点的特性：1.从属性;2.定比性38◆若点在直线上,则点投影必在直线的同名投影上。◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。◆并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理点在直线上的判别方法：39点C不在直线AB上点C在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca

b

c

c

abca

b

c

abcb

a

b

c

a

点C不在直线AB上40例2:已知侧平线AB的两面投影和直线上点S的正面投影s

，求水平投影s。解法1：从属性解法2：定比性41延长a′b′与X轴相交即得水平迹点M的正面投影m′自n引X轴的垂线与a′b′的延长线相交于n′即为水平迹点N的正面投影延长ab与X轴相交即得水平迹点N的水平投影n自m′引X轴的垂线与ab的延长线相交于m,即为水平迹点M的水平投影直线的迹点422.2.4两直线的相对位置平行相交交叉垂直

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

两直线平行44abcdc

a

b

d

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD例1：判断图中两条直线是否平行。cbadd

b

a

对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。c

b

d

a

c

45例2：判断图中两条直线是否平行。方法一方法二46

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。两直线相交47d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。●●cabb

a

c

先作正面投影48★同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线交叉两直线交叉50例题判断两交叉直线上重影点的可见性51投影面平行线垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影垂直。两直线垂直（相交）两直线垂直（交叉）交叉垂直的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影垂直。例1：判断两直线是否垂直垂直垂直垂直垂直不垂直不垂直54例2:求作AB、CD两直线的公垂线55例3:已知菱形ABCD的一条对角线AC为正平线，菱形的一边位于直线AM上，求该菱形的投影。a′amcXOc′m′b′bd′d56第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例572.3平面的投影平面的表示法——几何元素表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形abca

b

c

abca

b

c

dd

abca

b

c

abca

b

c

abca

b

c

582.3平面的投影平面的表示法——迹线表示法592.3平面的投影迹线平面与非迹线平面的转换60按照平面对于三投影面的位置空间中的平面可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面投影面倾斜面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面一般位置平面正平面侧平面水平面2.3.1各类平面的投影特性61投影面垂直面垂直于一个投影面而与另外两个投影面成倾斜正垂面铅垂面侧垂面铅垂面投影特性：1.水平投影积聚为一条直线2.正面投影和侧面投影为原形的类似形3.水平投影与OX、OY

的夹角反映b、

角的真实大小迹线表示铅垂面简化表示:仅画出积聚的投影投影特性：

1.正面投影积聚为一条线

2.水平投影和侧面投影为类似形3.正面投影与OX、OZ

的夹角反映α、

角的真实大小正垂面投影特性：

1.侧面投影积聚为一条线

2.水平投影和正面投影为类似形3.侧面投影与OY、OZ

的夹角反映α、b

角的真实大小侧垂面66投影面平行面平行于一个投影面，即与另外两个投影面垂直正平面水平面侧平面投影特性：

1.正面投影反映实形

2.水平投影、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相应的OX、OZ

投影轴yy正平面迹线表示正平面投影特性：

1.水平投影反映平面实形

2.正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OX、OY1投影轴水平面投影特性：

1.侧面投影反映平面实形

2.水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OY、OZ

投影轴侧平面投影特性:1.三个投影均为的类似形2.投影图不反映

、

、

的真实角度一般位置面（倾斜面）是什么位置的平面？72abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面为什么？γβ73a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面是什么位置的平面？为什么？74平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面真实性类似性积聚性2.3.1各类平面的投影特性75若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。2.3.2平面上的点和直线平面上取直线76若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。2.3.2平面上的点和直线平面上取点77例1：已知一平面ABCD及点K的两面投影，

（1）判断点K是否在平面上？

（2）已知平面上一点E的正面投影e

，作出其水平投影。k不在CF上，故K不在平面上。78例2：已知在平行四边形ABCD开一燕尾槽，根据其正面投影作出水平投影。1234565′6′79例3：已知一正垂面的两面投影，求第三面投影。80例4：完成六边形的水平投影。81平面上的特殊直线——平行线82n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？例1：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。a

b

c

bac83m

n

nm例2

已知平面

ABC，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。平面对投影面的最大斜度线平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上对该投影面平行线的同面投影。85例：求做平面△ABC与水平面的夹角。a′b′c′cbaXOΔzΔzα86第2章几何元素的投影2.1点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例872.4几何元素间的相对位置2.4.1平行问题若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。直线与平面平行例：过已知点K，作一水平线KM平行已知平面△ABCd′dm′m例：过点K作正平线平行于P面例：过点K作铅垂面P平行于直线ABm′mPHPVPX90fg

f

gb

a

abc

e

d

edc不平行例:试判断直线AB是否平行于平面△CDE

912.4几何元素间的相对位置2.4.1平行问题若一平面上的相交两直线，对应地平行于另一平面上的相交两直线，则这两个平面相互平行。两平面平行PHPVPXQHQVQX例：判断两平面是否平行例：过点K作面Q平行于面P两平面平行93f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

两平面平行例：试判断两平面是否平行94em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k例:过点K作一平面平行于由AB、CD两直线确定平面。95直线与平面相交平面与平面相交交点是线与面的共有点

