统计计算 课件 3.3 随机模拟的应用

3.3随机模拟的应用3.3.1停车的平均次数3.3.2快递问题3.3.3冰激凌销售问题3.3.4旧笔新笔问题3.3.5进货问题3.3.1停车的平均次数某旅行社开展一日游的线路旅游。某天旅游大巴车从起点出发，一共载有40位游客，进行游览。完成所有的游览项目后，送游客回家。导游宣布大巴车一共有10个停车点，每位游客都可以选择在这10个停车点下车。假设每位游客在各个停车点下车都是等可能的，且独立，如果到达一个停车点没有人下车，就不停车。这辆大巴车平均停车多少次?1、理论分析表示在第i个停车点没有停车，即没有人下车，表示在第i个停车点停车，即有人下车。针对该问题使用随机变量分解。将停车的次数X分解成若干个简单随机变量的和。若该楼共有10个停车点，可以设实验步骤（1）把停车点编号为定义整型数组

，每个元素初始化为0；（2）随机产生0~n-1的的r个整数，数字为i表示第i站有乘客下车，此时令（3）中值为1的元素个数，这就是停车的次数，模拟N次求其平均值，为模拟值。3.3.2停车的平均次数某淘宝店的店主双十一时准备了n件不同的货物，发给不同地址的买家，由于时间匆忙，聘请临时工发货，该临时工随意的将货物放在贴有n个地址的快递箱子里，假设在每个快递箱中放了一件货物，如果把货物放进了它相应地址的快递箱中，称为完成了一个配对，求（1）至少有一件快递发对的概率。（2）平均配对数。1、理论分析表示第i件货物没有放在第i个快递箱中，表示第i件货物放在第i个快递箱中，形成一个配对。针对该问题使用随机变量分解。将配对数X分解成若干个简单随机变量的和。一共n封信，设2、实验步骤（1）建立一个列表x，令x[i]=i，即第i封信对应第i个信封。（2）完成1~n这n个数的随机排列。具体思路如下:①先令k=n，在1~n-1中任意选取一个j，然后交换x[n]与x[j]的值，实现一个对换。②再令k=n-1，在1~n-2中任意选取一个j，然后交换x[n-1]与x[j]的值，实现一个对换。③依次进行，直到k=1停止。这就是随机投点法。（3）计算配对数。若x[i]=i，即第i封信对应第i个信封，则完成一个配对，统计一共有多少个配对。将（1）～（3）重复N次，计算总的配对数和平均配对数。平均配对数就是频率。期望模拟值等于频率，理论值为1，比较两个值。（4）计算至少有一个配对的频率。（5）计算1/m！，从而算出至少有一个配对的理论概率。（6）计算至少有一个配对的理论1-e-1，概率的极限值，将（4）～（6）三个结果输出，并比较。3、运行结果（1）至少一个配对的模拟频率值0.63388，至少一个配对的真实概率值为0.6321205357142857，至少一个配对的真实的概率的极限值0.6321205588285577（2）期望的真实值为1，期望模拟的值1.0073.3.3冰激凌销售问题某商店引进新品冰激凌，冰激凌销售量服从参数为λ的泊松分布，如果卖出一份可以赚a元，卖不掉则退回赔b元，该商店批发n份冰激凌，求商店卖新品冰激凌的利润期望，对a=1.5，b=0.6，λ=120，n=100进行模拟实验步骤（1）生成服从泊松分布的随机数X；（2）若（3）重复步骤（1）、（2）N次，将求得的Y累加，再除以总的次数N，得到的均值作为期望E(X)的模拟值。结果：100份冰激凌期望所得为149.74元3.3.4旧笔新笔问题箱子中有15支中性笔，其中9支是新的，3支是用过的，第一个人从箱子中拿了三支笔，用完后放回箱子中。第二个人再从箱子中取出三支笔。求：第二个人取出来的都是新笔的概率。已知第二个人取出的都是新笔，求第一个人取到的笔是新笔的概率。2、实验步骤（1）将中性笔的3支旧笔均标记为0，9支新笔标记为1。用列表X表示，前3个元素为0，后9个元素为1；（2）使用s1表示第一次取中性笔时取得的新笔数。先取第一支笔。从1到总的中性笔的个数total中取一个随机数t，表示取的是第t支笔，如果是新笔，s1+1，如果是旧笔，则s1不变。要保证取出的笔不再放回，方法是把最后一支笔与该笔调换位置，事实上只需要把最后一支笔放到第t支笔的位置即可。再取第二支笔，从1到total-1中取一个随机数t，表示取的是第t支笔，如果是新笔，s1+1，如果是旧笔，则s1不变。而保证取出的笔不再放回的方法仍然是把倒数第二支笔（第total-1支笔）与该笔调换位置，（事实上只需要把total-1个放到第t支笔的位置即可）。最后取第三支笔，同样取法；（3）重新对中兴笔标号。将中兴笔的3+s1个旧笔标记为0，将剩下的9-s1个新笔标记为1。用列表X表示，前3个元素为0，后9个元素为1；（4）第二次取3支笔。取法与第一次取笔相同。这样完成了一次实验；（5）将这样的实验进行N次。计算第二次取得都是新笔的频率，再求出两次取得都是3个新笔的频数/第二次取出是新笔的频数，这就是条件概率。3.3.5进货问题春天是吃草莓的季节，设消费者对草莓的需求量X（单位为盆）服从[20,30]区间的均匀分布，某超市的进货数为该区间上的整数，每卖出一盆利润为5元，如果当天卖不出去，第二天需要降价处理，每盒草莓亏损1元，如果供不应求从别的超市调货，利润变成3元，为了使利润不少于120元，求最少进货数量。1、理论分析设超市应进货量为m，用X表示销售数，销售X所得的利润记为Y，则Y是随机变量，且有

