2021-2022学年新教材高中数学模块综合测评练习含解析北师大版必修第一册

模块综合测评

限时120分钟分值150分战报得分

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确

选项)

1,已知集合M={x|-4<r<2},N=[-2,-1,0,1,2,3,4},则MAN=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1,4)

C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1)

【解析】选C.2,3,MM,由交集运算知MCN={-2,-1,0,1).

2.命题叼xdR,x3-x2+上0”的否定是()

A.3XGR,X3-X2+l<0

B.3尤CR,x3-x2+l>0

C.VxGR/R-f+l)。

D.V-x2+l<0

【解析】选C.命题：3xGR,x3-x2+1W0的否定为VxGR,x3-+l>0.

032

3.设a=2-,b=0.3,c=log20.3，则a,6,c的大小关系是()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【解析】选A.〃=2。3>1,b=0.32<l,c=log20.3<0,所以

4.已知实数0<x<^,则x(l-2x)的最大值为()

A.1B.1C.4D.7

o4

【解析】选B.因为0<x<1,贝!]无>0,1-2x>0,所以x(l-2x)=1(2x)(1-2x)<|,：——

2111

,当且仅当2x=1-2x时，即k"时取等号，所以式1-2%)的最大值为卷.

34o

5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂

分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解

析式来琢磨函数图象的特征.我们从这个图片丛中抽象出一个图象如图，其对应的函数可

能是()

A於)=--一

IW-1|

B.fix)=---

k-H

【解析】选A.由图象知危)的定义域为{小#1},排除选项B,D,又因为当

尤=0时，C选项中10)=-1,不符合图象火0)=1,所以排除C.

6.已知函数大尤)=1g(%2+ax-a-1),给出下列论述，其中正确的是()

A.当a=。时，人尤)的定义域为(-oo,-1)U(1,+oo)

B.«r)一定有最小值

C.当a=0时，段)的定义域为R

D.若/(X)在区间［2,+8)上单调递增，则实数a的取值范围是{旬e-4}

【解析】选A.对于A,当a=0时，解F-1＞。

得xG(-co,-1)U(1,+oo),故A正确；

对于B,当a=0时，4x)=lg8-1),此时-oo,-1)U(1,+oo),x2-

ie(0,+s),

此时九x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误；

对于C,由A知，段)的定义域为(…，-1)U(1,+W，故C错误；

对于D,若八尤)在区间［2,+8)上单调递增，此时y=炉+ax-。-1在［2,+◎上单调递增，

所以对称轴尤=4W2,解得壮-4,但当。=-4时，加)=

lg(x2-4尤+3)在x=2处无定义，故D错误.

7.已知奇函数段)在区间(0,+00)上单调递减，且43)=0,则不等/㈠)-4-X)<0的

x-2

解集是()

A.(-3,0)U(0,2)U(3,+oo)

B.(-«>,-3)U(0,3)

C.(-oo,-3)U(0,2)U(3,+oo)

D.(-3,0)U(0,3)

【解析】选c.由於)为奇函数，且在(0,+00)上单调递减，43)=0得，

fi-x)=-fix)於)在(-00,0)上单调递减，X-3)=0，所以当xG(-GO,-3)时次x)>0，当xG(-

/(x)-于(-x)

3,0)时，危)<0，当尤e(0,3)时，»>0，当xe(3,+8)时，/x)<0,贝--------；------<0,

尤-2

2/(x)/(X)>0,〃无)<0

即<0,则彳或，

x-2x-2<0x-2>0

〃X)>0,―

由J解得x<-3或0<x<2,

x-2<0

/(x)<0,

由1解得x>3,

x-2>0

所以满足条件的尤的范围为(-00,-3)U(0,2)U(3,+8).

lOgqX,X>1,

8.若加)二b公是R上的增函数，则实数a的取值范围为()

(4-办-2,忘1

A.(1,+oo)B.(8,+oo)

C.[4,8)D.(1,8)

10gflX,X>\,

【解析】选c.因为本）=（是R上的增函数，

（4-2jx-2,x<l

a>lt

所以<4-2>0-

a

14-2-210g“1

解得4<«<8,所以实数a的取值范围为［4,8）.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.定义在（-8,+8）上的偶函数段）满足於+1）=-於），且於）在［-1,0］上是单调递增的,

则（）

A.1A尤）是周期函数

B.八元）的图象关于x=1对称

c./U）在［0,1］上是单调递增的

D.段）在［1,2］上是单调递减的

【解析】选AB.由于危+1）=-加）,

所以於+2）=-加+1）=於）,周期为2,故A正确；

由于大2-x）-fix）,图象关于直线尤=1对称,故B正确；

偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故C不正确；

根据周期性，函数在口，2］上的单调性与「1,0］上的单调性相同，故D不正确.

