高二数学人教A版2019选择性讲义第4讲排列组合常见11种题型总结分析

第4讲排列组合常见11种题型总结分析

【题型目录】

题型一：特殊元素与特殊位置优待法

题型二：分类讨论思想

题型三：插空法（不相邻问题）

题型四：捆绑法（相邻问题）

题型五：平均分组问题除法策略

题型六：分配问题先分组再分配

题型七：正难则反

题型八：定序问题（消序法）

题型九：相同元素隔板法

题型十：涂色问题

题型十一：与几何有关的组合应用题

【典型例题】

题型一：特殊元素与特殊位置优待法

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志

愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）

（A）280种（B）240种（0180种（D）96种

【答案】B

【详解】解：先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有C：种，然后再从剩余的5名志愿

者中选3个人从事另外三项工作，有痣种，所以一共有C：用=240种.

故选：B.

［例2］某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有

（）个

424

A.艰I。B.A：*C.（C］6）10D.©

【答案】D

【分析】先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步

计数原理即可得结论.

【详解】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为（以），，后接4个数字组成的方法数为维，

所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有（玛6y4个.

故选：D.

【例3】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法有种.

【答案】240

【分析】依据特殊元素优先法去排列即可解决.

【详解】甲、乙、丙等六位同学排成一排，可以看成甲、乙、丙等六位同学在一排6个座位上就座.

先安排甲、乙、丙三位同学：在6个座位中任选3个座位有C1种方法，让甲、乙坐在丙的两侧，有A；种方

法；

接下来安排余下的三位同学：余下的三位同学在剩下的3个座位上任意坐有A；种方法.

则不同的排法共有C：A；A；=240(种)

故答案为：240

［例4］用0、1、2、3、4五个数字：

(1)可组成多少个五位数；

(2)可组成多少个无重复数字的五位数；

(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；

(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数.

【答案】(1)2500；(2)96；(3)20；(4)36

【分析】四个问题是同一类型题根据己知讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计

算即可求解.

(1)

用0、1、2、3、4五个数字组成五位数，相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有C；种情况，

从0、1、2、3、4五个数字中抽取个放在千位，有C：种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放

在百位，有C；种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有C：种情况，从0、1、2、3、4

五个数字中抽取一个放在个位，有C；种情况，

所以可组成C；xC；xC；xC；xC；=4x54=2500个五.位数.

(2)

用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数，相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，

有C；种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有A；种情况，所以可组成C：A：=4x24=96个无重复数字

的五位数.

(3)

无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，

所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4,

若三个数字是0、1、2,则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有C；种情况，再把

剩下的一个数字和0全排列，有A；种情况；

若三个数字是0、2、4,则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把

剩下的一个数字和0全排列，有A；种情况；

若三个数字是1、2、3,则相当于对这三个数字全排列，有A；种情况；

若三个数字是2、3、4,则相当于对这三个数字全排列，有A；种情况.

所以根据分类计数原理,共可组成C；xA；+C；xA；+A；+A；=2x2+2x2+6+6=20

个无重复数字的且是3的倍数的三位数.

(4)

由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个

位数字只能是1或3,所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有C；种情况，再从剩下的四个

数字中除去抽取一个放在万位，有C；种情况，再对剩下的三个数字全排列，有A；种情况，

所以可组成C；xC；xA；=2x3x6=36个无重复数字的五位奇数.

【题型专练】

1.某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教(每地1人)，要求甲、乙不同去，甲、丙只能同

去或同不去，则不同的选派方案有种.

【答案】600

【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选

甲分成两类，两类方法数相加，再把4名老师分配去4个边远地区，4名老师进行全排列即可，最后两步方

法数相乘

【详解】解：分两步，

第一步，先选四名老师，又分两类，

第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C；=10种不同的选法，

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有c：=15种不同的选法，

所以不同的选法有25种，

第二步，四名老师去4个边远地区支教，有4：=24种，

所以共有25x24=600种，

故答案为:600

【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题.

2.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用,

且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（）.

A.10种B.12种C.15种D.16种

【答案】C

【分析】根据选甲或乙或都不选分类讨论即可.

【详解】分为以下三类分别计算：

选甲，则有C；=3种；

选乙，贝I」有2xC；=6种；

甲乙都不选，则有A；=6种；

共有3+6+6=15种方案；

故选：C.

3.4张卡片的正、反面分别写有数字1,2；1,3；4,5；6,7.将这4张卡片排成一排，可构成不同的四

位数的个数为（）

A.288B.336C.368D.412

【答案】B

【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1

时三种情况，分别列式求解即可.

