2022－2023学年广东省深圳重点中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

2022—2023学年广东省深圳重点中学高三(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合/W={0,1,2},N={x\x=2a,aeM},则集合MnN=()

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}

2.已知复数z满足(1-i)z=2,则z=()

A.-1—iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.等差数列{a"的首项为1,公差不为0.若a2,a3>成等比数列，则{aj的前6项和为()

A.—24B.—3C.3D.8

4.在△4BC中，cosC=AC=4,BC=3,则tanB=()

A.V-5B.2底C.4y/~5D.8口

5.己知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等.若直棱柱的体

积和侧面积分别为匕和工，斜棱柱的体积和侧面积分别为彩和S2，则()

A匕>2B匕<女

Si,$2651S2

C，S'=今D.?■与及的大小关系无法确定

6.已知向量五,3满足同=5,=6,a-b=-6>则cos<五，五+方>=()

A_31R_19p17n19

A.-35-35C-35D.35

7.6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一

项，则两项竞赛参加人数相等的概率为()

8.已知a=添%,b=c=|el)其中e为自然对数的底数，贝Ua,b,c的大小关系为

()

A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

二、多选题(本大题共4小题，共12・0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.若函数y=Asin(a)x+<p)(4>0,a)>0,|^|<今的部分

图象如图，则()

A.是以兀为周期的周期函数

B.f(x)的图象向左平移探个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数

C.f(x)在篇曲上单调递减

D./(x)的图象的对称中心为(与+刍0),k&Z

10.已知点居、尸2是双曲线会《=19>0/>0)的左、右焦点，以线段F/2为直径的圆

与双曲线在第一象限的交点为P,若IPFJ=3|PFz|,贝U()

A.|PFi|与双曲线的实轴长相等

B.△PF/2的面积为|。2

C.双曲线的离心率为

D.直线=0是双曲线的一条渐近线

11.对于函数f(x)和g(x),设乙G{x\f(x)=0},x26{x\g(x)=0},若存在不，使得氏一

x3

x2\<1,则称/(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数/(x)=e~+x-4与g(x)=Inx-

mx互为“零点相邻函数”，则实数m的值可以是()

A峭R—C—D-

a53j22

12.在四棱锥P—ABC。中，底面4BCD为矩形，AB=2y/~21BC=V_2,PA=PB=6>

PC=PD=2.下列说法正确的是()

A.设平面PABn平面PCD=l,则〃/AB

B,平面PAD，平面PBC

C.设点M6BC,点N€PD,则MN的最小值为C

D.在四棱锥P-ABC。的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知数列{an}满足由=-3,anan+1=an-1,则由05=.

14.已知f(x)是奇函数，且当4<0时，f⑴=-6吨若f(ln2)=8,则&=.

15.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,

第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件数

分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么

它是第3台车床加工出来的概率为.

16.已知动点Q到抛物线C：y2=8尤的焦点F的距离为1,贝UQ的轨迹方程是若4(4,0),

尸是抛物线C上的动点，则犒的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

712

已知数列｛aj｛%｝的前项和分别为又，Tn,且瓦=：,Sn=^n+^n,当n>l时，满足

(1)求斯；

(2)求〃・

18.(本小题12.0分)

如图，三棱柱4BC-&B1C1中，侧面BBiGC是矩形，BiClAC,AC=BC=Ccj，。是4B

的中点.

(1)证明：&0J.B1C；

(2)若ACJ■平面BBiGC,E是&G上的动点，平面BQ与平面/DE夹角的余弦值为容,求需

的值.

19.(本小题12.0分)

记AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA-acosB=b—c.

⑴求4；

(2)若点。在BC边上，且CO=2BD,cosB=早求tan/BAO.

20.(本小题12.0分)

锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理

过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境

的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8,红柳幼苗和梭梭树

幼苗成活的概率均为P，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过

0.896.

(1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88,求此时三种幼苗均成活的概率

(V10.24=3.2);

(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布N(250,52)(单位：mm).

(一)梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235nun的概率约为多

少？(精确到0.001)

(二)为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭

梭树，测得其树杆地径均小于235mm,农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树

的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？

并说明理由.

附：若随机变量Z服从正态分布NR/),贝ijp(4-a<Z<n+a)0.6827,P(ji-2a<Z<

林+2a)*0.9545,PQi—3a<Z<n+3CT)«0.9973.