10.机器人（Robot）是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，它具有感知、决策、执行等

基本特征，可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服

务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围.为了研究A,B两专卖店的机器人销售状况，

统计了2020年2月至7月A,8两店每月的营业额（单位：万元）,得到如下的折线图，则下列

说法正确的是（）

2月份3月份4月份5月份6月份7月份

—―/店营业额（方元）-i8店营业版（万元）

A.根据4店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在［34,35］内

B.根据2店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势

C.根据A,8两店营业额的折线图，可得A店的营业额极差比8店大

D.根据A,8两店营业额的折线图，可得B店7月份的营业额比A店多

【解析】选ABD.根据A店的营业额折线图可知该店营业额的平均值为

14+20+26+45+64+36

----------------6----------------=34.17，故A正确；根据3店的营业额折线图可知，其营业额总体

呈上升趋势，故B正确；A店营业额的极差为64-14=50,B店营业额的极差为63-2=61,

故A店营业额的极差比B店小，故C错误；由折线图可知，8店7月份的营业额比A店多，

故D正确.

11.定义域和值域均为［-a,a］的函数y和y=g（x）的图象如图所示,其中a>c>b>Q，给出

下列四个结论正确的是（）

A.方程咒g（x）］=0有且仅有三个解

B.方程g［Ax）］=0有且仅有四个解

C.方程欢龙）］=0有且仅有八个解

D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解

【解析】选AD.对于A,设t=g(x),贝(]由咒g(x)]=0,得加=0,

当财=0时，则/=g(x)有三个不同的值，由于产g(x)是减函数，所以有三个解，所以A正确；

对于B,设/=加)，则由=0,即g(f)=0,解得f=6,

因为0b>0,所以/(x)=b只有3个解，所以B不正确；

对于C,设/=加)，若/[/⑶]=0,即财=0,则f=-6或f=0或f=6,则

八龙)=-b或式尤)=0或/(x)=b,

因为a>c>b>0,所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C错误；

对于D,设f=g(无),若g[g(尤)]=0,即g(f)=0,所以t-b,

因为y=g(x)是减函数，所以方程g(x)=b只有1解，所以D正确.

12.函数段)的定义域为D,若存在区间["Z,川UO使外)在区间的,网上的值域也是,n\,

则称区间即，刈为函数於)的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是()

A.J(x)=y[xB.fix)=x2-2无+2

C.y(x)=x+：D.危)=：

【解析】选ABD.由题得，若危)在区间,网上的值域也是,n],则小)存在“和谐区间”四，

n],

f(m)=m,/(根)=«

可知,m<n,则j或，

/(n)=n/(n)=m

/(m)=y[m=m

A：危)=也(定0),若，

f(n)-y[n-n

m=0

解得，所以/)=5存在“和谐区间”[0,1];

n=l

B：f(x)=x2-2x+2(x£R),

/(m)=m2-2m+2=mm-\

若,解得，

/(n)=rp--In+2-n\ji-2

所以加)-2%+2存在“和谐区间”[1,2]；

—

\m)=m+-=m=0f(vm)7=m+一=n

।JJ\，mmm

c：於)=x+；(#o),若q，得《i，故无解；若q.,

[/(w)=n+-=n|^-=01/(")=n+-=m

.11

则ni根+而+—f=m，

m+~

m

2m2+1

即t=0,故无解，

m+m

所以加)=尤+(不存在”和谐区间”；

D：/)=:C#0),函数在(0,+oo),(-oo,0)上单调递减，

，(加)=5=〃

则j]，不妨令,

[/(«)=~=«7卜=2

所以/«=：存在“和谐区间”[；,21;综上得：存在“和谐区间”的是ABD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25℃

下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃,且y=^0.9085,+25(x>0,

AGR).当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为min(结果保

留整数).(参考数据：In2yo.6931,In3-1.0986,In0.9085--0.0960)

【解析】由题意可知，当x=0时，y=85,即85=1+25,k=60,故y=60x0.9085*+25.

当y=55时，55=60x0.9085*+25,0.9085、=0.5,

,…Tn20.6931=

x=logo.90850.5=ln09Q85~00960=7.

答案：7

14.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，至多有一件一等品的概率

•

【解析】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).恰有2件一

3

等品的取法有：(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为尸。=,，其对立事件是“至

多有一件一等品，，，概率为P=

37

1-2。=1-正=To-

7

冬室•—

口木,10

e%x<0

15.已知函数"x)=,贝11用⑴]=；设g(x)=y(x)+x+a,若函数g(x)存在

Inx,x>0,

2个零点，则实数a的取值范围是________.

【解析】因为式1)=In1=。，所以/[/U)]=A°)=e°=1；因为g(x)有2个零点，所以y=fix),y

=-x-a的图象有两个交点，作出y=fix),y=-x-a的图象如图所示：

当y,y--x-a有两个交点时，可知-好1,所以定T,即。e[-1,+8).