【详解】当四位数不出现1时，排法有：C；xC；xA；=96种；

当四位数出现一个1时，排法有：2xC；xC；xA：=192种:

当四位数出现两个1时，排法有：C；xC；xA”48种；

所以不同的四位数的个数共有：96+192+48=336.

故选：B.

4.用0,2,4,5,6,8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（）

A.120个B.192个C.252个D.300个

【答案】C

【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.

【详解】若这个偶数的个位数是0,则有6=60个；

若这个偶数的个位数不是0,则有C：C：A：=192个.

故满足条件的四位数中偶数的总个数为6（）+192=252；

故选：C.

题型二：分类讨论思想

【例1】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张,

不同的获奖情况数（）

A.60B.40C.30D.80

【答案】A

【分析】分类讨论：一，二，三等奖，三个人获得；一，二，三等奖，有1人获得2张，1人获得1张

【详解】二，三等奖，三个人获得，共有&=24种；

一，二，三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C；A：=36种，共有24+36=60种.

故选：A.

【例2】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木

棍.如图，是利用算筹表示数卜9的一种方法.例如：3可以表示为“三”，26可以表示为现有6根算筹,

据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为

=三三三

123456789

【答案】16

【分析】根据已知条件分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由

加法原理即可求解.

【详解】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15,19,24,28,64,68,33,37,77；数字组

合15,19,24,28,64,68,37中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2x7=14个两位数；数字组合

33,77,每组可以表示1个两位数，则共可以表示2x1=2个两位数；

则总共可以表示14+2=16个两位数.

故答案为：16.

【例3】将1,2,3填入3x3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写

方法共有（）

123

312

231

A.6种B.12种C.24种D.48种

【答案】B

【分析】由题意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一确定了，由此求出答案.

【详解】由题意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯•确定了，

则不同的填写方法共有A；A：=12.

故选：B.

【题型专练】

1.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名,

丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有《：

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有C：♦C；=6x10=60种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

2.某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天.已知甲不安排在第一天，乙不安排在第

二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有一种.

【答案】1128

【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三

天，乙没有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有限制，③甲在第三天值班，丙安排在

第四天值班，乙有4种安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，⑤甲

安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原

理计算可得答案.

【详解】根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论：

①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，

有A；=120种安排方式，

此时有2x120=240种安排方式，

②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A；=120种安排方式，

此时有1x120=120种安排方式，

③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A：

=24种安排方式，

此时有4x24=96种安排方式，

④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，

有A：=24种安排方式，

此时有3x2x4x24=576种安排方式，

⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，

有A：=24种安排方式，

此时有4x24=96种安排方式;

故有240+120+96+576+96=1128种安排方式；

故答案为：1128

题型三：插空法（不相邻问题）

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两

端空隙中插入即可。

【例1】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A.144B.120C.72D.24

【答案】D

【解析】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有国=24种

【例2】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率灯的范围是：3.1415926<^<3.1415927,为纪念祖冲之在

圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机

的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两

个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个.

A.240B.360C.600D.720

【答案】A

【分析】直接利用插空法计算得到答案.

【详解】利用插空法：共有A：xC；=240种.

故选：A

【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一

层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）

A.12B.48C.72D.96

【答案】B

【分析】此题分为物理在第一或第五个位置、物理在第二或第四个位置和物理在第三个位置，分别求出它

们的总数即可求出答案.

【详解】物理在第一或第五个位置，共有：A；xA；x2x2=16种：

物理在第二或第四个位置，共有：人盹人打2、2=16种；

物理在第三个位置,共有:C；xC；xA：xA；=16种;

所以同一科目书都不相邻的放法种数是：16x3=48.

故选：B.

【题型专练】

1.有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆

放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（）

A.120种B.32种C.24种D.16种

【答案】D

【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案.

【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，

先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有C；C；A；种选法，

再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有A；种选法，

综上：•共有摆放方法C；C；A；A；=16种.

故选:D

2.现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（）种.

A.552B.864C.912D.1008

【答案】C

【分析】插空法求解不相邻排列问题.

【详解】由题意，设/U表示两名学生位置，88表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，

第一步：先排学生有M=2种方法：

第二步：再排两名教师，有①仞@AABB4BBAA,③筋54与三种情况，

对于①，教师有2国=4种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有8种方法；

对于②，教师有28=4种排法，然后家长先在A与A之间和B与8之间各选一个家长排入，剩余一个家长

插入剩余三个空中的一个空中，有A1A；=9种；

对于③，教师有2耳=4种排法，然后选一个家长排在最中间一个空中，再将剩余两个家长排在剩余的四个

空中，有种排法，

综上,共有&x2©*（有+/A；+C>A：）=912.