21.(本小题12.0分)

如图，动点M到两定点4(一1,0)、B(2,0)构成AMAB,且=设动点M的轨迹

为C.

(I)求轨迹C的方程；

(II)设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR],求需的取

值范围.

22.(本小题12.0分)

(1)当x€(0,1)时，求证：华部.

⑵己知函数/'(x)=—ax+a2(a>0)有唯一零点w求证：x()<—担a<黄.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由题意知，N=｛0,2,4)1

故MCN={0,2},

故选D.

集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集

此题考查学生交集的概念，属于基础题

2.【答案】D

2_2(l+i)

【解析】解:z=1+i,

l-i(l-i)(l+i)

故选：D.

利用复数的运算法则即可得出.

本题考查了复数的运算法则，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查等差数列前n项和的求法，等比数列的性质，属于中档题.

根据题意，求出公差d,即可得解.

【解答】

解：由题意，设等差数列｛即｝的公差为d,(d*0),

又％=1,

a2,a3,成等比数列，

a2—a2■，

:，(诙+2d¥=(ax+d)(a1+5d),

解得d=-2,

则｛4｝的前6项和为:

6al4——d=6x1H——x(—2)=—24.

故选A.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角

的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

由己知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得4=C,利

用三角形的内角和定理可求8=TT-2C,利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB的

值.

【解答】

解：rcosC=$AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2-2AC-BC-cosC=J42+32-2x4x3x|=3-可得4=C,

・•・B=冗一2C,

则tcmB=tan(7r—2C)=—tan2C=叱="2=4-^5.

''l-tanzCi_2

4

故选：C.

5.【答案】A

【解析】解：设棱柱的底面周长为c,底面面积为S,侧棱长为2,斜棱柱的高为九，

则卷=詈=4而/=S,斜棱柱各侧面的高均不小于从所以S2>c-h,

于是，有标黑=：所以，r>r.

32C51$2

故选：A.

结合棱柱的侧面积和体积公式判断即可.

本题考查几何体的体积与表面积，属中档题.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题.

利用己知条件求出同+瓦，然后利用向量的数量积求解即可.

【解答】

解：向量d,b满足|元|=5,网=6,a-b=-6»

可得M+瓦=J益2+2五•J+屏=25-12+36=7,

cos<a,d+3>=万•(五+b)_a2+a-b25-619

|a||a+b|-5x75x735

故选D.

7.【答案】B

【解析】解：记“两项竞赛参加人数相等”为事件4,

则P（4）=舞=导

故选：B.

利用古典概型即可求得两项竞赛参加人数相等的概率.

本题考查古典概型问题的概率，属于基础题.

8.【答案】C

112eln2

【解析】解：因为.=而定=柒=位=菽，

l

1

-

2e2=e2T

2

4

4

3-更

3

c=-e=4

4-

3

令f（x）=三,%>o,

则［。）=『=空守，

所以当％W(0,1)时,/'(%)<0,/(%)单调递减;当％6(1,+8)时，f(x)>0,/(%)单调递增;

又因为0V；=Inez=InV_e<Ini?=ln2<1，

所以熊)>/(仇2),

即b>a,故排除B,D；

又因为fQn4)=皆==工=yy="2)=Q，

八Jln42ln2ln2ln2)、7

又因为§=Ine予=InVe^<lnV64=仇4,

所以1n4>^>1,

所以f(bx4)>f©=c,

即a>c,

所以b>a>c.

故选：C.

构造函数/(©=9,x>0,利用导数可得函数f(x)的单调性，从而可得a,6的大小，再利用。=

―伍4)、/n4>^>1,可得a,c的大小，从而好可得答案.

本题考查了对数的基本的运算、导数的综合运用，难点在于对a,c的大小比较，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：由题图可知4=2,因为当x=0时，/(%)=—3,所以sintp=—

因为|枢|<*所以尹=_*所以/'(x)=2sZn(3x一分.

由题图可知J7<称<:7，所以怦<T<即，所以！<3<

41226355

由题图可知，当时，y取得最大值，

所以空^一号=/+兀，kez,解得3=gk+2,kEZ.

又看<3<差所以3=2,所以/(X)=2si7l(2x-『

对于47=竽=兀，则A正确.

对于氏/(x)的图象向左平移/单位长度得到函数g(x)=2sin(2x+》的图象，

此函数不是奇函数，故B错误.

