四川省绵阳市实验高级中学高三数学理月考试题含解析

四川省绵阳市实验高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设偶函数对任意都有，且当时，，则（）A．10 B． C． D．参考答案：C2.若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出x．【解答】解：∵向量，∴3=（﹣6，0）+（2，1）=（﹣4，1），∵3与共线，∴﹣=，解得x=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．3.将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出三封信件投入两个邮箱的所有种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．【解答】解：三封信件投入两个邮箱的所有种数：23=8．每个邮箱都有信件的种数：C32?A22=6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．故选：B．4.将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的一个对称中心可以是（

）A.(0,0) B. C. D.参考答案：D【分析】先由题意得到变换后的函数解析式，再结合余弦函数的对称中心即可求出结果.【详解】将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数解析式为，所以其对称中心为（）.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.5.已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，则等于（

）A. B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】根据数列的通项公式可求得的值，再代入前项和公式，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A． B．2i C． D．.2+2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．8.已知点F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近的距离为A.2 B.4 C.2m D.4m参考答案：A，即，其中，又到其渐近线的距离:，故选A.9.已知数列的前项和为，，若时，是与的等差中项，则等于(

).

A.18

B.54

C.162

D.81参考答案：B略10.若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，若，则的取值范围是

参考答案：略12.曲线y=x2与所围成的图形的面积是．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用；定积分．【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与所围成的图形的面积．【解答】解：联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案为【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．13.已知函数有零点，则的取值范围是

．参考答案：；14.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为，已知B（1，0），点M为直线上的动点，则的最小值为

。参考答案：3略15.若函数的反函数为，则．参考答案：0由得，，即。16.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则?U（A∪B）=

．参考答案：{2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．17.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同，包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，这2只球颜色不同，包含的基本事件个数m=C=4，∴这2只球颜色不同的概率p==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）若?x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M；（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=m，求的最小值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）由绝对值不等式的性质，求得f（x）的最小值，令m不小于最小值，即可得到所求M；（2）由题意可得3a+b=2，运用乘1法和基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）由题意，不等式|x+1|+|x﹣1|≤m有解，即m≥（|x+1|+|x﹣1|）min=M．∵|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0?﹣1≤x≤1时取等号，∴M=2．（2）由（1）得3a+b=2，∴=，当且仅当时取等号，故．【点评】本题考查绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查存在性问题的解法，以及基本不等式的运用，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.已知函数（1）试讨论函数的单调性；（2）若，且在上的最大值为，求的表达式；（3）若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式。参考答案：已知函数（1）试讨论函数的单调性；（2）若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式。解：（1）当时，函数在上为减函数…………2分当时，抛物线开口向上，对称轴为函数在上为减函数，在上为增函数……………4分当时，抛物线开口向下，对称轴为函数在上为增函数，在上为减函数……………6分（2）

，又，得

…………………8分当，即时，

当，即时，

…………………12分

………………13分20.已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得≤x≤．再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得=﹣1，=2，解得b=﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1），则g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．21.（本小题满分13分）已知数列中，，，其前项和为，且当时，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，记数列的前项和为，证明对于任意的正整数，都有成立．参考答案：（Ⅰ）证明：当时，,

所以．

又由，可推知对一切正整数均有，

∴数列是等比数列．

………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为4，

∴．当时，，又，∴

………７分

（Ⅲ）证明：当时，，此时

，

又，

∴．

………９分

，

当时，＝

．

………12分又因为对任意的正整数都有所以单调递增，即，所以对于任意的正整数，都有成立．………1３分略22.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3,假设p1，p2，p3,互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需要派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。参考答案：本题考查了互斥事件至少有一个发生的概率、独立事件同时发生的概率、分布列、数学期望，以及运用概率知识解决实际问题.(1)按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为