故选：C.

3.某种产品的加工需要经过A氏CRE,5道工序，如果工序C,。必须不能相邻，那么有种加工顺

序（数字作答）

【答案】72

【分析】先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空.

【详解】先排其余的3道工序，有用=6种不同的排法，出现4个空位，再将C,D这2道工序插空，有用=12

种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6x12=72种加工顺序.

题型四：捆绑法（相邻问题）

对于某儿个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑

部分的内部顺序。

【例1】某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排法种数为

（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】C

【解析】先安排甲、乙相邻，有用种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，

故有排法种数为A：x&=48.故选：C

【例2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排

列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个兀素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

【例3】（多选题）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）

A.共有60种不同的坐法

B.空位不相邻的坐法有72种

C.空位相邻的坐法有24种

D.两端不是空位的坐法有27种

【答案】AC

【分析】对于A,采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；

对于B,利用插空法；对于C,利用捆绑法；对于D,利用特殊元素优先法.

【详解】对于A,C^=--4x3x2x1=60,故正确；

3x2x1

4x3

对于B,A；C^=3x2xlx^-=36,故错误；

对于C,A；x4=3x2xlx4=24,故正确；

对于D,3x2x3=18,故错误，

故选：AC.

［例4］中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活

动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼"与“乐''不能相邻，"射''和"御’'要相邻，则针

对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（）

A.18种B.36种C.72种D.144种

【答案】D

【分析】利用捆绑法和插空法计算可得.

【详解】解：由题意“乐''与"书''不能相邻，“射"和"御’'要相邻，可将“射"和“御'’进行捆绑看成一个整体，共

有A：种,

然后与“礼”、"数”进行排序，共有A；种，

最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A：种，

由于是分步进行,所以共有A；.A；.A：=144种.

故选：D.

【例5】某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的

方法有种.

【答案】120

【分析】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素

不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中.

【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有A；=6种方法；

另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有A；=20

种，

因此共有A；A：=120种.

故答案为：120

【题型专练】

1.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品8相邻，且产品A与产品。不相邻，则不同的摆法有

____________种.

【答案】36

【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A：种方法，而A、B可交换位置,

所以有2A：=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2A；=12种摆法，故满足条件的摆法有

48—12=36种.

考点：排列组合，容易题.

2.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，

且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）

A.240B.192C.96D.48

【答案】B

【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.

【详解】丙在正中间（4号位）；

甲、乙两人只能坐12,23或56,67号位，有4种情况，

考虑到甲、乙的顺序有A；种情况；

剩下的4个位置其余4人坐有A：种情况；

故不同的坐法的种数为4A；A：=192.

故选：B.

3.2名老师和3名学生站成一排照相，则3名学生中有且仅有2人相邻的站法有种.

【答案】72

【分析】先将学生分成两组，两人的先捆绑，再两位老师全排列，剩下三个空将两组学生全排列即可.

【详解】第一步：先取两个学生捆绑，则有C；.A；=6种;

第二步：两名老师全排列，则有A；=2种；

第三步：两名老师有3个空，将两组学生安排在3个空中的两个，则有用=6种，

则一共有6x6*2=72种.

故答案为：72

4.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、”乐”、"射”“御”“书”“数”六门

体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）

A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法

C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法

D.课程“礼”不排在第一周，课程"数'’不排在最后一周，共有480种排法

【答案】ABC

【分析】利用直接法、插空法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可.

【详解】A：6门中选2门共有=15种选法，故A正确；

B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有魅种排法，然后全排列有8=120种排法，

根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有用&=240种，故B正确；

C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有盘=6种排法，然后利用插空法排课程

“御,，”书，，”数,，有&=24种排法，根据分步乘法计数原理，得共有&&=144种排法，故C正确；

D：分2种情况讨论：

若先把“礼''排在最后一周，再排“数”，有父种排法，

若先把“礼''不排在最后一周，再排“数”，有种排法，

所以，共有6+C：C：A：=504种排法，故D错误.

故选：ABC.

5.“四书”“五经，，是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春

秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书"“五经''知识讲座，每部名著安排

1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（）

A.A：A；A；B.A：A；C.A：A；A；D.A武A；

【答案】C

【分析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，将《大学》《论语》捆绑和《周易》

看作两个元素，采用插空法排列，根据分步乘法计数原理，可得答案.

【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，

共有A：种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有A；种排法，

排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，

从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有A；种排法，

故总共有A：A；A；种排法，

故选：C.