对选项C［含曾,则2%—浮故，争£碎，会

所以/(乃在篇用］上单调递减，故C正确.

对选项。，2%—^=

3kn,2k€6Z,得x=萼+T，kG.Z,

所以/。)的图象的对称中心为(萼+［0),fcez,则。错误.

故选：AC.

首先根据函数图象得到/(x)=2sin(2x-5),对于选项A,根据三角函数的周期性即可判断4正

确，对选项8,f(x)向左平移々后得到g(x)=2sin(2x+»,不是奇函数，即可判断B错误，对选

项C,根据2%€岁争£之争，即可判断C正确，对选项D,根据f(x)的图象的对称中心为

(y+2,0),即可判断。错误.

本题主要考查由y=4s讥3x+w)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算

求解能力，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：因为|P&|=3|PFz|,又由题意及双曲线的定义可得：|Pa|-=2a,

则上现=a，IPFil=3a十2a,所以4不正确；

因为P在以F/2为直径的圆上，所以P&1PF2,

所以SAPF,F,=5|PaI•IPF2I=i-3a-a=^a2,所以B正确；

22

在RtAPF/2中，由勾股定理可得|&尸2『=|P0|2+\PF2\=10a,

BP4c2=10a2,所以离心率e=£=0，

a2

所以c正确；

因为炉=c2-a2=|a2,所以渐近线的方程为y=±gx=卓x，

即±V-2y=0，所以。正确；

故选：BCD.

由题意及双曲线的定义可得［PF/,IPF2I的值，进而可得4不正确，8正确，再求出a,c的关系可

得C正确，求出a,b的关系，进而求出渐近线的方程，可得。正确.

本题考查双曲线的性质的应用及圆的性质的应用，属于基础题.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题属于新概念题，考查了函数的零点、函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值问题，考查

转化思想与运算求解能力，属于难题.

由题知函数八乃有唯一零点为3,进而得/nx-mx=0在［2,4］上有解，再由参变量分离法及导数的

应用求解即可.

【解答】

解：•••f(x)=ex-3+x-4,•••/'(x)在R上单调递增，

又f(3)=e°+3-4=0,二f(x)有唯一零点为3,

令g(x)的零点为依题意知一3|V1,即2M&44,

即函数g(x)在［2,4］上有零点，

令g(x)=0,则Inx—mx=0在［2,4］上有解，

即爪=等在［2,4］上有解，

•.•令h(x)=粤，xG［2,4］,

小)=空，

当％E［2,e),hz(x)>0,九(x)单调递增，

当%G(e,4］,h!(x)<0,九(%)单调递减，

・•.九(%)在％=e处取得极大值，也是最大值为九(e)=%

又九(2)=警似4)=殍=殍,

•••贻)e怎

••・实数m的取值范围是［竽

结合选项可知BC正确.

故选：BC.

12.【答案】AB

【解析】解：由题意，该四棱锥如图:

对于4：设平面PABC平面PCD=/,因为ABCD为矩形，AB//CD,AB<4平面PCD,

CDu平面PCD,则48〃平面PCD,

又平面PABn平面PCD=1,ABu平面PAB,

1//AB,故A正确；

对于8：vBC=yj_2,PB=口,PC=2,BPBC2+PC2=PB2,

•••BC1PC,

又底面ABCD为矩形，则ZD〃BC,AD1PC,

PC=2=PD,CD=2。，BPCD2=PC2+PD2,PC1PD,

KnADC\PD=D,AD,PDu平面PAD,

•••PC1平面PAC,

又PCu平面PBC,

二平面PBC_L平面PAD,故B正确；

对于C：由B选项可知MN的最短距离就是PC=2,故C错误；

对于。：取AB、CC的中点E,F,连接EF、PF、PE,如图所示：

贝IJ与平面P4B、平面PC。、平面4BCD都相切的球的半径即为APEF的内切圆半径，

•••EF=V_2.PF=C，PE=VPB2-BE2=2.

PF2+EF2=PE2,则PFJLEF,

设APEF的内切圆半径为ri，Kiji(PE+PF+=^EF-PF,解得q=/^一1，

同理与平面PAD、平面PBC、平面力BCD都相切的球的半径即为△PCD的内切圆半径，

设^PCD的内切圆半径为『2，

vPC=PD=2,CD=2v

•••|(PC+PD+CD)r2=-PC-PD,解得万=2-<7,

二巳4七，故。错误.