满足超市利润期望不少于120元的最少进货数量为24。2、实验步骤（1）定义利润函数profit(a,b)，a表示进货量，b表示需求量，则有(2)用列表p表示利润，首先将p的所有元素都赋初值为0。a为[20,30]上的随机数，让a分别取20到30的每一个数，将利润函数的结果累加后放入列表p中；（3）将实验重复进行N次。将列表p中的20个数均除以N。这就表示平均利润。输出进货数及相应的利润。从结果中找到取得最大利润对应的进货数即可。3、运行结果进货量20盆，平均利润115.05进货量21盆，平均利润116.78进货量22盆，平均利润118.24进货量23盆，平均利润119.42进货量24盆，平均利润120.34进货量25盆，平均利润120.97进货量26盆，平均利润121.34进货量27盆，平均利润121.44进货量28盆，平均利润121.27进货量29盆，平均利润120.82取得大于120的利润时的最少进货数24利润为120.3381取得最大利润时的进货数27最大利润为121.4355从模拟结果看，货物的进货数量在进货27盆的时候利润最大，进货24盆到29盆都满足获利大于120，当进货24盆时满足利润大于120元，这就是最小的进货量，由此可以验证模拟结果与实际计算值吻合。3.3.6迷宫问题小白在森林里玩迷宫游戏，在他面前有三条道路可以选择，第一条道路只需走20分钟就可以离开迷宫，第二条路走30分钟后又回到原路口，第三条路走50分钟回到原路口，假设小白选择每条道路都是等可能的，求他能出迷宫的平均时间。随机变量X表示走出迷宫花费的时间，Y表示第一次选择的道路。小白选了第一条道路，花费时间为20分钟，此时他选了第二条道路，花费时间为30分钟，此时他选了第三条道路，花费时间为50分钟，此时则小白能走出森林迷宫的平均时间为算法：（1）设置flag表示是否走出迷宫，flag=1表示在迷宫中，flag=0表示走出迷宫；（2）三条道路的序号用road表示，road=1，2，3分别表示三条道路，time表示花费的时间，初值为0；（3）若road=1，tim