安徽省芜湖市罗公中学高二数学文上学期期末试卷含解析_第1页
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文档简介

安徽省芜湖市罗公中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)=()A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e参考答案:B【考点】导数的乘法与除法法则;导数的加法与减法法则.【分析】已知函数f(x)的导函数为f′(x),利用求导公式对f(x)进行求导,再把x=1代入,即可求解;【解答】解:∵函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,(x>0)∴f′(x)=2f′(1)+,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=﹣1,故选B;【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则,解决此题的关键是对f(x)进行正确求导,把f′(1)看成一个常数,就比较简单了;2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表:

甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103

则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性?(A)甲

(B)乙

(C)丙

(D)丁参考答案:D略3.设命题p:函数的最小正周期为;命题q:函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是(

(A)p为真(B)为假(C)为假(D)为真参考答案:C略4.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.πB.4πC.4πD.6π参考答案:B略5.设函数的导函数为,且,则等于

)A.

B.

C.

D.参考答案:B6.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为()A.6 B. C.3 D.12参考答案:A【分析】先求导数得切线斜率,再根据点斜式得切线方程,最后求切线与坐标轴交点,计算面积.【详解】的导数为,,可得在点处的切线斜率为:-3,即有切线的方程为.分别令,可得切线在,轴上的截距为6,2.即有围成的三角形的面积为:.故选:A.【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属基础题.7.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为

(

)

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 参考答案:C8.已知,如果一个线性规划问题的可行域问题是边界及其内部,线性目标函数,在点B处取最小值3,在点C处取最大值12,则下列关系一定成立的是

A.

B.

C.D.参考答案:C9.在数列{}中,=2,(),则的值为()A.49

B.50

C.51

D.52参考答案:D10.抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是()A. B. C. D.参考答案:B【考点】直线与圆锥曲线的关系.【分析】利用点到直线的距离公式,结合配方法,即可得到结论.【解答】解:设抛物线y=x2上的点的坐标为(x,y),则由点到直线的距离公式可得d===≥∴抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为

.参考答案:y2=4x

【考点】抛物线的标准方程.【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程,再由准线方程求得p,则抛物线标准方程可求.【解答】解:∵抛物线的准线方程为x=﹣1,∴可设抛物线方程为y2=2px(p>0),由准线方程x=﹣,得p=2.∴抛物线的标准方程为y2=4x.故答案为:y2=4x.12.曲线在点处的切线方程为

参考答案:;略13.若实数a,b满足a=+2,则a的最大值是.参考答案:20【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算.【分析】用换元法,设=x,=y,则x≥0,y≥0;求出b与a的解析式,由a=+2得出y与x的关系式,再根据其几何意义求出a的最大值.【解答】解:设=x,=y,且x≥0,y≥0;∴b=x2,4a﹣b=y2,即a==;∴a=+2可化为=y+2x,即(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,其中x≥0,y≥0;又(x﹣4)2+(y﹣2)2=20表示以(4,2)为圆心,以2为半径的圆的一部分;∴a==表示圆上点到原点距离平方的,如图所示;∴a的最大值是×(2r)2=r2=20故答案为:20.14.计算

.参考答案:102415.已知若不等式恒成立,则的最大值为______.参考答案:1616.已知点在直线上,若圆(为坐标原点)上存在点使得,则的取值范围为▲.参考答案:略17.若复数z=(m2﹣m)+mi是纯虚数,则实数m的值为

.参考答案:1【考点】复数的基本概念.【分析】根据复数的概念进行求解即可.【解答】解:若复数z=(m2﹣m)+mi是纯虚数,则,即,即m=1,故答案为:1三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)已知一条曲线在轴右侧,上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1。(1)求曲线的方程;(2)设直线交曲线于两点,线段的中点为,求直线的一般式方程。参考答案:(1)设是曲线上任意一点,那么点满足:,化简得。(或由定义法)(2)设,由,①②得:,由于易知的斜率存在,故,即,所以,故的一般式方程为。19.(本小题满分14分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;(Ⅱ)求中奖人数的分布列及数学期望.参考答案:(I)设甲、乙、丙中奖的事件分别为、、,则..

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是.……………4分(II)的所有可能取值为.

∴中奖人数的分布列为

.

14分略20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,,,60°,,E是PC的中点.(1)证明:AE⊥平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的正弦值.参考答案:(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,因PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,故CD⊥PA

……………2分由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC,∴AE⊥CD

……………4分由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD

……………6分(2)解过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.由(1)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角

……………8分由已知,可得∠CAD=30°.设AC=a,可得PA=a,AD=a,PD=a,AE=a.在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA·AD,则AM===a

……………10分在Rt△AEM中,sin∠AME==.所以二面角A-PD-C的正弦值为

……………12分方法二:∵AB=BC且∠ABC=60°

∴AB=BC=AC又∴AB⊥AD

且AC⊥CD∴∠DAC=30°,∠ADC=60°

……………2分不妨令

PA=AB=BC=AC=a分别以AB、AD、PA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)

B(a,0,0)P(0,0,a)

D(0,,0)C()

E()

……………4分(1)

且∴AE⊥面PCD

……………6分(2)为面PAD的一个法向量

……………7分

由(1)知为面PCD的一个法向量

……………8分∴二面角的余弦值

…………10分∴二面角的正弦值为

…………12分21.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知,,A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值;(3)若M,N分别为直线AA1,B1C上动点,求MN的最小值.参考答案:(1);(2);(3)【分析】(1)连接,根据题意得到,设到平面的距离为,由结合题中数据,即可求出结果;(2)分别以,,所在的直线为,,轴,建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量,平面的法向量,求出两向量夹角的余弦值,即可得出线面角的正弦值;(3)当是异面直线,的公垂线时,的长度最短,设向量,且,,根据题意求出满足题意的一个,根据求出异面直线,间距离,即可得出结果.【详解】(1)连接,因为平面,所以,因为,,得,,中,,在中,,则.又.设到平面的距离为,则由得,.从而.(2)如图所示,分别以,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,.设平面的法向量,又,.由,得,令,得,,即.又.∴.∴直线与平面所成角的正弦值是.(3)设向量,且,.∵,.∴,.令,得,,即,∵.所以异面直线,的距离,即为的最小值.【点睛】本题主要考查求点到面的距离,线面角的正弦值,以及异面直线间的距离,熟记等体积法求点到面的距离,灵活掌握空间向量的方法求线面角、异面直线间距离即可,属于常考题型.22.已知曲线从C上一点Qn(xn,yn)作x轴的垂线,交Cn于点Pn,再从点Pn作y轴的垂线,交C

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