故选:AB.

根据线面平行的性质判断4根据面面垂直的判定定理证明B,结合B判断C,取4B、CC的中点E,

F,求出△PEF的内切圆半径与△PCD的内切圆半径，即可判断D.

本题考查棱锥的结构特征和直线与平面的位置关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

13.【答案】i

4

【解析】解：•・・玛。九+i=an-l,

乂——3,则。3=彳，。4=-3，J

・・・{a九}是以3为周期的数列，

则为L05=a3=4,

故答案为二.

求出数列的前五项，可得数列的周期为3,即可得出答案.

本题考查数列的递推式，考查运算能力，属于基础题.

14.【答案】—3

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

根据奇函数的定义，可得结果.

【解答】

解：•・・/(%)是奇函数，

:.-/(/n2)=/(-/n2)=-8,

ax

又,:当算V0时,/(%)=-e9

/./(-Zn2)=-e-aln2=-8,

・•・-aln2=Zn8,

**•a=—3•

故答案为-3.

15.【答案】|

【解析】解：记事件4车床加工的零件为次品，记事件与：第i台车床加工的零件，

则P(川%)=3%,P(4|Bi)=8%,P(A\B3)=2%,P(B2)=40%,P(B3)=50%,P(BQ=10%,

任取一个零件是次品的概率为PQ4)=P(4Bi)+P(AB2)+P(AB3)=8%X10%+3%x40%+

2%x50%=0.03,

如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为PCJN)=端2=P⑷2/(的)=

2%x50%_1

0.03=3*

故答案为：p

利用贝叶斯公式即可求得答案.

本题考查古典概型相关知识，属于中档题.

16.［答案】(X-2)2+y2=14

【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为尸(2,0),

设动点Q的坐标为(x,y),因为|QF|=1,

所以(x—2)2+y2=1,

故点Q的轨迹方程是(x-2)2+y2=1,

设点P(s,t),则由抛物线的定义得|PF|=s+2,

\PA\2=(s—4)2+t2=s2—8s+16+8s=s2+16.

因为|PQ|<\PF\+\FB\=\PB\,

22

所以穿2圈，当且仅当点Q与点B重合时等号成立,

又|PB|=|PF|+l=s+3,

所以包=2.

\PB\s+3

令s+3=/l,贝(Is=A—3,

诉E|PA『_。-3)2+16_A2-6A+25_.25

"以西=-A~A-=46・

2

因为需>0,显然有；I>0,

则由基本不等式知；I+学22J4样=10,

当且仅当；1=苧，即;1=5时等号成立.

故儡的最小值为10-6=4.

故答案为：(％-2)2+y2=1,4.

由抛物线方程求其焦点，设动点Q的坐标为Q,y),由|QF|=1,列方程求Q的轨迹方程，由圆的性

222

质可得|PQ|<\PF\+\FB\=\PB\,所以犒>寓，再求翦的最小值即可.

|PQI|P8|\PB\

本题考查抛物线相关知识，属于中档题.

17.【答案】解：(1)当九=1时，a1=S1=1+1=l；

当nN2时，an=Sn-Sn_t

=1n2+-j(n-l)2-i(n-1)=n,

•・,=1也满足上式，

・•・an=n.

(2),・,2bnQn_i=bn_1an9

由(1)得:2(n-l)bn=nhn_t,

.bn=n

••bn_i_2(71-1)'

当n>1时,

i_b匕八_n

bn=n3b2n—1321_n

"b^'b~1…"商,「i=诉F'而②…"K而,『酒

•1.瓦=T也满足上式，

"n=酒

1,2,3,,n-1,n不

=,+/+/+…+^r+pr，①

11,23,n-ln分

2Tn=/+/+尹+…+铲+^71-(2)

由①一②得：

押=T+£+*+…+*向

_扣-(》"]n

=]号-元

_1兀+2

=1一产P

；.Tn=2-竽.

【解析】(1)根据数列的前n项和作差，即可求解；

(2)由(1)和累加法求得勾，再利用错位相减法，即可求解.

本题考查根据数列的前n项和与累乘法求通项公式，错位相减法求和，还考查了计算能力，属于中

档题.

