高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲 复杂直线型计算

第八讲复杂直线型计算

我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了

直线形中的各种比例关系.下面我们就对这些知识作一下总结.

本讲和识点汇总:

我们在之前的学习中己经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了

直线形中的各种比例关系.下面我们就对这些知识作一下总结.

一、角度问题

1."边形的内角和是180°x(〃—2)；

2.“边形的外角和是360°.

二、基本直线形的面积计算:

三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式(详细公式略).

三、直线形中的比例关系

1.等高三角形：面积比等于底的比.

2.共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积.如右图所示，阴影三角形]

与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的;，右侧边占大三角形

右侧边的,，那么它的面积就是大三角形的/--------------'

2236

3.沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关

系,则有比例关系成立.

bdf

4.长方形中的比例关系：

⑴共边长方形的面积比等于另一组边的比.如右图所示，

加邑

ab

（2）如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四,

邑

则有面积比例：垦=邑=匕将其写成交叉相乘的形式可得工><54=52'必

S2S4b

5,一般四边形中的比例关系：b

（1）如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面

积有邑=区的比例关系成立.

S?邑

（2）如右图所示，连接四边形的一条对角线C。，并在CO上取一点。，连

.这四部分的面积仍然有比例关系〉邑成

接和OB,将四边形分为四部分

2

立.

上述两个比例关系还可以通过交叉相乘，写成EX'=星xSj的形式.

6.金字塔模型:

ax仄

右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是

金字塔模型.金字塔模型的比例关系如右图:

二土

出=2和ax4=工

bx+%。2

a2b2ax+a2bx+b2

7.燕尾三角形:金字塔模型

上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关

系，如下左图所示，△ABC被线段一分为二，且有比例关系耳：星=a:6.

如下右图所示，在增加了两条线段后,图中有4个小三角形，这4个小三角形的面

积之间的比例关系如图中所示.

外比.：」S,_=」S.=一BD

S2S4CD

,,S,SAO

内比：,==2=一

S3S4OD

面积之间的比例关系如图中所示.

例1.A、8是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长8厘米，图中的字

母表示相应部分的长度.则A、8中阴影部分的周长之差是多少厘米？

「分析」根据图中标出的字母，你能用字母6分别表示出长方形的长和宽以及两图

中阴影部分的周长之差吗？

练习1、下图中，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形.如果阴影部分的周长

是120（阴影部分周长由内、外两部分组成），那么大正六边形的周长是多少？

例2.如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么/BFE等于多少度？

「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求

出N8FE的度数？

'F

CD

练习2、如下图，己知42。所是正六边形，A2//K是正五边形，是正方形，图

例3.如图，四边形48CD与四边形CNMP都是平行四边形，若三角形。正尸与三角形AEF

的面积分别是21和43,则三角形BNE的面积为多少？

「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平行线作为

我们的解题突破口呢？

练习3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面

积是多少？

例4.已知四边形ABC。是平行四边形，三角形AEF的面积为4,三角形C£>E的面积为9,

那么平行四边形的面积等于多少？

「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出.

练习4、图中的梯形被分成四小块，其中两块的面积已经标出，那么梯形的面积是多少？

例5.如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、35、49.那么图中阴影图

形的面积为多少？

ABC

「分析」图中的阴影三角形是包含在长方形中的.如何利用三角形与长方形的面积比来

求阴影部分呢？

例6.如图所示，ABC。是一个长方形，点E在C。延长线上.已知AB=5,BC=12,三角形

AFE的面积等于15,那么三角形CFE的面积等于多少？

「分析」在这道题中你首先能求出哪些部分的面积请先求出，然后再根据这些面积的关

系去寻找图中的线段长度关系.

《几何原本》（希腊语：£toi#Ta）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13

卷.这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍.这本书是世

界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作.在《原

本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把

人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而

建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻

辑体系一几何学.而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作.

《几何原本》集整个古希腊数学的成果和精神于一书.既是数学巨著，又是哲学巨著，

并且第一次完成了人类对空间的认识.除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用

和传播之广泛，能够与《几何原本》相比.

《几何原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经

过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图

形的知识（即几何知识）.

1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》.1600年，明代数学

家徐光启（1562-1633）与利玛窦相识后，便经常来往.1607年，他们把该书的前6卷平面

几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》.后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰

（1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的.