注意：线与面、面与面会产生遮挡关系，须判断被遮挡部分，即判别可见性。2.4.2相交问题交线是面与面的共有线求交点求交线求交点判别可见性例:求正垂线AB与倾斜面CDE的交点K。例:求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。2k′1′(2′)1求交点判别可见性k例:求直线AB与面P的交点K。k′k例:求正垂面EFGH与倾斜面ABC的交线MN。m′(2)求交线判别可见性mn′1′n12′例:求铅垂面P与倾斜面ABC的交线KL。k′求交线判别可见性kl′l过已知直线作与一投影面垂直的平面作出该辅助平面与已知平面的交线作出该交线与已知直线的交点利用重影点判断可见性辅助平面法作交点101例：求直线MN与△ABC的交点K。过已知直线作与一投影面垂直的平面作出该辅助平面与已知平面的交线作出该交线与已知直线的交点利用重影点判断可见性2d′1′(2′)1dPHee′k′k(4)33′4′例：已知三条直线CD、EF、GH，要求作一直线AB平行CD，且与EF、GH相交。过E作CD平行线，该线与EF成一面辅助平面法求该面与GH的交点A过A作CD平行线交EF于点B连接AB，即得所求21′2′bab′k′k1a′PV全交两平面相交的两种情况互交辅助平面法求AC与DEFG的交点K辅助平面法求BC与DEFG的交点L连接KL，即得交线利用重影点判断可见性辅助平面法作交线k′k1′(4′)(2)12′343′PVQVll′作辅助平面P与两已知面相交，分别求交线，得到交线的交点K连接KL，即得交线三面共点法作交线k′k1′4′12′343′PVQH作辅助平面Q与两已知面相交，分别求交线，得到交线的交点Ll′l2两迹线平面相交两迹线平面相交1082.4.3垂直问题

直线与平面垂直，直线垂直于平面上任意直线。反之，直线垂直平面上任意两条相交直线，则直线垂直该平面。直线与平面垂直直线与平面垂直一直线垂直一平面，则该直线的正面投影垂直于该平面上正平线的正面投影；直线的水平投影垂直于该平面上水平线的水平投影。反之，直线的正面投影和水平投影分别垂直于平面上正平线的正面投影和水平线的水平投影，则直线垂直该平面。例：求点到直线AB的距离。c′k′1′12′k2距离k′1112.4.3垂直问题

平面与平面垂直直线与平面垂直，过这条直线的所有平面都垂直于平面。反之，两平面垂直，从第一平面内任意一点向另一平面所作的垂线，必定在第一平面内。112例：已知正垂面△ABC和点K，过K点作平面垂直△ABC。l′m′lm113第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.5投影变换2.6综合问题解题示例114当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，其投影具有反映实形或重影等特性。比较容易解决定位问题和度量问题。几何元素处于有利于解题位置2.5投影变换2.5.1投影变换的方法换面法旋转法选择新投影面的原则：平行实形平行X1轴//abc2.5.2变换投影面法新投影面必须处于有利于解题位置;新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。点的一次变换点在V1/H

体系中的投影不变投影新投影旧投影.新投影面不变投影面旧投影面投影规律：新投影与不变投影的连线垂直于新投影轴；新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..点的一次变换..点的二次变换把一般位置直线变为投影面平行线更换正立投影面更换水平投影面一次变换将投影面平行线变为投影面垂直线..垂直把一般位置线变为投影面垂直线.把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直ABC实形.把投影面垂直面变为平行面把一般位置平面变为投影面平行面127例：求点C到直线AB的距离，并求垂足K。解题步骤：2.由c1

k1与X2轴平行得到k1

，作投影连线求出k′、k。1.将线AB变换为投影面垂直线。将点C随之变换，a2′c2′就是点到线的距离。128例：求侧平线MN与三角形ABC的交点K。a1c1k′m1b1n1k1e1kee′解题步骤：3.由k1得到k′，利用yk求出k。并判别可见性。2.将直线MN随之变换，得到交点K在H1面的投影。1.将面ABC变换为投影面垂直面。例：试过定点A作直线与已知直线EF正交。解题步骤：3.过a1′作e1′

f1′的垂线,得k1′2.点A

随之变换4.将k1′a1′返回原体系1.将直线EF变换为新投影面的平行线例：求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的位置。解题步骤：3.将s2t2返回原体系2.在投影面H2

中作公垂线ST

的投影s2t2。1.将两已知直线之一CD

变换为投影面垂直线,直线AB

随之变换。距离实长例：求△ABC与△ABD之间的夹角解题步骤：2.两平面随之变换1.将交线AB

变换为新投影面的垂直线3.角即为所求1322.5.3绕垂直于投影面的轴旋转实形点绕正垂轴旋转点绕铅垂轴旋转“三同”原则:绕同一根轴、向同一方向、旋转同一角度直线与平面的旋转规律旋转不变性：几何元素在轴所垂直的投影面上的投影，旋转前后的形状和大小不变直线与平面的旋转规律不指明轴旋转法直线与平面的旋转规律把一般位置直线旋转到投影面平行线位置直线绕铅垂轴旋转直线绕正垂轴旋转把一般位置直线旋转到投影面平行线位置把一般位置直线旋转到投影面垂直线位置把一般位置平面旋转到投影面垂直面位置把一般位置平面旋转到投影面平行面位置例：过已知点作直线与已知直线垂直。例：试将点D

绕所设OO

轴旋转到已知平面ABC

上。145例：

绕铅垂轴把直线AB旋转到已知平面CDEF

上。146第2章几何元素的投影2.1

点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面、