广东省肇庆市大旺高级中学高三数学理期末试题含解析

广东省肇庆市大旺高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是(

)A. B.C. D.参考答案：C【分析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C内部，可得，解不等式即可.【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，则，，.又因为A，B在椭圆C上，所以，，两式相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.2.

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D3.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。4.已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且,若球的体积为,则这个直三棱柱的体积等于A.

B.

C.2

D.参考答案：B5.如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D为直角，AB=3，AD=，E为BC中点，若=3，则的值是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据=3和=0，利用向量的加法运算求出，再由勾股定理求出AC的长，利用向量的加减法运算求出和，由向量的数量积运算性质求出的值．解答：解：由题意得，==3，∵AB∥CD，∠D为直角，∴=0，代入上式得，，即，得，则AC===∵E为BC中点，∴=，且=，∴=?（）=﹣（）=﹣（9﹣3）=﹣3，故选D．点评：本题考查向量数量积在几何中的应用，以及向量的加减法和数乘几何意义，解答关键是利用向量数量积的运算性质，属于中档题．6.已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B． C． D．a2参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由条件f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，构建方程组，然后求解即可．【解答】解：∵f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，g（2）=a，∴f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2．①，∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴当x=﹣2时，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2

②即﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，又g（2）=a，∴a=2．代入①得：f（2）+2=22﹣2﹣2+2，∴f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=．故选：B．7.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2B．﹣2C．D．参考答案：A考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．8.已知复数为纯虚数，则为

．（

）

A．0

B．

C．

D．参考答案：

略9.已知函数是一个求余函数，记表示除以的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入的值为56，则输出的值为

()A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B此框图的功能是求大于的约数的个数，其约数有，，，，，，，共有个，故应选B．10.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（

）A．不全相等

B．均不相等

C．都相等且为

D．都相等且为参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以下命题正确的是

。

①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；

②一平面内两条曲线的方程分别是，它们的交点是，

则方程表示的曲线经过点；

③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一

点，取得的点到距离大小1的概率为；

④若等差数列前项和为，则三点共线。参考答案：①②④略12.已知曲线f（x）=xsinx+1在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，则实数a=

．参考答案：﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的综合应用．【分析】欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：f′（x）=sinx+xcosx，∵曲线在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，∴根据导数几何意义得：f′（）=﹣，即：1=﹣，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识．属于基础题．13.如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为．参考答案：（2+）π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别计算圆锥和圆柱的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆锥的高为，体积为=π，圆柱的体积为π?12?2=2π，∴该组合体的体积为（2+）π．故答案为：（2+）π．【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．14.已知，，则

．参考答案：

15.不等式logax﹣ln2x＜4（a＞0，且a≠1）对任意x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：（0，1）∪（，+∞）

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】不等式转化为＜（lnx）2+4，令t=lnx，得到＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：∵不等式logax﹣ln2x＜4，∴＜（lnx）2+4，令t=lnx，∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），∴＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，0＜a＜1时，lna＜0，显然成立，a＞1时，lna＞0，故lna＞，令g（t）=，t∈（0，ln100），则g′（t）=，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜2，令g′（t）＜0，解得：t＞2，故g（t）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故g（t）≤g（2）=，故lna＞，解得：a＞，综上，a∈（0，1）∪（，+∞），故答案为：（0，1）∪（，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．16.“”是“”

▲

的条件．参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】既不充分也不必要条件．当x=，满足x＞，但sinx=，则sinx＞不成立，即充分性不成立．

若x=-2π+满足sinx=＞，但x＞不成立，即必要性不成立．

故“x＞”是“sinx＞”的既不充分也不必要条件．故答案为既不充分也不必要条件．【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．17.已知函数，若存在，使得，则实数a的值为______．参考答案：【分析】函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．【详解】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知. （Ⅰ）求函数最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求周长的最大值．参考答案：（Ⅰ） ∴， 令，解得， ∴函数图象的对称轴方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即， ∵，∴， ∴， ∴． 由余弦定理可知当且仅当时等号成立.于是.故周长的最大值为.19.已知函数f(x)＝lg，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．参考答案：＞0，且a2－a＋1＝(a－)2＋＞0，∴1＋2x＋4x·a＞0，a＞－(＋)，当x∈(－∞，1]时，y＝与y＝都是减函数，∴y＝－(＋)在(－∞，1]上是增函数，－(＋)≤－，∴a＞－，故a的取值范围是(－，＋∞)．

20.本小题满分12分)设数列的前项和为,且，（1）证明:数列是等比数列；（2）若数列满足，求数列的前项和为．

参考答案：(本小题满分12分)解：（1）证明：因为，则

所以当时，，

整理得．

由，令，得，解得．

所以是首项为3，公比为2的等比数列．

（2）解：因为，

由，得．

所以

Ks5u所以．

略21.从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【分析】先求出基本事件总数n==60，再求出这个三位数是偶数包含的基本事件个数，由此能求出这个三位数是偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n==6