江西省上饶市私立育星中学高三数学理模拟试题含解析

江西省上饶市私立育星中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平行向量与共线向量．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选：B．【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2.已知双曲线是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1-2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是参考答案：D3.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知复数的共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1的共轭复数为﹣1+i，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.如图所示，则该图可能是下列函数中的那个函数的图象（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.执行如图所示的程序框图，输出的的值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.7.设曲线在点(3,2)

处的切线与直线垂直,则(

)A.2

B.

C.

D.参考答案：B8.根据如下样本数据：23[学4567-4.0-2.50.512.03.0得到的回归方程为，则（

）A.,

B.,

C.,

D.,参考答案：C略9.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 参考答案：A10.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为A．

B．

C．

D．参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设m>1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为_______。参考答案：12.若函数在R上有两个零点，则实数a的取值范围是__________.参考答案：略13.设函数若，则x0的取值范是

．参考答案：略14.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．参考答案：0.1【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．15.已知，若任取，都存在，使得，则的取值范围为

．参考答案：略16.当时，函数的最小值为________．参考答案：417.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为

．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列满足，（1）求，，；（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式。参考答案：（1）

∴(2)证明：易知，所以当==1

所以因为

所以略19.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．参考答案：【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna

由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增

（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．20.已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若存在x∈[﹣2，1]使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=，∴f（x）的最大值为f（﹣1）=1，（2）存在x∈[﹣2，1]使不等式a+1＞f（x）成立等价于a+1＞f（x）min，由（1）可知f（x）在[﹣2，=1]上递增，在[﹣1，1]上递减，f（﹣2）=﹣2，f（1）=﹣1．∴x=﹣2时，f（x）min=﹣2，即a+1＞﹣2，解得a＞﹣3，∴实数a的取值范围为（﹣3，+∞）21.某地区地理环境偏僻，严重制约经济发展，影响了某种土特产品销售。该地区政府每投资x万元，所获利润为万元.为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元.若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通.公路修通后该土特产品销售渠道拓宽，每投资x万元，可获利润万元.问从该土特产十年的投资总利润（未用来投资的专项财政拨款视为利润）来看，该项目有无开发价值？请详细说明理由.参考答案：解析：该项目有开发的价值.

（1）若不开发该产品：

因为政府每投资x万元，所获利润为万元，投资结余万元，故可设每年的总利润为

万元

故十年总利润为2220万元.

（2）若开发该产品前五年每年所获最大利润为万元，后五年可设每年总利润为

，万元故十年总利润为所以从该土特产十年的投资总利润来看，该项目具有开发价值.略22.已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出h（x）的解析式和导数，讨论a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出极值点和单调区间，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，由x2=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，求出导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线的斜率为k=，点（x0，y0）在f（x）=ln（x+1）上，则y0=ln（1+x0），可得=，解得x0=e﹣1，可得切线的斜率为，则切线方程为y﹣0=（x+1），即为x﹣ey+1=0；（Ⅱ）证明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+x2﹣x，导数h′（x）=+x﹣1=，x＞﹣1，当a﹣1≥0时，即a≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，由h′（x）=0得，x1=﹣，x2=，故h（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）=0得，x0=，h（x）在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．当0＜a＜1时，h（x）有两个极值点，即x1=﹣，x2=，可得x1+x2=0，x1x2=a﹣1，由0＜a＜1得，﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，即