18.【答案】证明：（1）取BC的中点尸,连接CF,

QF,记BiCnC/=G,

•••£）是4B的中点，/.DF//AC,•••B1C14C,

B]C1DF,

rp

在矩形BB1GC中，：tanzFQC=—=

苧,tan/BCB]=粤=?，♦•"*=

ZDCL

乙BCB]t

:.乙CFg+乙BCB\=Z-CFCr+乙FC,C=90°,

・••Z-CGF=90°,BrC1C1F9

vC\FnDF=F,:・B、C_L平面:、

BiC_L/i。；

解：(2)由力CJ_平面BBiGC得力C_L8C,ACLCClf由矩形口当心。得BC_LCC「

以点C为原点，C4C8,CCi所在的直线分别为%轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设BC=2,溟=4Z^(0W4W1)，则C(0,0,0),D(1,1,0),当(0,2,V^),E(2；l,0,q),

设布=01,乃,与）是平面/c。的一个法向量，则1T1%

[m1CB]

,•£；：；"；=o沁=0，则以[1，.•.沅=（1,-1,。），

设元=（亚/2/2）是平面/0E的一个法向量，贝4m1%,

tn1B]E

令Z2=f则亚=占“昌占吕’。），

,,-一、|,m-n,>T2（2-X）口.

■•■|coS<m,n>|=|^|=...，=:或4=3（舍去），

1"1J342-44+123

.ORJ

“"13'

【解析】（1）取BC的中点F,连接DF,如尸，记&CnCiF=G,利用线面垂直的判定定理得到，

平面为DFC1，即可得证；

（2）以点C为原点，C4CB,CQ所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用

,,一一、।.m-n,V-2（2-A）<3

二面角的公式得到|cos<a,n>|=I标而I==^==可，即可求解.

J3铲-42+12

本题考查了线线垂直的证明和二面角的应用计算，属于中档题.

19.【答案】解：(1)vbcosA-acosB=b—c,

・•・根据正弦定理可得sEBcosZ—sinAcosB=sinB—sinC,

・•・sinB(cosA-1)=sinAcosB-sin(4+8),

・•・sinB(cosA-1)=—cosAsinBf又sinB>0,

，cosA—1=—cosAy・••2cosA=1,又AG(0,TT),

.n

:.A=­•

3，

(2)设4BAD=8,又/=全则乙乙4。=/一仇

•・・。在3。边上，RCD=2BD,

S〉ACD—2s△48。，设|/D|=3

则tbsin(^-0)=tcsind,

2csin(^—^-cosd-sind1

bsin。sinO2tan02

又4=cosB=孕，：•sinB=冬，

05D

.2c_2sdic_2s沆Q4+B)_>/~^cosB+sinB_1

•bsinBsinBsinBV~~2'

口，1口1

“吃+1=病一了

•••tanO==V-3-V-2)

即tan/BAO=V-3-<7.

【解析】(1)根据正弦定理将已知条件转化为角4的方程，解三角方程方程，即可得解：

(2)设血Z)=e,则，GW=>。，根据题意可得S“CD=2S”BD，设1皿=t,则扔sin(>。)=

tcsinO,从而得在=吧鱼生,再根据正弦定理可得。的方程，再解三角方程，即可求解.

bsin。

本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，化归转化思想，

方程思想，属中档题.

20.【答案】解：(1)由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，

包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，

故概率为K1-0.8)xp2+2x0.8xp(l-p)]+0.8xp2<0.896,

即3P2_8p+4,48>0,解得p<煞p之靠舍去),

又p>0,故p的取值范围为(0,1，故p的最大值为0.8,

记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件4经济作物幼苗成活为事件8,

则有P(A)=0.8X0.8=0.64,P(B|4)=0.88.

故所求概率为P(4B)=P(A)•P(B|A)=0.64X0.88=0.5632；

(2)(一)设正常情况下，任意抽取一株梭梭树，树杆地径为Xmm,

由题意可知X〜/V(250,52),因为235=250-3x5,

所以由正态分布的对称性及“3/’原则可知：

P(X<235)=1x(1-P(235<X<265))®0.0027«0.001；

(二)理由①：农林管理员的判断是合理的，

如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由(1)可知，

随机抽取10棵梭梭树，树杆地径都小于235nun的概率约为0.00M。，

为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，

所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的.

理由②：农林管理员的判断是不合理的，

由于是随机抽取了10棵梭梭树，所以不可控因素比较多，

例如有可能这10课树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所

致（答案不唯一，言之有理即可）.