6.中国书法一般分为篆书、隶书、行书、楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉

隶，草书分章草、今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用

楷书、隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分

别用章草、今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字

相邻，则不同的排法种数为种.

【答案】72

【分析】利用捆绑法，结合排列数的计算，求解即可.

【详解】分别将隶书、草书、楷书当作整体，排法总数为A；=6,

隶书内部顺序A；=2,草书内部顺序A；=6,

故方法总数为A；A：A；=72种.

故答案为：72.

题型五：平均分组问题除法策略

【例1】已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有种不同的分堆方法？

【答案】15

【分析】根据题意先对6本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以

分组后要除以A；,进而求解.

【详解】6本书平均分成3堆,

6x54x3

所以不同的分堆方法的种数为C：C：C；_两“而XIT5.

A；3x2x1

故答案为：15.

【例2】12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在

同一组的概率为

c%c；c；c：c；c；c：

【详解】因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有

A；

故个强队恰好被分在同一组的概率为C；C；C：C：A；C；2C；C：A；=g.

【例3】6本不同的书，分成三份，1份4本，另外两份每份I本，共有种不同的分配方式

【答案】15

【分析】根据部分平均分组由排列组合即可求解.

【详解】无序均匀分组问题，冬=匕种，

故答案为：15

【题型专练】

1.奥运会足球预选赛亚洲区决赛（俗称九强赛），中国队和韩国队是其中的两支球队.现要将9支球队随

机平均分成3组进行比赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是（）.

1

A.一B.-C.-D.—

46912

【答案】A

【分析】由组合与古典概型公式求解

由题意得9支球队平均分成3组共有曳丝=280种，

【详解】

3x2x1

若中国队与韩国队分在同一组，则有7xd=70种，

2x1

故所求概率为「=芸70=1

2ol）4

故选：A

2.6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有种分法

【答案】60

【分析】根据不平均分组即可求解，

【详解】先从6本书中任取1本，作为一堆，有C：种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C；

种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有C；种取法，故共有分法C：C；C=60种.

3.“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测

人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者

甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为.

【答案】18

【分析】先把除甲乙两人的4名志愿者分成两组与，再搭配3名医生，用分步乘法原理计算可得结果.

A2

C2

【详解】志愿者分组情况有色=3种，搭配3名医生有3A；=18种.

故答案为:18.

题型六：分配问题先分组再分配

［例1］某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人,

则不同的分配方案数是（）

A.81B.72C.48D.36

【答案】D

【分析】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，即可得出答

案.

【详解】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，则有C：A；=36

种分配方法，

故选：D.

【例2】某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活,选派6名志愿者到甲、乙、丙

三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）

A.540种B.180种C.360种D.630种

【答案】A

【分析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区.

【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，

第一类：6名志愿者分成1+2+3,共有C：C；C；A；=360（种）选派方案,

cue：

第二类：6名志愿者分成1+1+4,共有=90（种）选派方案,

用

第三类：6名志愿者分成2+2+2,共有^r=90（种）选派方案,

所以共360+90+90=540（种）选派方案,

故选：A.

【例3】6名志愿者要到A,B,C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排

1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有（）

A.105种B.144种C.150种D.210种

【答案】D

【分析】先安排2名志愿者到A社区，再考虑剩余的4名志愿者，分为两组，可以平均分，可以一组1人，

一组3人，再对两组进行分配，从而求出最终答案.

【详解】先选出2名志愿者安排到A社区，有C：种方法,

再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有冬种分法,

A；

另一种是1组1人，另一组3人，有C；C；种分法，再分配到其他两个社区,

爷+"卜；=210种.

则不同的安排方法共有C；

故选：D

【例4】某班9名同学参加植树活动，若将9名同学分成挖土、植树、浇水3个小组，每组3人，则甲、乙、

丙任何2人在不同小组的安排方法的种数为（）

A.90B.180C.540D.3240

【答案】C

【分析】先安排除甲、乙、丙之外的同学进行平均分组，再安排甲乙内到三个不同小组，结合排列组合公式

即可求解.

【详解】第一步：先安排除甲、乙、丙之外的同学,

*惠

将除甲、乙、丙3人之外的6名同学分成挖土、植树、浇水3组，每组2人，有・A；=90种不同的方法;

第二步：安排甲、乙、丙,

甲、乙、丙3人分到3个不同的小组，有A；=6种不同的方法.

则由分步乘法计数原理知，共有90x6=540种不同的安排方法.

故选：C.

[例5]2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、

乙等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲、乙2人必须在一起，则不同的安

排方法的种数为()

A.240B.180C.156D.144

【答案】A

【分析】对甲、乙两人所在的岗位的人数进行分类讨论，利用分组分配的原理结合分类加法计数原理可求

得不同的安排方法种数.

