第15讲等差数列（人教A版2019选择性）（原卷版）

第15讲等差数列【人教A版2019】·模块一等差数列的概念·模块二等差数列的前n项和公式·模块三课后作业模块一模块一等差数列的概念1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n1)d，其中为首项，d为公差.(2)等差数列通项公式的变形已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则

=(nm)d4．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.5．等差数列的性质设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为d+d'的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.【考点1等差数列的基本量的求解】【例1.1】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）在数列an中，a1=1，an+1−3=anA．675 B．674 C．673 D．672【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an中，a12=22，a1+A．2 B．52 C．3 D．【变式1.1】（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知等差数列an满足a1+a4+aA．25 B．35 C．40 D．50【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an的首项与公差d均为正数，且lga1，lga3，lga6成等差数列，则lgA．lgd B．lg23 C．lg【考点2等差数列的通项公式的求解】【例2.1】（2023春·河南郑州·高二校考期中）数列an中，a1=1，an+1=2aA．n+12 B．2n+1 C．2nn+1【例2.2】（2023·四川·校联考模拟预测）在数列an中，a1=1，an+A．an=n C．an=n,n【变式2.1】（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知等差数列an的首项a1=1，公差d=10，在an中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bnA．4043 B．4044 C．4045 D．4046【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn−2=2aA．n+1⋅2n+1 B．2n C．n⋅【考点3利用等差数列的性质解题】【例3.1】（2023春·海南儋州·高二校考期末）已知数列an是等差数列，若a1−a9A．7 B．21 C．14 D．17【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）等差数列an中，若a4+A．14 B．15 C．16 D．17【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）非零实数a，b，c，若bca，cab，A．b≤ac B．b≤a+c【考点4等差数列的判定与证明】【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=−12【例4.2】（2023春·高二课时练习）是否存在数列an（1）an（2）1a若存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由．【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足，a1=3，(1)求证数列bn(2)求数列an【变式4.2】（2023秋·江苏苏州·高二校考开学考试）已知数列an中，a1=2(1)证明数列1an−1(2)若对任意n∈N∗，都有a1模块模块二等差数列的前n项和公式1．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差数列前n项和的性质等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质性质1等差数列中依次k项之和Sk,S2kSk,S3kS2k,…组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，；

若等差数列的项数为2n1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，，性质3{an}为等差数列为等差数列性质4若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则【考点5等差数列前n项和的性质】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）等差数列an的前n项和Sn，若Sn=1,SA．10 B．20 C．30 D．15【例5.2】（2023·全国·高二专题练习）在等差数列an中，其前n项和为Sn，若S21:SA．16:1 B．6:1 C．12:1 D．10:3【变式5.1】（2023·高二课时练习）已知等差数列an的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则a5=A．8 B．9 C．10 D．11【变式5.2】（2023·高二课时练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，则（A．若S9>S8，S9>S10，则S17>0，C．若S17>0，S18<0，则a17>0，a18<0 【考点6求等差数列的前n项和】【例6.1】（2023春·河南开封·高三校考阶段练习）已知等差数列an为递增数列，Sn为其前n项和，a3+aA．516 B．440 C．258 D．220【例6.2】（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知Tn为数列an的前n项积，若1an+2Tn=1A．n2+2n B．−n2+2n 【变式6.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an为等差数列，首项a1>0，若a1012a1013<−1A．2020 B．2022 C．2024 D．2025【变式6.2】（2023春·山西晋中·高二校考阶段练习）已知数列an是等差数列，Sn为数列an的前n项和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．30【考点7等差数列前n项和的最值】【例7.1】（2023·海南·校联考模拟预测）已知等差数列an是递减数列，设其前n项和为Sn，且满足a1(1)求an(2)设数列Snn+9的前n项和为Tn，求【例7.2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）记数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N(1)证明：an(2)若当且仅当n=7时，Sn取得最大值，求a【变式7.1】（2023春·北京·高二校考期中）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，(1)数列an(2)Sn的最小值，并求Sn取得最小值时条件①：S4=−24；条件②：【变式7.2】（2023·高二课时练习）如果有穷数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）满足条件a1=an，a2=a(1)设是bn项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b(2)设cn是项数为2k−1（正整数k>1）的“对称数列”，其中ck，ck+1，…，c2k−1是首项为50，公差为−4cn各项的和为S2k−1，当模块模块三课后作业1．（2023春·广东潮州·高二统考期末）在数列an中，a1=1，an+1=anA．673 B．674 C．675 D．6762．（2023·全国·高三专题练习）已知an为数列Sn的前n项积，若1Sn−2aA．32n B．3+2n C．1+2n D．12n3．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，S5=9A．−2 B．−1516 C．−1 4．（2023·全国·高三专题练习）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1，CC1，5．（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知等差数列an的前n项和为Sn．若S1=3，S2A．21 B．48 C．75 D．836．（2023春·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，anan+1=2Sn，设bnA．p=1 B．p=2 C．p=3 D．p=47．（2023·高二课时练习）已知数列an是等差数列，Sn为数列an的前n项和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．408．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn有最小值，且−1<a9a10<0A．9 B．10 C．17 D．189．（2023秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2023A．数列an是递增数列 B．C．当Sn取得最大值时，n=1013 D．10．（2023秋·福建宁德·高二校考阶段练习）在等差数列an中，Sn是an的前n项和，满足S20<0，S21>0，则有限项数列S1aA．S21a21；S20a20 B．S21a21；S1111．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，且12．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在a(1)求数列bn(2)b29是不是数列an的项？若是，它是13．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中