【解析】（1）先求得红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率的取值范围，再利用条件概率公式即可求得

三种幼苗均成活的概率；

（2）（一）利用正态分布的性质即可求得树杆地径小于235nun的概率；（二）答案不唯一，符合概率统

计的原理，言之有理即可.

本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题.

21.【答案】解：(I)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且yKO

当/"84=90。时，点”的坐标为(2,±3)

当*90°时，x+2,由NMB4=2/M4B有tan/MBA=,

化简可得3——y2—3=0

而点(2,±3)在曲线3%2-丫2一3=。上

综上可知,轨迹C的方程为3/-y2-3=0(%>1)；

(II)直线y=-2x+m与3/-y2-3=0(%>1)联立，消元可得/-4mx+m24-3=0①

・・.①有两根且均在(1,+8)内

—士>1

2

设f(%)=——4mx4-m24-3,，/⑴=1—4m+/+3>0,'m>1，7nH2

△=16m2—4(m24-3)>0

设Q,R的坐标分别为(利,、Q),(xRfyR)f

22

\PQ\<|PR|，・•.xR=2m+73(m-1),xQ=2m—73(m-1),

.\PR\_咨_2m+J3(m2-l)_+4m

IPQIW2m-J3(m2-l)2m-J3(m2-l)

v?n>1,且m*2

•••2<---j他，<8+4/3日----冬丰8

2m—13(m2—1)92m-J3(m2-1)

•••1<-1+---,4m<7+4/3日T+------,4m7

2m—I3(m2-1)*2m—J3(m2-1)

•••需的取值范围是(1,7)U(7,7+4<3)

【解析】(1)设出点M(x,y)，分类讨论，根据NMB4=2NM4B,利用正切函数公式，建立方程化

简即可得到点M的轨迹方程；

(II)直线y=—7.x+m与3x2_y2_—o(x>1)联立，消元可得/_4mx+m2+3=0①，利

用①有两根且均在(1,+8)内

可知，m>1,小力2设(2,R的坐标，求出右，殉，利用嚣=等，即可确定儡的取值范围.

rxIKQI*YI

本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查

思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围.

22.【答案】证明：(1)设g(x)=lnx-笔辞(0<x<l),

4—(XT)?:

"g'(x)=\0,

(x+1)x(x+l)

・•・g(x)在(0,1)上单调递增,

••15(1)=0,得g(x)<0,

即mx<义守.

x+1

(2)因为f(%)=xex-ax+a2,

所以f'Q)=(%4-l)ex—Q,令尸(%)=(%+l)ex—a,

则F'(x)=(x+2)ex,

当％V-2时,r(x)<0,函数<%)在(-叫-2)单调递减,即/'(%)在(一8,-2)单调递减,

当%>-2时,Fz(x)>0,函数尸㈤在(-2,+8)单调递增,即/(%)在(一2,+8)单调递增.

所以当％=—2时，函数尸(%)取最小值,r(%)min=r(-2)=—e-2—Q<o,

当％<一2时，f(x)<0,

又[(-1)=-a<0,f'(a)=(a+l)ea—a—a[ea—1)4-ea>0,

・,・3%!G(—l,a),尸(%i)=0,

所以当％e(-oo,Xj),f'(x)<0,f(x)单调递减，

当工£(%i，+8),f'(x)>0,/(%)单调递增.

所以当%=%1时,函数/(%)取最小值，f(X)min=/(%1)，

因为函数/(、)有唯一零点出，则/(%)m讥=0,即％0=%1，

,/(&)=0即价0+1)〃。=Q①

x

=。，\xoe°—ax0+卢=o②，

将①代入②，得(%o+l)2e2x°—XQ6X°=0,

即Qo+1)2?%。-%o=0,

2xXQ

若%o>0,则(%()+l)e°-XQ>e>0,矛盾，

**,XQV0,

设九(x)=(%+l)2ex—x2,则九'(x)=ex(x2+4%+3)-2%,

当一IV%<0时，h\x)>0,九(%)在(一1,0)单调递增.

因为九(一；)—1<0，h(0)=e0=1>0,

•,・—1-<%o<0，

V--XQ<0,

•••°<潘<1，

X

由九(%o)=0,得e"。lF等式两边取自然对数，得近=2)潦,

(勺+