黑龙江省哈尔滨市第十五职业高级中学高三数学理上学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第十五职业高级中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则点P到该抛物线的准线的距离为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：D2.已知F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线C与A、B两点，且，则弦中点的横坐标为（

）A．1

B．2

C．4

D．无法确定参考答案：3.已知，，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=cos（x+），则函数y=f（x）﹣log4|x|的零点个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【分析】f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（﹣1，1）上，y=﹣sinx，﹣1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的图象；y=log4|x|是个偶函数，图象过（1，0），和（4，1），结合图象可得函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数，从而得到函数零点个数．【解答】解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（﹣1，1）上，y=﹣sinx，﹣1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的图象．函数y=log4|x|是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，y=log4|x|=log4x，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与f（x）交与3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数是6个．故选C．【点评】本题本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．5.2008年北京奥运会足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（

）场次。

A.53

B.52

C.51

D.50参考答案：答案：C6.已知，，，则a，b，c的大小关系为A.

B.

C.

D.参考答案：A，，，故，所以.故选A.

7.已知的值是

A．

B．

C．

D．—

参考答案：B8.函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是(

)A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．9.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（

）A.7 B.9 C.10 D.13参考答案：C【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为，，三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为时，共有种排法；（2）当三个数为时，共有种排法；（3）当三个数为时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C.【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.等比数列满足，且，则当时，（

） A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,A是上的点，PC与相交于B、C两点，点D在上，CD//AP，AD与BC交于E，F为CE上的点,若,则PB=________.参考答案：1012.若函数()满足且时，,函数,则函数在区间内零点的个数有___个.参考答案：12略13.在中，若，，，则

参考答案：14.函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．其中真命题的序号为

（将所有真命题的序号都填上）参考答案：②③15.若函数在(0,+∞)上仅有一个零点，则a=__________．参考答案：【分析】令，并将其化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得其极大值，令等于这个极大值，解方程求得的值.【详解】令并化简得，，构造函数，，由于，故函数在上导数小于零，递减，在上导数大于零，递增，由，，当，有,当时，，且时，,函数在处取得极大值也是最大值为，又，所以当时，只有，解得.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数零点问题，考查构造函数法，考查极值、最值的求法，属于中档题.函数16.f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)17.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~]参考答案：（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

的分布为

X11.522.53PX的数学期望为

.（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则

.由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以

.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.19.已知定直线l：y=x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．参考答案：【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），椭圆C过点A，所以4m+n①，将y=x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x2+6nx+9n﹣1=0，由△=（6n）2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0②，…可得，，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6=0由题意可知，利用韦达定理可计算【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）椭圆C过点A，所以4m+n①，…将y=x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x2+6nx+9n﹣1=0，因为直线l与椭圆C相切，所以△=（6n）2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0②，…解①②可得，，所以椭圆方程为；…（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，由题意可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6=0由题意可知③…通分后可变形得到…将③式代入分子所以OM，ON斜率之和为定值0．…20.（10分）在中，角的对边分别为，且.①求角的大小；②求的取值范围.参考答案：21.（本小题满分13分）

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从

一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾

客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求

①顾客所获的奖励额为60元的概率

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和

50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励

总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球

的面值给出一个合适的设计，并说明理由.参考答案：22.已知函数．（1）解不等式；（2）若关于x的方程的解集为空集，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值