【详解】分以下两种情况讨论：

(1)若甲、乙两人所在的岗位只分配了甲、乙两人，则另外有一个岗位需要安排两人，

此时，不同的安排方法种数为C；C；A；=144种；

(2)若甲、乙两人所在的岗位分配了三人，则还需从其余四人中抽取一人分配在甲、乙这两人所在的岗位，

此时，不同的安排方法种数为C；A：=96种.

综上所述，不同的安排方法种数为144+96=240.

故选：A.

【例6】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年

级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有()

A.25种B.50种C.300种D.150种

【答案】D

【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：(2,2,1),(3,1,1)两种情况，每种

情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.

C；C汨

【详解】当5个人分为2,2,1三小组，分别来自3个年级，共有•A；=90种;

c；c；c；

②当5个人分为3,1,1三小组时，分别来自3个年级，共有・A：=60种.

-AF

综上，选法共有法+60=150.

故选:D.

【例7】为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配

到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为.

【答案】36

[分析】将5名老师分为3组，讨论2位女老师所在学校有2人和3人的情况进行计算即可.

【详解】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有C；A；=18种情况;

②若2位女老师分在一个学校，贝43名男教师分为2组，再分到3所学校，有C；A；=18种情况,

故两名女教师分到同一所学校的情况种数为18+18=36种.

故答案为：36.

【例8】甲、乙、丙三名志愿者需要完成A,B,C,D,E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至

少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有种.

【答案】50

【分析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用两个

原理及排列组合的知识即可求得

【详解】由题意可分为两类

（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A,B,C,D,四项工作，则一共有（C；C；=14种安

排方式

（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A,B,C,D,四项工作，则一共有

卑G[A：=36种安排方式

IA2J

综上共有14+36=50种安排方式

故答案为：50

【题型专练】

1.某地为遏制新冠肺炎病毒传播，要安排3个核酸采样队到2个中风险小区做核酸采样，每个核酸采样队

只能选择去一个中风险小区，每个中风险小区里至少有一个核酸采样队，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【答案】C

【分析】由不平均分组，可得答案.

【详解】由题意，分组方案有1:2一种情况，则C；C；A；=3xlx2=6种，

故选：C.

2.某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少I人，不同的分配方案有

()

A.360种B.300种C.90种D.150种

【答案】D

【分析】先分类，分为3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1,再求出两种情况下的不同分配方案，注

意部分平均分组问题.

【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3』」，此时不同的分配方案有C；&=60种，若3个社区的志愿者

人数分别为2,2,1,此时不同的分配方案有=90种，综上:不同的分配方案有60+90=150种.

故选：D

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名,

丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有♦C；=6x10=60种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

4.有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有

种放法.

【答案】144

【分析】本题为分组分配问题，先分组有喈种情况’再分配有A：种情况’两式相乘即可.

【详解】先分组再分配.第一步：将四个小球分为三组，每组个数分别为2、1、1,有反哭种情况;

Aj

第二步，将分好的三组小球放到三个盒子中，有A：种情况.

c2c]c]

所以,共有•A：=144种放法.

A?

故答案为：144.

5.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每

所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是.

【答案】240

【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.

c；c；c；c：

【详解】先将5名学生分成4组共有=io种,

再将4组学生安排到4所不同的学校有A：=24种,

根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10x24=240种.

故答案为：240

6.某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好

分配2名同学共有种不同的方法.

【答案】60

【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.

【详解】由题意，分2步分析：

①先5人中选出2人，安排到甲社区，有C；=10种方法，

②将剩下3人分成2组，安排到乙、内社区，有C；A；=6种方法,

则有6x10=60种安排方式.

故答案为：60.

7.甲、乙、丙三名志愿者需要完成4,B,C,D,E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完

成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有种.

【答案】50

【分析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，①乙只完成£工作②乙不止完成E工作，再利用两个

原理及排列组合的知识即可求得

【详解】由题意可分为两类

（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A,B,C,D,四项工作，则一共有（C：C；+=14种安

排方式

（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A,B,C,D,四项工作，则一共有

'卑C]A；=36种安排方式

kA2J

综上共有14+36=50种安排方式

故答案为：50

8.某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好

分配2名同学共有种不同的方法.

【答案】60

【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.

【详解】由题意，分2步分析：

①先5人中选出2人，安排到甲社区，有C；=10种方法，

②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有C；A；=6种方法，

则有6x10=60种安排方式.

故答案为：60.

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