《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要

内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）.《几何原本》第一卷列有23个定义，5

条公理，5条公设.（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是

《几何原本》全书的基础.全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的.比

如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证.都要根据前面的定义、公理、定

理进行逻辑推理给予仔细证明.

欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材.它巳成为培养、提高青、

少年逻辑思维能力的好教材.历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了

伟大的贡献.两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材.哥白尼、伽利略、笛

卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出

了许多伟大的成就.

作业

1.如图，它是由若干块面积为12平方厘米的小长方形砖和3块白色小

正方形成砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？

2.如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于A点，求

Z1等于多少度？

3.如图，ABCD是一个长方形，E为C£）边的一个三等分点，如果图

中阴影部分面积为1,求长方形ABC。的面积.

D

4.如图，面积为4的正方形ABC。中，E、尸是。C边上的三等分点，求阴

影部分的面积.

5.如图，三角形ABC的面积是1,D、E、P分别是相应边的三等分点，三角

形A。。的面积是多少？

BF

第八讲复杂直线型计算

例题：

例7.答案：16厘米

详解：长方形的长为“+26，宽为a+b.再根据长比宽多8厘米，就能求出6=8厘米.长

方形A中，阴影部分的周长为6）+4a-2b=4（a+〃）.长方形B中，阴影部分有6条边，

它的周长其实就等于大长方形的周长，等于（a+2>+a+@><2=40+66.两者相差

26=2x8=16厘米.

例8.答案：168°

详解：因为是正三角形，所以/□*=/■?£>=60。.正五边形的内角和是

（5-2）x180°=3x180°=540°,每个内角是540°4-5=108°.因此

ZBCW08°-6.△2CF是等腰三角形，所以N8/。=（180。一48。）-2=66。，

同理。也等于66。.因此看得到

ZBFE=360°-ZBFC-NCFD-ZDFE=360°-66°-60°-66°=168°.

例9.答案：22

详解：如图连接AM,因为PA/〃A。，所以由蝴蝶模型可知三角形。EP与三角形

面积相等；同样道理三角形BEN与三角形AEM面积相等，所以三角形BEN面积=43

例10.答案：30

详解：三角形APE与三角形。CE构成沙漏模型，而已知面积比为4:9,所以对应边长

比为EF:EC=2:3,因此FE:FC=2:5.三角形AEE又与三角形BFC构成金字塔模型，所

以三角形AFE与三角形8FC的面积比为4:25,因此三角形8FC的面积为25,所以四

边形ABCE的面积为25-4=21,因此平行四边形的面积为21+9=30.

例11.答案：15

详解：GE.EH=12:24=1:2,所以G/’GI.G/：产”=49:35=7:5,所以

3

FH=—GH.由此可得，—=1---—而上皿=Lx”=1，因此阴影部分

12GH3124SACDJ2GH8

的面积等于LXSACW=-X(12+24+49+35)=15.

88

例12.答案：30

详解：三角形ABF与三角形DEF构成沙漏模型，所以"=工，即

DEF1

AB-F，DEA¥卜5与，所以尸£)=30+AB=6,又因为AZ)=12,所以AF=6,

因止匕。E=2xl5+A/=5.所以三角形CFE的面积=(6£>+。石)*尸。+2=30.

练习：

1.答案：90

简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的3倍,

因此阴影部分外周长等于总周长的-,即120x3=90.

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2.答案：3°

简答：四边形内角等于90°,五边形内角等于108°,六边形内角等于120°,所以

ZKAH=108°-90°=18°,ZKAF=120°-108°=12°.AAFK与AAHK都是等腰三角形，

因此//位次=(180°-18°)+2=81°,ZAFK=(180°-12°)H-2=84°,两者相差3°.

3.答案：25

简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可.

4.答案：36

简答：三角形AOO与三角形8OC构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4,所以对应

边长比为。£>:。2=1:2,因此三角形与三角形BOA的面积比为1:2,所以三角形3。4

的面积为8.由蝴蝶模型可知三角形C。。的面积也是8,所以梯形的面积是4+16+8+8=36.

作业:

1.答案：270

简答：设小长方形的长为x,宽为y.从水平方向的线段可以看出5x=3x+3y,因此

2x=3y.所以小长方形的长宽比为3:2,而相应小正方形的边长就是3-2=1份.由此

可得小长方形的面积是白色小正方形的3x2=6