答案：1[-1,+oo)

16.下列几个命题：

①方程x1+(a-3)x+a-0若有一个正实根，一个负实根，则a<0；

②函数丫=炉1+行工是偶函数，但不是奇函数；

③函数加)的值域是[-2,2],则函数加+1)的值域为[-3,1]；

④一条曲线y=|3-炉|和直线y=。的公共点个数是m,则m的值不可能是1.

其中正确的有.

【解析】①由一元二次方程根与系数的关系，得的X2=a<0,故①正确；

X2-1>0,

②根据函数的定义域可知解得：x=±1,此时y=0,所以y=

1-^>0

O(x=±l),所以函数既是奇函数，又是偶函数；故②不正确；

③y=f(x+1)由>=小)的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数

+1)的值域为[-2,2],故③不正确；

④因为y=|3-d是偶函数，并且图象如图所示,y=a与图象的交点有2个，3个或4个，不

可能有1个的时候，故④正确.

答案：①④

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知幕函数/(尤)=尤-2苏+机+3(%GZ)是奇函数，且加)勺(2).

⑴求m的值，并确定段)的解析式；

⑵求y=loglfix')+吗[处)],北5，2」的值域.

【解析】⑴因为幕函数段)=元-2/+机+3(m£Z)是奇函数,且火1)勺(2).

所以-2m2+m+3是正奇数，且相£Z,

3

所以m=0/y(x)=x.

(2)y=loglfix)+logi[2/(x)]=log1x3+

2

3232

log-(Zr)=(31og2X)+logj_2+logj_x=9(log2x)-310g>-1=9(log2%-£),因为

222"

尤e2,

所以-l$log2与1,所以当log2x=1时，y取最小值-1,当log2X=-1时，y取最大值11.

「11「5一

所以y=10gg/U)+logj_摩x)],Xd5,2的值域为-4,11.

2

18.(12分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿

命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率；

⑵这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

【解析】(1)甲品牌产品使用寿命小于200小时的频率为-[斤，用频率估计概率，所以,

甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率为;.

(2)根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个,

所以在样本中，使用寿命大于200小时的产品是甲品牌的频7S率是15缶，用频率估计概率,

所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为贵.

19.(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为之,乙当选的概率为|,丙当

选的概率为57.

⑴求恰有一名同学当选的概率;

(2)求至多有两人当选的概率.

【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为则有,尸437

A,B,C,(A)=1,,29=正-

⑴因为A,2,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(AB~C)+

P{ABC)+P(TTQ=P(A)-PCB)-P(-C)+P(T)P(B)-P(~C)+

——42313312747

P(A>P(B)-P(O=5X5x正+?x-x-+5x-x-=丽.

43783

(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)-1-P(A)-P(B)-P(Q=1-x-x—=—.

20.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格

出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

⑴若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量〃(单位：枝，wGN)

的函数解析式；

⑵花店记录了100天玫瑰花的日需求量”(单位：枝)整理得下表：

日需求量n14151617181920

10201616151310

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数

②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，

求当天的利润不少于75元的概率.

【解析】⑴当日需求量佗17时,利润y=85.当日需求量17时,利润y=

10〃-85,n<17,

10n-85.所以y关于〃的函数解析式为y=j(〃£N).

85,n>17,

(2)①这100天中有10天的日利润为5570,20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，

54天的日利润为85元所以这100天的日利润的平均数为高(55x10+65x20+75x16+85x54)

=76.4阮).

②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p=

0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.

e%+Q

21.(12分)设aGR,函数/)=----(e为常数，e=2.71828...).

C-a

⑴若“=1,求证：函数/U)为奇函数；

⑵若。<0.①判断并证明函数期)的单调性；

②若存在xG[1,2],使得加2+2办)44-*成立，求实数a的取值范围.

ex+l

【解析】⑴当。=1时，函数加)=-；^—,

e-1

因为e，-"0，则存0,

一e-*+ll+e”

所以火x)的定义域为｛小邦｝,对任意中0,K-x)--；—~=：；=-fix),

e-%-11-ex

e^+1

所以yu)二T二是奇函数.

e*-1

⑵①当。<0时，危)为R上的单调增函数，证明如下：

当a<0时，e]-a>Q恒成立，故函数/(x)定义域为R.任取％i,%2^R，且xi<X2,贝!]exi<ex2,因

,人+2a)(2aA2a(ex-e尤i)

为於i)-於2)=1+j-1ex，-a=-；-----------2--------------7<°，

所以为R上的单调增函数.

②设命题P：存在xd[1,2],使得/2+2词次4-层)成立.

下面研究命题p的否定:F：Vxe[1,2],Xx2+2词44-4)恒成立.

若7为真命题，由①知，危)为R上的单调增函数，故Vxe[l,2],/+

2ax<4-cr恒成立.

a<0,

设g(x)=«+2QX+/-4,兀£[1,2],<g(1)WO,解得-3<tz<0.

、g(2)WO

因为P为真，则Q为假命题，

所以实数a的取值范围为(-s,-3).

2