专题01 19题新结构定义题（集合部分）原卷版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题0119题新结构定义题（集合部分）(典型题型归类训练)1．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.(1)①若，写出所有具有性质P的数列；②若，写出一个具有性质P的数列；(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若，求的值；(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出的所有自邻集；(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若，求证：.4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.(1)当，即集合.（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；(2)证明：；(3)证明：.5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.(3)求.7．（2022·北京丰台·统考二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．(1)已知，为聚合区间，求t的值；(2)已知，，…，，为聚合区间．（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．8．（2022·北京丰台·统考一模）已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；①；

②．(2)若是的3元完美子集，求的最小值；(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．9．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）在）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记(1)请写出一个“2阶H表”；(2)对任意一个“n阶H表”，若整数且，求证：为偶数；(3)求证：不存在“5阶H表”.10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.11．（2020·北京房山·统考二模）已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.12．（2021·北京门头沟·统考二模）已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且在任意区间上不是常值函数.设，其中分点将区间分成个小区间，记称为关